[過去ﾛｸﾞ] スレタイ 箱入り無数目を語る部屋4 (1002ﾚｽ)
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407(2): 2022/10/31(月)22:59 ID:vpuiD3x9(4/8) AAS
>>388
>d：[0,1]^N → N は前スレでも散々定義した決定番号の写像。
？
１）もともと時枝では、>>1より
「どんな実数を入れるかはまったく自由，例えばn番目の箱にe^πを入れてもよいし，すべての箱にπを入れてもよい.
もちろんでたらめだって構わない.そして箱をみな閉じる.」
だったよね？
省3
408: 2022/10/31(月)23:01 ID:V6kL7bYX(32/47) AAS
次に、μ_{N*}(T^[k])＝0 (k≧0) が成り立つことを示す。まず、
Poly ＝ { s∈[0,1)^N｜有限個の i を除いて s_i＝0 }
と置く。(Poly, [+], o) は [0,1)^N の部分アーベル群であることに注意せよ。
さらに、Poly^[k] ＝ Poly (k≧0) が成り立つことに注意せよ。
また、(Poly, [+], o) の加法 [+] に関する逆演算を [-] と置くとき、
任意の s,t∈[0,1)^N に対して、
s 〜 t ⇔ s [-] t ∈ Poly
省1
409: 2022/10/31(月)23:01 ID:V6kL7bYX(33/47) AAS
この Poly について、
(T∩[0,1)^N) [+] Poly ＝ [0,1)^N
が成り立つことが言える。さらに、T の性質から、左辺は直和であることが言える。
k≧0 として、両辺の ()^[k] を取ると、
(T∩[0,1)^N)^[k] [+] Poly^[k] ＝ [0,1)^N
が成り立つわけだが、(T∩[0,1)^N)^[k] ＝ T^[k]∩[0,1)^N かつ Poly^[k] ＝ Poly により、
省2
410: 2022/10/31(月)23:02 ID:V6kL7bYX(34/47) AAS
さて、Poly は無限集合なので、異なる可算無限個の v_i∈Poly を取れば、
(T^[k]∩[0,1)^N) [+] Poly が直和であることから、
{ (T^[k]∩[0,1)^N) [+] v_i }_{i≧1}
は互いに素である。ここで、B⊂T^[k]∩[0,1)^N なる B∈F_N を任意に取る。
すると、B [+] v_i ∈ F_N である。また、B [+] v_i ⊂ (T^[k]∩[0,1)^N) [+] v_i により、
{ B [+] v_i }_{i≧1} は互いに素である。また ∪[i＝1〜∞] (B [+] v_i) ⊂[0,1)^N である。
両辺の μ_N を考えると、
省4
411(1): 2022/10/31(月)23:03 ID:V6kL7bYX(35/47) AAS
今の時点で、
・ μ_N^*(d≦k) ＝ μ_N^*(T^[k]), μ_{N*}(d≦k) ＝ μ_{N*}(T^[k]),
・ lim[k→∞] μ_N^*(T^[k]) ＝ 1, μ_{N*}(T^[k])＝0 (k≧0)
が得られている。特に、ある k_0≧1 が存在して、k≧k_0 のとき μ_N^*(T^[k]) ＞ 0 である。
よって、μ_N^*(T^[k]) ＞ μ_{N*}(T^[k]) (∀k≧k_0) である。すなわち、
μ_N^*(d≦k) ＞ μ_{N*}(d≦k) (∀k≧k_0)
である。([0,1]^N, F_N, μ_N) の完備化 ([0,1]^N, F_{Nw}, μ_{Nw}) について、
省4
412: 2022/10/31(月)23:04 ID:V6kL7bYX(36/47) AAS
補足：「 k≧k_0 のとき (d≦k) は非可測である」とは、
「有限個の k を除いて (d≦k) は非可測である」という意味に他ならない。
では、残りの有限個の k に対しては、(d≦k) は可測なのか？それとも非可測なのか？
実は、使用する完全代表系 T によっては、有限個の k に対して (d≦k) が
ゼロ集合になるようにできる。この場合、それらの (d≦k) は可測になる。この意味において、
「有限個の k を除いて (d≦k) は非可測である」
という主張は最良の結果である。
413(1): 2022/10/31(月)23:06 ID:V6kL7bYX(37/47) AAS
補足：以下では、有限個の k に対して (d≦k) が可測になる例を挙げておく。
U＝{s∈[0,1]^N｜s_0＝s_1＝s_2＝0 } ＝ {0}^3[0,1]^N
と置く。[0,1]^N 上の同値関係 〜 をU上に導入すれば、〜 はそのまま U 上の同値関係になる。
U の〜に関する完全代表系を1つ取って T_0 と置くと、これは [0,1]^N 上の〜に関する
完全代表系にも なっていることが確かめられる。
この T_0 から決定番号の写像 d：[0,1]^N → N∪{0} を作った場合には、
(d≦k)∩[0,1)^N ＝ [0,1)^k(T_0^[k]∩[0,1)^N) (k≧1)
省7
414(2): 2022/10/31(月)23:08 ID:vpuiD3x9(5/8) AAS
>>389
御託はいいから、証明かけよ
おれのためじゃなく、証明を要求したID:Rh3Q9O/g氏や
その他にも、証明を見たいって人いるだろう？
>別に読まなくても構わんが、その場合はスレ主は>>371-372を受け入れなければならない。
不同意！
数学では、そんな理屈はないよ
省9
415: 2022/10/31(月)23:08 ID:V6kL7bYX(38/47) AAS
さて、「ある k_0≧1 が存在して、(d≦k) は k≧k_0 のとき非可測」であることから、
{ k≧0｜∀k'≧k s.t. (d≦k') は非可測 }
という集合は空でない。そこで、この集合の最小元を再び k_0 と置くことにする。
