[過去ﾛｸﾞ] スレタイ 箱入り無数目を語る部屋4 (1002ﾚｽ)
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451: 2022/11/01(火)12:17 ID:sIOgpcGr(16/28) AAS
続いて、上記の写像 P：R → [0,1] を、A_f 上に拡張して P：A_f → [0,1] を定義する。

A_f の各元は、互いに素な R の元の有限個の和として表せるので、A∈A_f を任意に取れば、
ある N≧1 とある互いに素な B_1,…,B_N∈R が存在して A＝∪[r＝1〜N] B_r と表せる。
そこで、P(A)：＝Σ[r〜1〜N] P(B_r) と定義する。各 B_r は B_r∈R を満たし、
そして R 上では P の定義は済んでいたので、P(B_r) は既に定義済みであり、
よって P(A)：＝Σ[r〜1〜N] P(B_r) の右辺はちゃんと意味を持っている。

こうして、P：A_f → [0,1] を定義する。この定義は well-defined である。
すなわち、A＝∪[r＝1〜N] B_r の右辺の表現の仕方によらず一意的に P(A) の値が定まる。
より具体的に言えば、同じ A＝∪[r＝1〜N] B_r を別の有限個の互いに素な C_1,…,C_M∈R によって
A＝∪[r＝1〜M] C_r と表せたときに、

Σ[r〜1〜N] P(B_r) ＝ Σ[r〜1〜M] P(C_r)

が成り立つことが示せる。このことはリンク先で証明されている。
こうして P：A_f → [0,1] が定義できたが、この P は A_f 上で有限加法的であることが示される。

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