[過去ﾛｸﾞ] スレタイ 箱入り無数目を語る部屋4 (1002ﾚｽ)
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431(2): 2022/10/31(月)23:57 ID:vpuiD3x9(8/8) AAS
>>402
>今の段階で、μ_N^*(A) ≦∫_{ [0,1]^N } 1_B(x,y) dμ_N(y) が x∈[0,1) に対して言えている。
>両辺を通常の1次元ルベーグ測度空間 ([0,1],F_1,μ_1) において x∈[0,1) で積分する。
>すると、左辺は μ_N^*(A) のままであり、右辺はフビニの定理が使えて、
意味わからんけど
１）そもそも、[0,1]^Nで、1辺a 0<a<1 の超立体の体積を考える
2次元ならa^2,3次元ならa^3,・・,n次元ならa^n,・・・
なので、n→∞のとき 常にa^n→0だよね（∵ 0<a<1 ）
２）一方で、無限次ベクトル (a,a,・・,a,・・)を考えると
このベクトルの長さLは、通常の成分の2乗を開平だとして
L=√(Σn=1～∞ a^2)→∞ （∵ a≠0 ）つまり発散するよ
３）だから、[0,1]^Nの空間に計量を入れて扱おうとするならば、
通常の1次元ルベーグ測度 [0,1] とは、違う測度にしないと、どうにもならん気がするけど？
だからのヒルベルト空間でしょ？
（最初から、ベクトルの長さが定義できる素性の良いところに限定するんだよ）
４）そもそも、下記ヴィタリ集合の非可測性は、
実数Rに与えられたルベーグ測度をベースに論じて
その上で非可測性を示すよね
５）だから、無限次元の[0,1]^Nに対して、
どういう測度を与えるのか？
そこをしっかりしないと、上滑りの”可測、非可測”の議論になるよ
(参考)
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ヴィタリ集合
可測集合
集合には '長さ' や '重さ' が定まるものがある。例えば、区間 [0, 1]は長さ1を持つと思われる。
重さに最も近い一般化はσ-加法性を持つルベーグ測度である。
構成と証明
これは不可能である。一つの定数の無限和は 0 であるか無限大に発散するので、いずれにせよ [1, 3] の中には入らない。すなわち V は可測ではない。つまりルベーグ測度 λ はいかなる値も λ(V) の値として定義できない[3][4]。
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