よって、k_0 ≧ 0 であり、k≧k_0 のとき、(d≦k) は非可測である。
・ もし k_0＝0 なら、任意の k≧0 に対して (d≦k) は非可測ということになる。
・ もし k_0≧1 なら、k_0 の最小性から、(d≦k_0−1) は可測、すなわち
(d≦k_0−1) ∈ F_{Nw} ということになる。
416(1): 2022/10/31(月)23:09 ID:V6kL7bYX(39/47) AAS
定理：>>376の確率空間(Y_n,E_n,α_n)について、ここでは n＝99 の場合を考える。
d：[0,1]^N → N∪{0}は決定番号の写像とする。z＝(z^{0},…,z^{98})∈Y_99 に対して、
D(z)：＝ max{d(z^{j})｜0≦j≦98}
として D：Y_99 → N∪{0} を定義する。このとき、α_99^* (D≧k_0) ＞ 0 である。
証明：k_0＝0のときは、α_99^* (D≧0) ＞ 0 を示せばよいが、そもそも D は非負なので、
(D≧0)＝Y_99 であり、よって α_99^* (D≧0) ＝ 1 ＞ 0 である。
以下では、k_0≧1 としてよい。(Y_99,E_99,α_99)の完備化(Y_99, E_{99w}, α_{99w})について、
省1
417: 2022/10/31(月)23:10 ID:NkNyx+A/(4/7) AAS
>>414
おまえは3歳児か
418: 2022/10/31(月)23:11 ID:V6kL7bYX(40/47) AAS
さて、α_99^*(D≧k_0)＞0 を示したいのだった。α_99^*(D≧k_0)＝0 と仮定する。
このとき、>>392の定理により (D≧k_0)∈E_{99w} かつ α_{99w}(D≧k_0)＝0 である。
(Y_{98},E_{98},α_{98})と([0,1]^N,F_N,μ_N)の積空間が(Y_99, E_99, α_99)であるから、>>393の定理により、
α_98.a.e. u∈Y_98, μ_N.a.e. v∈[0,1]^N s.t. ¬( (u,v)∈(D≧k_0) )
が成り立つ。すなわち、
α_98.a.e. u∈Y_98, μ_N.a.e. v∈[0,1]^N s.t. (u,v)∈(D≦k_0−1)
が成り立つ。よって、あるゼロ集合 M_98∈E_98が存在して、
省2
419: 2022/10/31(月)23:12 ID:V6kL7bYX(41/47) AAS
そこで、u∈Y_98−M_98 を1つ取って固定する。よって、
μ_N.a.e. v∈[0,1]^N s.t. (u,v)∈(D≦k_0−1)
が成り立つ。よって、あるゼロ集合 M_1∈F_N が存在して、
∀v∈[0,1]^N−M_1 s.t. (u,v)∈(D≦k_0−1)
が成り立つ。すなわち、
省2
420: 2022/10/31(月)23:12 ID:NkNyx+A/(5/7) AAS
>>387
>あなたには 外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.ma.huji.ac.il Theorem 1 の証明の中の間違っている文を挙げることができない
>ということでよろしいか？
にできると言いながら挙げない時点で詰み
できるできる詐欺かｗ
421(1): 2022/10/31(月)23:13 ID:V6kL7bYX(42/47) AAS
D(u,v)＝ max{ d(u^{0}),…,d(u^{98}), d(v) } だから、
∀v∈[0,1]^N−M_1 s.t. d(u^{0})≦k_0−1, d(u^{1})≦k_0−1,…, d(u^{98})≦k_0−1, d(v)≦k_0−1
ということになる。特に、
∀v∈[0,1]^N−M_1 s.t. d(v)≦k_0−1
である。これは [0,1]^N−M_1 ⊂ (d≦k_0−1) を意味する。
特に、μ_{Nw}^*([0,1]^N−M_1) ≦ μ_{Nw}^*(d≦k_0−1) が成り立つ。
すなわち、1≦μ_{Nw}^*(d≦k_0−1) である。一方で、>>411で見たように
省4
422(1): 2022/10/31(月)23:13 ID:vpuiD3x9(6/8) AAS
>>403
挙げている
アホか
お前はｗｗｗ
423: 2022/10/31(月)23:14 ID:V6kL7bYX(43/47) AAS
さて、>>375-383の証明を修正しなければならない。>>382 の
＞B∈E_w だったから、>>375の補題により、α_99.a.e.z＝(z^{0},z^{1},…,z^{98})∈Y_99 に対して、
＞B の z での断面 B_z は B_z∈F_{Nw} を満たす。すなわち、あるゼロ集合 M∈E_99 が存在して、
＞任意の z∈Y_99−M に対して、B の z での断面 B_z は B_z∈F_{Nw} を満たす。
この部分までは、修正の必要はない。ここから先は、新しく証明を書き直す。
状況を整理しておくと、A が可測であるという仮定のもとで、
B ＝ { (y^{0},y^{1},…,y^{99})∈Y｜d(y^{99})≦max{d(y^{j})｜0≦j≦98} }
省3
424: 2022/10/31(月)23:14 ID:V6kL7bYX(44/47) AAS
z＝(z_0,…,z_98)∈Y_99−M に対して、D(z)：＝ max{d(z^{j})｜0≦j≦98} と定義する。
任意の z∈Y_99−M に対して、(☆)により B_z∈F_{Nw} であるが、一方で
B_z ＝ { y^{99}∈[0,1]^N｜(z,y^{99})∈B }
＝ { y^{99}∈[0,1]^N｜d(y^{99})≦max{d(z^{j})｜0≦j≦98} }
＝ { y^{99}∈[0,1]^N｜d(y^{99})≦D(z) } ＝ (d≦D(z))
