[過去ﾛｸﾞ] スレタイ 箱入り無数目を語る部屋4 (1002ﾚｽ)
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433: 2022/11/01(火)00:08 ID:sIOgpcGr(2/28) AAS
その前に、見落としがちな注意点を1つ。
(X,F,ν)を有限測度空間とする。ν_* を、ν から作られる内測度とする。
このとき、任意の A⊂B⊂X に対して ν_*(A)≦ν_*(B) が成り立つ。
内測度なんだから逆転して ν_*(A)≧ν_*(B) だろうと錯覚してしまうが、
そうではなく、ν_*(A)≦ν_*(B) が成り立つ。実際、内測度に関する

・ A,B⊂X が互いに素ならば、ν_*(A∪B)≧ν_*(A)＋ν_*(B)

という性質(こちらは確かに逆転している)を使えば、A⊂B⊂X のとき、
B＝A∪(B−A) と分解できて、AとB−Aは互いに素なので、

ν_*(B)＝ν_*(A∪(B−A))≧ν_*(A)＋ν_*(B−A)≧ν_*(A)

となり、確かに ν_*(A)≦ν_*(B) である。なぜこちらは逆転しないのかというと、
A⊂B がともに可測のときには、ν_*(A)＝ν(A), ν_*(B)＝ν(B) であり、
かつ ν(A)≦ν(B) なのだから、このように考えれば、逆転するわけがないと分かる。
内測度なんて滅多に使わないので、一応補足しておいた。

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