であるから、結局、(d≦D(z))∈F_{Nw} ということになる。これが任意の z∈Y_99−M で成り立つ。
よって、次が言えたことになる。
省1
425: 2022/10/31(月)23:14 ID:V6kL7bYX(45/47) AAS
一方で、>>416の定理により、α_{99}^*(D≧k_0) ＞ 0 である。α_99(M)＝0 なので、
α_{99}^*((D≧k_0)−M) ＞ 0 である。よって、(D≧k_0)−M は空でない。
そこで、z∈(D≧k_0)−M を1つ取る。すると、特に z∈Y_99−M なので、
(☆☆)により (d≦D(z))∈F_{Nw} である。一方で、z∈(D≧k_0) なので、
D(z)≧k_0 である。よって、
・ (d≦D(z))∈F_{Nw}, D(z)≧k_0
ということになったが、任意の k≧k_0 に対して (d≦k) は非可測なので矛盾。
省1
426(2): 2022/10/31(月)23:17 ID:V6kL7bYX(46/47) AAS
>>407
＞２）”どんな実数を入れるかはまったく自由”だから、(-∞、+∞)でしょ！！ｗ
もともとの時枝記事では、出題する実数列は固定である。
何を選んでもよいが、選んだあとは固定である。
その固定された実数列に対して、回答者が何度も時枝戦術をテストするという構造である。
一方で、スレ主は実数列自体をランダムにしたいと考えている。
ところが、R 上の一様分布は存在しない。つまり、R に拘っている限り、スレ主が望むような
省5
427: 2022/10/31(月)23:19 ID:NkNyx+A/(6/7) AAS
>>422
挙げてない
アホか
お前はｗｗｗ
428(1): 2022/10/31(月)23:22 ID:vpuiD3x9(7/8) AAS
>>421
ご苦労様ですｗ
区間[0,1]のトイモデルが終わったら
元の時枝の通り>>1の
[0,1]→｛-∞、+∞｝やってくれ>>407
429: 2022/10/31(月)23:23 ID:V6kL7bYX(47/47) AAS
>>428
それは不可能。理由は>>426で書いたとおり、
＞一方で、スレ主は実数列自体をランダムにしたいと考えている。
＞ところが、R 上の一様分布は存在しない。つまり、R に拘っている限り、スレ主が望むような
＞
＞「標準的なランダム性を兼ね備えた出題」
＞
省1
430: 2022/10/31(月)23:27 ID:NkNyx+A/(7/7) AAS
>>401
>>>387
>>あなたには 外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.ma.huji.ac.il Theorem 1 の証明の中の間違っている文を挙げることができない
>>ということでよろしいか？
>不同意
>１）決定番号は、非正則分布を成す
>２）非正則分布は、コルモゴロフの確率公理 特に「全事象を1とする」が満たせない
省8
431(2): 2022/10/31(月)23:57 ID:vpuiD3x9(8/8) AAS
>>402
>今の段階で、μ_N^*(A) ≦∫_{ [0,1]^N } 1_B(x,y) dμ_N(y) が x∈[0,1) に対して言えている。
>両辺を通常の1次元ルベーグ測度空間 ([0,1],F_1,μ_1) において x∈[0,1) で積分する。
>すると、左辺は μ_N^*(A) のままであり、右辺はフビニの定理が使えて、
意味わからんけど
１）そもそも、[0,1]^Nで、1辺a 0<a<1 の超立体の体積を考える
2次元ならa^2,3次元ならa^3,・・,n次元ならa^n,・・・
省23
432: 2022/11/01(火)00:07 ID:sIOgpcGr(1/28) AAS
>>390-425
読み返してみたが、さすがにこの分量だと変なミスがあるな。すまん。
(>>399)
＞定理：任意の A∈F_N と任意の k≧0 に対して、A^[k]∈F_N であり、
＞しかも μ_N(A^[k]) ≦ μ_N(A^[k＋1]) (k≧0)である。
この定理、A^[k]∈F_N の証明は省略していたが、丁寧にやってみたところ、
なんか示せそうにない(サイコロのような離散的な場合だと示せるのだが)。
省2
433: 2022/11/01(火)00:08 ID:sIOgpcGr(2/28) AAS
その前に、見落としがちな注意点を1つ。
(X,F,ν)を有限測度空間とする。ν_* を、ν から作られる内測度とする。
このとき、任意の A⊂B⊂X に対して ν_*(A)≦ν_*(B) が成り立つ。
内測度なんだから逆転して ν_*(A)≧ν_*(B) だろうと錯覚してしまうが、
そうではなく、ν_*(A)≦ν_*(B) が成り立つ。実際、内測度に関する
・ A,B⊂X が互いに素ならば、ν_*(A∪B)≧ν_*(A)＋ν_*(B)
という性質(こちらは確かに逆転している)を使えば、A⊂B⊂X のとき、
省6
434: 2022/11/01(火)00:10 ID:sIOgpcGr(3/28) AAS
では、>>399は丸ごと削除し、そして>399の性質を使っている唯一の>>404を証明し直す。
そのやり方は、>>400 >>402と全く同じ方法でよかった。
A⊂[0,1)^N を任意に取る。μ_{N*}([0,1)A)＝μ_{N*}(A) を示したい。
A⊃B∈F_N なる B を任意に取れば、[0,1)A ⊃ [0,1)B∈F_N なので、
μ_{N*}([0,1)A) ≧ μ_{N*}([0,1)B)＝μ_N([0,1)B)＝μ_N(B) である。
A⊃B∈F_N なる B は任意だったから、そのような B の sup を取れば、
μ_{N*}([0,1)A)≧μ_N^*(A) となる。次に、[0,1)A ⊃ B ∈ F_N なる B を任意に取る。
省3
435: 2022/11/01(火)00:13 ID:sIOgpcGr(4/28) AAS
フビニの定理から
μ_N(B)＝∫_{ [0,1]^N } 1_B(z)dμ_N(z) ＝ ∫_{ [0,1] × [0,1]^N } 1_B(x,y) d(μ_1×μ_N)(x,y)
＝ ∫_{ [0,1] }∫_{ [0,1]^N } 1_{B_x}(y)dμ_N(y)dμ_1(x)
＝ ∫_{ [0,1] } μ_N(B_x) dμ_1(x) ＝ ∫_{ [0,1) } μ_N(B_x) dμ_1(x)
≦ ∫_{ [0,1) } μ_{N*}(A) dμ_1(x) ＝ μ_{N*}(A)
省3
436: 2022/11/01(火)00:23 ID:sIOgpcGr(5/28) AAS
>>431
さすがにレベルが低すぎて話にならないね。何がヒルベルト空間だよ。確率空間だと言ってるだろ。
まず、今回の記法では、([0,1],F_1,μ_1) を通常のルベーグ測度空間と置いている。
μ_1([0,1])＝1 なので、この測度空間は確率空間になっている。
そこで、この確率空間の可算無限直積 確率空間を ([0,1]^N, F_N, μ_N ) と置いている。
これは確率空間である。ヒルベルト空間ではない。
[0,1]^N にどんな測度が入っているのかも明らか。μ_N である。μ_N という測度が入っている。
省6
437: 2022/11/01(火)00:28 ID:sIOgpcGr(6/28) AAS
>>431
＞５）だから、無限次元の[0,1]^Nに対して、どういう測度を与えるのか？
何度も言わせるな。μ_N である。[0,1]^N にはμ_N という測度が入っている。
では、μ_N はどこから来たのか？
何度も言うとおり、([0,1],F_1,μ_1)という確率空間を可算無限個用意して、
その積を取ったときの可算無限直積 確率空間 ([0,1]^N, F_N, μ_N ) を考え、
ここで出現した μ_N を [0,1]^N 上の測度として採用している。というより、
省5
438(4): 2022/11/01(火)00:35 ID:sIOgpcGr(7/28) AAS
μ_N の正体をより具体的に書くと、μ_N は次のように特徴づけられる：
任意の n≧1 と任意の A_1,A_2,…,A_n∈F_1 に対して、
A_1×A_2×…×A_n×[0,1]×[0,1]×[0,1]×… (← 残りは全て [0,1] が可算無限個並んでいる)
という集合の測度が μ_1(A_1)μ_1(A_2)…μ_1(A_n) で与えられるような測度が μ_N である。
すなわち、上記の集合に対して
μ_N ( A_1×A_2×…×A_n×[0,1]×[0,1]×[0,1]×… ) ＝ μ_1(A_1)μ_1(A_2)…μ_1(A_n)
省5
439: 2022/11/01(火)01:12 ID:Hdk0OAq+(1/6) AAS
ID:V6kL7bYX＝ID:sIOgpcGr さすが「数学博士」 見事な証明だ
しかも、任意のｎについて
有限個の k≦ｎ に対して (d≦k) が可測になる具体例>>413
まで示してくれた
この具体例では、結局、頭の有限個の項だけ全部0にすることで
(d≦k) の測度を0にできるが、無限個全部を0にしてしまうと
どの代表も「全部0の列」になってしまって違いがなくなる
省6
440(6): 2022/11/01(火)08:06 ID:+emxAWt1(1/6) AAS
>>438
(引用開始)
μ_N の正体をより具体的に書くと、μ_N は次のように特徴づけられる：
任意の n≧1 と任意の A_1,A_2,…,A_n∈F_1 に対して、
A_1×A_2×…×A_n×[0,1]×[0,1]×[0,1]×… (← 残りは全て [0,1] が可算無限個並んでいる)
という集合の測度が μ_1(A_1)μ_1(A_2)…μ_1(A_n) で与えられるような測度が μ_N である。
すなわち、上記の集合に対して
省19
441(1): 2022/11/01(火)08:12 ID:5C0+Brs7(1/2) AAS
>>414
昨日のID:Rh3Q9O/g氏ですが
昨日のID:V6kL7bYX氏の証明を絶賛致します
442(2): 2022/11/01(火)08:19 ID:5C0+Brs7(2/2) AAS
>>440
438は単なる積測度の定義
数学科の学生なら必修
箱入り無数目とは無関係の基本
443(6): 2022/11/01(火)12:06 ID:sIOgpcGr(8/28) AAS
可算無限直積 確率空間に関する文献を以下に1つ挙げる。
Infinite Products of Probability Spaces
外部ﾘﾝｸ:jpmccarthymaths.com
ここからは、上記のリンク先からかいつまんで引用して説明する。
444(1): 2022/11/01(火)12:07 ID:sIOgpcGr(9/28) AAS
まず、可算無限個の確率空間 (Ω_n, S_n, P_n) (n＝1,2,3,…) を用意する。
それぞれの (Ω_n, S_n, P_n) は任意でよくて、n ごとに全く異なる確率空間でも構わない。
そして、これらの確率空間の可算無限直積として得られる確率空間 (Ω,S,P) を作っているのが
上記のリンク先である。もちろん、Ω＝Π[n＝1〜∞]Ω_n である。つまり
Ω ＝ Π[n＝1〜∞]Ω_n ＝ Ω_1×Ω_2×Ω_3×Ω_4×…
である。最終目標が([0,1]^N,F_N,μ_N)の場合には
(Ω_n, S_n, P_n)＝([0,1], F_1, μ_1) (∀n≧1) なので、
省2
445: 2022/11/01(火)12:09 ID:sIOgpcGr(10/28) AAS
具体的にどうやって確率空間(Ω,S,P)を構成するのか？まず、
＞ Let R be the collection of all sets Π[n＝1〜∞]A_n ⊂ Ω
＞ where A_n∈S_n for all n and A_m＝Ω_m except for at most finitely many values of n.
＞ Elements of R will be called rectangles.
として集合族 R を用意する。ご覧の通り、
R ＝ { Π[n＝1〜∞]A_n｜A_n∈S_n (n≧1), 有限個の n を除いて A_n＝Ω_n }
と置いている。つまり、Π[n＝1〜∞]A_n の実体は
省4
446: 2022/11/01(火)12:11 ID:sIOgpcGr(11/28) AAS
R の各元のことは rectangle と呼ばれる。日本語では柱状集合とかシリンダーとか呼ばれる。
先頭の有限個しか弄らず、残りの無限個は全て Ω_n のまま弄らないのだから、
いかにも「 rectangle, 柱状集合, シリンダー」といったイメージである。
ちなみに、最終目標が([0,1]^N, F_N, μ_N)の場合には
(Ω_n, S_n, P_n)＝([0,1], F_1, μ_1) (∀n≧1) を適用するのだから、対応する Π[n＝1〜∞]A_n は
Π[n＝1〜∞]A_n ＝ A_1×A_2×…×A_k×[0,1]×[0,1]×[0,1]×… (← これ以降は [0,1] だけが並ぶ)
というものである。スレ主はこの集合に対して「コルモゴロフの確率公理を満たすか？」(>>440)
省2
447: 2022/11/01(火)12:11 ID:sIOgpcGr(12/28) AAS
R から生成される集合体(σ集合体ではない)のことを A_f と置く。
リンク先では字体の異なる A が用いられているが、このスレではフォントが弄れないので、
ここでは A_f と書くことにする。
A_f の各元は「互いに素な R の元の有限個の和」として表せることが、Proposition の節で示されている。
448: 2022/11/01(火)12:13 ID:sIOgpcGr(13/28) AAS
次に、A_f 上の有限加法的測度 P：A_f → [0,1] が定義される。
まずは R 上での P の値が定義される。具体的には、Proposition の節の末尾において
＞ Now for A＝Π[n＝1〜∞] A_n ∈ R, let P(A):＝ Π[n＝1〜∞] P_n(A_n).
＞ The product converges since all but finitely many factors are 1.
と定義されている。ご覧のとおり、任意の柱状集合 A＝Π[n＝1〜∞]A_n∈R に対して
P(A):＝Π[n＝1〜∞] P_n(A_n) と定義している。
P_n は何かといえば、n番目の確率空間 (Ω_n,S_n,P_n) に出現している確率測度である。
省2
449: 2022/11/01(火)12:14 ID:sIOgpcGr(14/28) AAS
A の実体は
A＝Π[n＝1〜∞]A_n ＝ A_1×A_2×…×A_k×Ω_{k＋1}×Ω_{k＋2}×Ω_{k＋2}×…
というものだったから、P(A):＝Π[n＝1〜∞] P_n(A_n) という定義の実体は
P(A):＝ P_1(A_1)…P_k(A_k) P_{k+1}(Ω_{k+1})P_{k+2}(Ω_{k+2})…
というものである。P_m(Ω_m)＝1 (∀m≧k＋1) なので、要するに
省5
450: 2022/11/01(火)12:15 ID:sIOgpcGr(15/28) AAS
要するに、写像 P：R → [0,1] を、任意の k≧1 と任意の A_i∈S_i (1≦i≦k) に対して
P ( A_1×A_2×…×A_k×Ω_{k＋1}×Ω_{k＋2}×Ω_{k＋2}×… ) :＝ P_1(A_1)…P_k(A_k)
として定義しているわけである。
最終目標が([0,1]^N,F_N,μ_N)の場合には (Ω_n, S_n, P_n)＝([0,1], F_1, μ_1) (∀n≧1)
を適用するのだから、その場合には、任意の k≧1 と任意の A_1,…,A_k∈F_1 に対して
μ_N(A_1×A_2×…×A_k×[0,1]×[0,1]×[0,1]×…) :＝ μ_1(A_1)…μ_1(A_k)
省3
451: 2022/11/01(火)12:17 ID:sIOgpcGr(16/28) AAS
続いて、上記の写像 P：R → [0,1] を、A_f 上に拡張して P：A_f → [0,1] を定義する。
A_f の各元は、互いに素な R の元の有限個の和として表せるので、A∈A_f を任意に取れば、
ある N≧1 とある互いに素な B_1,…,B_N∈R が存在して A＝∪[r＝1〜N] B_r と表せる。
そこで、P(A)：＝Σ[r〜1〜N] P(B_r) と定義する。各 B_r は B_r∈R を満たし、
そして R 上では P の定義は済んでいたので、P(B_r) は既に定義済みであり、
よって P(A)：＝Σ[r〜1〜N] P(B_r) の右辺はちゃんと意味を持っている。
こうして、P：A_f → [0,1] を定義する。この定義は well-defined である。
省6
452: 2022/11/01(火)12:18 ID:sIOgpcGr(17/28) AAS
A_f から生成されるσ集合体を S と置くとき、P：A_f → [0,1] を S 上に拡張して
P：S → [0,1] を定義し、しかもこれが S 上で確率測度になっていることを示すのが最終目標である。
そのためには、E.ホップの拡張定理を使う。
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ちなみに、>>443のリンク先では
＞ by the Caratheodory Extension Theorem.
すなわち「カラテオドリの拡張定理」と呼ばれているが、厳密にはE.ホップの拡張定理である。
省4
453: 2022/11/01(火)12:20 ID:sIOgpcGr(18/28) AAS
さて、今回の P：A_f → [0,1] に対してE.ホップの拡張定理を使うには、そのまま
・ A_n∈A_f (n≧1) が互いに素かつ ∪[n＝1〜∞] A_n∈A_f のとき P(∪[n＝1〜∞] A_n) ＝ Σ[n＝1〜∞] P(A_n)
が成り立つことを示せばよい。このことは、
＞ If P us countably additive on A, then it has a unique countably additive extension
＞ to S by the Caratheodory Extension Theorem.
から先の部分で示されれている。
454: 2022/11/01(火)12:21 ID:sIOgpcGr(19/28) AAS
以上により、確率空間 (Ω,S,P) を得る。すなわち、可算無限個の確率空間 (Ω_n, S_n, P_n) (n≧1) から、
その無限直積となる確率空間 (Ω,S,P) を得る。…ということをやっているのが上記のリンク先である。
これらの議論をよく読むと、確率測度 P：S → [0,1] は次の性質で特徴づけられることが分かる：
任意の k≧1 と任意の A_i∈S_i (1≦i≦k) に対して
P ( A_1×A_2×…×A_k×Ω_{k＋1}×Ω_{k＋2}×Ω_{k＋2}×… ) ＝ P_1(A_1)…P_k(A_k)
が成り立つ。
↑これが P の特徴づけであり、この性質を満たす確率測度 P：S → [0,1] がただ1つ存在するわけである。
455: 2022/11/01(火)12:22 ID:sIOgpcGr(20/28) AAS
最終目標が([0,1]^N, F_N, μ_N)の場合には、(Ω_n,S_n,P_n)＝([0,1],F_1,μ_1) (n≧1) を
適用すればよいことになる。この場合、μ_N という測度の特徴付けは、まさしく>>438である。
文献に関しては以上。
456: 2022/11/01(火)12:26 ID:sIOgpcGr(21/28) AAS
>>440
＞１）この確率測度μ_N は、あんたのオリジナル？
＞ それとも、先行文献ある？ 先行文献あるなら示して欲しい
スレ主、可算無限直積 確率空間を全く知らないことが露呈。
コルモゴロフの確率論がどうこうと講釈を垂れるくせに、
当の本人はこんなことも理解してないという有様。
確率論にはマニアックな分野も存在するが、これは基礎中の基礎である。
省2
457: 2022/11/01(火)12:26 ID:sIOgpcGr(22/28) AAS
>>440
＞２）数学（特に圏論）ではよくあるが、「存在すれば一意」という
＞ しかし、問題は存在するかどうか（測度の性質を満たす？）だろ？
存在する。確率論の基礎。それが分かってない時点で話にならない。
＞４）”A_1×A_2×…×A_n×[0,1]×[0,1]×[0,1]×… (← 残りは全て [0,1] が可算無限個並んでいる)”
＞ のところ、時枝トリック類似に見えるけどｗ
＞ つまり、先頭に有限部分で決定番号100個 d1〜d100を含む部分,残りに無限のしっぽ
省4
458: 2022/11/01(火)12:28 ID:sIOgpcGr(23/28) AAS
スレ主が大好きな
・ iid 確率変数 X_i∈[0,1] (各X_iは[0,1]上の一様分布を実現)
について考えてみる。各 X_i (i≧1) は確率変数なのだから、
ベースとなる確率空間(Ω, F, P)がどこかに存在して、
・ 写像 X_i：Ω → [0,1] は可測空間 (Ω,F) から可測空間([0,1], B_1) への
可測写像である(ただし、B_1は[0,1]上のボレルσ集合体。
・ {X_i}_{i≧1} は確率空間(Ω,F,P)の中で独立同分布である。
省5
459: 2022/11/01(火)12:36 ID:sIOgpcGr(24/28) AAS
X_1 だけなら、そのような(Ω,F,P)の存在性は自明である。
具体的には、(Ω,F,P)：＝([0,1],F_1,μ_1) (1次元のルベーグ測度空間)と置き、
そして、X_1：Ω→[0,1] を X_1(t)：＝t (t∈[0,1]) と置けばよい。
X_1,X_2 の2つでも、そのような(Ω,F,P)の存在性は自明である。
具体的には、(Ω,F,P)：＝([0,1]^2,F_2,μ_2) (2次元のルベーグ測度空間)と置き、
X_i：Ω→[0,1] を X_1((t_1,t_2))：＝t_1, X_2((t_1,t_2))：＝t_2 (t_1,t_2∈[0,1])
と置けばよい。こうすると、X_1,X_2 は(Ω,F,P)上で iid 確率変数になり、
省6
460: 2022/11/01(火)12:38 ID:sIOgpcGr(25/28) AAS
有限個の X_1,…,X_n の場合でも、そのような(Ω,F,P)の存在性は自明である。
具体的には、(Ω,F,P)：＝([0,1]^n,F_n,μ_n) (n次元のルベーグ測度空間)と置き、
そして、X_i：Ω→[0,1] を X_i((t_1,…,t_n))：＝t_i (1≦i≦n)と置けばよい。
こうすると、X_1,…,X_n∈[0,1] は(Ω,F,P)上で iid 確率変数になり、各X_iは[0,1]上の一様分布を実現している。
この作業を見れば、X_1 の場合に必要だった確率空間は ([0,1],F_1,μ_1) であり、
X_1〜X_n の場合に必要だった確率空間は、
([0,1],F_1,μ_1)をn個用意して積を取った積確率空間 ([0,1]^n, F_n, μ_n) である、
省3
461: 2022/11/01(火)12:39 ID:sIOgpcGr(26/28) AAS
では、本題となる可算無限個の X_1,X_2,…∈[0,1] の場合は、対応する(Ω,F,P)の正体はどうなっているのか？
実は、それこそが ([0,1]^N, F_N, μ_N) である。
つまり、(Ω,F,P)＝([0,1]^N, F_N, μ_N) と置くのである。
そして、X_i：Ω → [0,1] を X_i(t_1,t_2,t_3,…)：＝ t_i と定義するのである。
(よって、各 X_i は [0,1]^N の第i成分を取り出すという射影になっている。)
こうすると、可算無限個の X_1,X_2,…∈[0,1] は(Ω,F,P)上で iid 確率変数になり、
各X_iは[0,1]上の一様分布を実現している。
462(1): 2022/11/01(火)12:39 ID:sIOgpcGr(27/28) AAS
このように、スレ主が大好きな
・ iid 確率変数 X_i∈[0,1] (各X_iは[0,1]上の一様分布を実現)
の存在性を担保する確率空間こそが ([0,1]^N, F_N, μ_N) なのに、
当のスレ主は ([0,1]^N, F_N, μ_N) を「全く知らない」。それどころか、
＞４）”A_1×A_2×…×A_n×[0,1]×[0,1]×[0,1]×… (← 残りは全て [0,1] が可算無限個並んでいる)”
＞ のところ、時枝トリック類似に見えるけどｗ
＞ つまり、先頭に有限部分で決定番号100個 d1〜d100を含む部分,残りに無限のしっぽ
省2
463(5): 2022/11/01(火)15:40 ID:25yibjh9(1/7) AAS
>>441-442
レスありがとう
スレ主です
>昨日のID:V6kL7bYX氏の証明を絶賛致します
絶賛か
あなたは、真面目な人なんだろうね？（＾＾
>438は単なる積測度の定義
省13
464: 2022/11/01(火)15:51 ID:2RlHdKPX(1/4) AAS
>>463
>絶賛か
>あなたは、真面目な人なんだろうね？
この件に関しては
>（＾＾
昭和時代の年配者が好んで書く古い顔文字ですね
平成生まれの人は全く用いませんが🙂
465: 2022/11/01(火)15:56 ID:2RlHdKPX(2/4) AAS
>>463
>ふーん、定義は数学科では議論の一番最初でしょ？
>議論の一番最後に、定義を書いたことに関心しているの？
定義の箇所は議論の予備知識と思います
そういう書き方をしている数学書も
昭和時代から多々ありますね😁
466(3): 2022/11/01(火)16:02 ID:2RlHdKPX(3/4) AAS
>>463
>一つ二つ質問していいかな？
>Q１）数学科の１年生か２年生かい？
大学院修士課程修了ですが何か？
>Q２）確率論の単位はまだ？ 確率過程論はまだかな？
確率論と確率過程は３年および４年で履修しました
専攻ではありませんがね それが何か？
省2
467(2): 2022/11/01(火)16:18 ID:2RlHdKPX(4/4) AAS
>>463
私からも質問していいですか？
Q?.ヴィタリの非可測集合の構成とそれが非可測である証明は理解していますか？
Q?.ヴィタリの非可測集合が、任意の実数ε>0について、[0,ε)の部分集合となるように取れることは理解していますか？
Q?. にもかかわらず、ヴィタリの非可測集合は、決して、{0}に出来ない理由を説明できますか？😏
468(9): 2022/11/01(火)16:55 ID:25yibjh9(2/7) AAS
さて、スレ主です
１）
>>443 について、>>463にも書いたけど
外部ﾘﾝｸ:jpmccarthymaths.com
Infinite Products of Probability Spaces J.P. McCarthy: Math Page より
”In proving such limit theorems, it is useful to be able to construct a probability space on which a sequence of independent random variables is defined in a natural way; specifically, as coordinates for a countable Cartesian product.”
の”a sequence of independent random variables”とあることに気付いたかな？
省9
469(1): 2022/11/01(火)16:55 ID:25yibjh9(3/7) AAS
>>468
つづき
３）
さて、そもそもの>>386で
>>384-385より
>>d：[0,1]^N → N は決定番号の写像であり、(d≦k) は非可測なので矛盾する。
> え、その証明はしないの？
省18
470: 2022/11/01(火)17:44 ID:V+0RD7zD(1/2) AAS
>>469
>>387
>>>278にレスがないので、
>あなたには 外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.ma.huji.ac.il Theorem 1 の証明の中の間違っている文を挙げることができない
>ということでよろしいか？
相変わらず証明の中の間違っている文を挙げることをしていないので
あなたには 外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.ma.huji.ac.il Theorem 1 の証明の中の間違っている文を挙げることができない
省1
471(2): 2022/11/01(火)18:07 ID:25yibjh9(4/7) AAS
>>454-465
スレ主です
レスありがとう
>>466
> 大学院修士課程修了ですが何か？
これは、御見それしました
> 確率論と確率過程は３年および４年で履修しました
省21
472: 2022/11/01(火)18:36 ID:V+0RD7zD(2/2) AAS
>>471
>>440 の発言の後で
>”もしまだなら、”a sequence of independent random variables”は時枝記事を解明する重要キーワードだから、覚えておいてね”
という発言のなんという空しいことよ(笑)
473(6): 2022/11/01(火)18:58 ID:25yibjh9(5/7) AAS
>>467
>私からも質問していいですか？
いいよ
>QⅠ.ヴィタリの非可測集合の構成とそれが非可測である証明は理解していますか？
Yes
>QⅡ.ヴィタリの非可測集合が、任意の実数ε>0について、[0,ε)の部分集合となるように取れることは理解していますか？
省13
474(8): 2022/11/01(火)18:59 ID:25yibjh9(6/7) AAS
>>473
つづき
４）ヴィタリ氏は上記を逆手にとって、[-1.+1]の範囲の有理数qを全て集めて、∪V+qを作る
∪V+q を考えると、これは[-1,2]の範囲に収まる。一方で、∪V+q は上記の考察から、区間[0,1]の全ての実数を含む
つまり[0.1]⊂∪V+q
５）いま、λ(S)を集合Sにルベーグ測度を与える関数とする（上記wikipedia通り）
λ(∪V+q）＝Σλ(V） で (なお、Σは、[-1.+1]の有理数qを全て数え上げて（可算無限）和を取る)
省8
475: 2022/11/01(火)19:00 ID:25yibjh9(7/7) AAS
>>474 タイポ訂正
１）全体集合Rにルベーグ可測が与えられていること
↓
１）全体集合Rにルベーグ測度が与えられていること
476(2): 2022/11/01(火)19:41 ID:Hdk0OAq+(2/6) AAS
>>473
>>Q?. にもかかわらず、ヴィタリの非可測集合は、
>>決して、{0}に出来ない理由を説明できますか？
>それは、外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org に詳しい解説がある
そう思ってるなら、全然wikipediaの文章が読めてませんね
全く解説してませんから
>（この話は過去に書いているよ）
省15
477: 2022/11/01(火)19:50 ID:Hdk0OAq+(3/6) AAS
>>474
＞ソロベイの有名な可算理論モデルがあるが
可算理論モデル？知らんな ありもしないものが有名とは、🐒は頭オカシイな
「全ての実数の集合がルベーグ可測である」というモデルなら有名だがな
そのモデルでは選択公理は成り立たないからヴィタリ集合は構成できず
したがって存在しない
478: 2022/11/01(火)21:06 ID:+emxAWt1(2/6) AAS
タイポ訂正
>>471
Q4 >>1 の時枝記事についての意見というか立場ですか？
↓
Q4 >>1 の時枝記事についての意見というか立場を聞きたい
>>474
なお、ソロベイの有名な可算理論モデルがあるが、上記ポイントの２）のどこかが成り立たないのでしょうね（詳しくないが）
省2
479(1): 2022/11/01(火)21:27 ID:+emxAWt1(3/6) AAS
>>467
さて
質問への回答は、>>467-468に書いたよ
そこで、関連で追加の質問をします
時枝氏の記事>>1の関連>>55より
2chｽﾚ:math
さらに、数学セミナー201511月号P37 時枝記事に、次の一文がある
省12
480(2): 2022/11/01(火)21:28 ID:+emxAWt1(4/6) AAS
>>479
つづき
２）このヴィタリの非可測証明とパラレルに考えると
a)”１）全体集合Rにルベーグ測度が与えられていること”>>474
について、相当するR^Nのルベーグ測度は何だろう？
あなたは、”>>438は単なる積測度の定義 数学科の学生なら必修”>>442
だったね
省12
481: 2022/11/01(火)21:38 ID:Hdk0OAq+(4/6) AAS
>>480
＞”Q"に相当する元がR^N中に取れる？
ああ、もちろんとれる いままで気づかんかったのか
それが∪R^n(ｎ∈Ｎ）な
482: 2022/11/01(火)21:45 ID:Hdk0OAq+(5/6) AAS
2^N/∪2^n(n∈N)でもOKだぞ
2^Nは有限無限を問わず全ての２進小数
∪2^n(n∈N)は全ての2進有限小数
つまり2進小数に対して「差が2進有限小数」で類別できるし
各同値類の代表が選択公理で選べる
しかもその代表は任意の自然数nについて小数点以下n位まで0にできる
要するに代表の範囲を限りなく狭い範囲に押し込めることができる
省1
483: 2022/11/01(火)21:46 ID:Hdk0OAq+(6/6) AAS
実数：有限２進小数＝形式的ベキ級数：多項式＝無限列：有限列
484: 2022/11/01(火)23:34 ID:+emxAWt1(5/6) AAS
>>474 誤変換訂正と補足
＜誤変換訂正＞
２）ルベーグ可測が平行移動に普遍で、ヴィタリ集合Vは非可算濃度で、Vの[-1.+1]の範囲の有理数qの平行移動で可算無限和Σλ(V）を作ること
↓
２）ルベーグ可測が平行移動に不変で、ヴィタリ集合Vは非可算濃度で、Vの[-1.+1]の範囲の有理数qの平行移動で可算無限和Σλ(V）を作ること
注）普遍→不変
＜補足＞
省15
485(2): 2022/11/01(火)23:48 ID:+emxAWt1(6/6) AAS
>>476
> ヴィタリ集合はいくらでも小さくできるが
> 一方で非可算個の元が必要
> したがって0という一点には潰せない
あなた、基礎論というか無限集合論弱いねｗ
あなたの議論は面白いが、下記
カントール集合：”ルベーグ測度は 0 でありながら、濃度は実数に等しい集合（連続体濃度の非可算集合）として有名な例である”
省13
486(2): 2022/11/01(火)23:59 ID:sIOgpcGr(28/28) AAS
>>485
＞あなた、基礎論というか無限集合論弱いねｗ
＞あなたの議論は面白いが、下記
＞カントール集合：”ルベーグ測度は 0 でありながら、濃度は実数に等しい集合（連続体濃度の非可算集合）として有名な例である”
＞とある
横やりだが、
> ヴィタリ集合はいくらでも小さくできるが
省5
487(3): 2022/11/02(水)00:08 ID:yfFXmDCT(1/8) AAS
>>480 補足
>勿論、私も可測になるとは思わないけどｗ
>この記述は、時枝トリックの”目くらまし”としか思えない記述＊）なので、聞いているのですが
>（注＊）”選択公理→いかにも不思議な定理が成立”の雰囲気づくりのためにｗ）
＜補足＞
１）選択公理について、Sergiu Hart氏が、下記”without using the Axiom of Choice”で、
類似のgame2を考えている（全てが可算の範囲でゲームが行われる）
省12
上下前次1-新書関写板覧索設栞歴
あと 515 ﾚｽあります
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