[過去ﾛｸﾞ] スレタイ 箱入り無数目を語る部屋4 (1002ﾚｽ)
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1(34): 2022/10/21(金)20:45 ID:JJUDruWB(1/5) AAS
前スレが1000近く又は1000超えになったので、新スレを立てる
前スレ スレタイ 箱入り無数目を語る部屋3
2chｽﾚ:math
（参考）
時枝問題（数学セミナー201511月号の記事） 「箱入り無数目」抜粋
純粋・応用数学（含むガロア理論）8
2chｽﾚ:math
省18
2(9): 2022/10/21(金)20:46 ID:JJUDruWB(2/5) AAS
つづき
mathoverflowは時枝類似で
・Denis質問でも、もともと”but other people argue it's not ok, because we would need to define a measure on sequences, and moreover axiom of choice messes everything up.”
となっています。Denisの経歴を見ると、彼は欧州の研究所勤務で、other peopleは研究所の確率に詳しい人でしょう
・Pruss氏とHuynh氏とは、経歴を見ると、数学DRです。両者とも、このパズル（＝riddle）は、可測性が保証されていないと回答しています
外部ﾘﾝｸ:www.ma.huji.ac.il
Sergiu Hart
省14
13(20): 2022/10/22(土)09:18 ID:vbwjrS8W(3/7) AAS
>>8 補足
> ３）ｎ→∞の極限を考える（非正則分布になる）、当りの確率1/ｎ→0
＜非正則分布についての補足＞
(参考)
箱入り無数目を語る部屋2 2chｽﾚ:math より
外部ﾘﾝｸ:ai-trend.jp
AVILEN Inc
省24
14(3): 2022/10/22(土)09:19 ID:vbwjrS8W(4/7) AAS
>>13
つづき
しかし、分布の裾が減数しない、例えば上記 一様分布の範囲を無限に広げた分布（一様事前分布）
は、積分が発散して、確率の和（つまり全事象）が1にならない
よって、通常の確率論の外になる
時枝の決定番号に、同じ
(参考)
省7
17(7): 2022/10/22(土)11:32 ID:vbwjrS8W(5/7) AAS
>>13-14 補足
>分布の裾が減数しない、例えば上記 一様分布の範囲を無限に広げた分布（一様事前分布）
>は、積分が発散して、確率の和（つまり全事象）が1にならない
>よって、通常の確率論の外になる
>時枝の決定番号に、同じ
１）時枝の決定番号は、上限がなく、その裾は減衰しない
２）よって、非正則分布を成す
省9
25(3): 2022/10/22(土)13:34 ID:v1c6Gw+Y(14/17) AAS
文字化けしているので、一応修正。
× 納1≦k≦M] 1/2^k
〇 ? [k＝1〜M] 1/2^k
28(10): 2022/10/22(土)15:14 ID:vbwjrS8W(7/7) AAS
>>13 補足
(引用開始)
＜非正則分布についての補足＞
(参考)
箱入り無数目を語る部屋2 2chｽﾚ:math より
外部ﾘﾝｸ:ai-trend.jp
AVILEN Inc
省22
32(10): 2022/10/23(日)08:33 ID:5JY9jG/V(2/9) AAS
>>31
まとめよう
後の都合で、前スレから都築暢夫先生、梅谷武氏、柳田伸太郎先生をも、再録する
前スレ 2chｽﾚ:math
多項式環 F[x]：任意の自然数より大きい次元の部分空間を持つから無限次元である（都築 暢夫 広島大）
外部ﾘﾝｸ[html]:www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp
2006年度 代数学1:講義ノート
省21
33(8): 2022/10/23(日)08:33 ID:5JY9jG/V(3/9) AAS
つづく
前スレ 2chｽﾚ:math
P164から問題の解答がある。親切だね
外部ﾘﾝｸ[html]:www.math.nagoya-u.ac.jp
柳田伸太郎 名古屋大学 大学院多元数理科学研究科
外部ﾘﾝｸ[html]:www.math.nagoya-u.ac.jp
2022年度春学期 現代数学基礎BI
省20
34(7): 2022/10/23(日)08:33 ID:5JY9jG/V(4/9) AAS
つづく
前スレ 2chｽﾚ:math
もう既に書いたことだが
１）可算無限列 a0,a1,a2,・・an,・・を
形式的冪級数τ＝a0+a1x+a2x^2+・・+anx^n+・・に写して考えることができる（>>601 柳田伸太郎 名大 ）
２）しっぽの同値類は、同じ同値類に属する形式的冪級数τ1,τ2で差を作ると
f(x)＝τ1-τ2 と多項式になる（等しいしっぽの項の部分が消える）
省15
35(6): 2022/10/23(日)08:33 ID:5JY9jG/V(5/9) AAS
つづく
別の視点では、”時枝記事の「99/100以上」という勝率”が、
非正則分布を使った>>28
条件付き確率と考えることができる>>17
ってことだね
以上
47(8): 2022/10/23(日)20:19 ID:5JY9jG/V(8/9) AAS
>>34 補足
(>>32-34より)
可算無限列 a0,a1,a2,・・an,・・
↓↑
形式的冪級数τ＝a0+a1x+a2x^2+・・+anx^n+・・
↓↑
多項式 fn(x)＝b0+b1x+b2x^2+・・+bnx^n があって
省28
55(10): 2022/10/24(月)08:07 ID:/NL28vFA(1/3) AAS
>>47 補足
（参考）>>1より
時枝問題（数学セミナー201511月号の記事） 「箱入り無数目」抜粋
純粋・応用数学（含むガロア理論）8
2chｽﾚ:math
さらに、数学セミナー201511月号P37 時枝記事に、次の一文がある
「R^N/～ の代表系を選んだ箇所で選択公理を使っている.
省16
68(4): 2022/10/25(火)11:59 ID:JXoOrGqY(3/5) AAS
>>55 補足
(引用開始)
さらに、数学セミナー201511月号P37 時枝記事に、次の一文がある
「R^N/～ の代表系を選んだ箇所で選択公理を使っている.
その結果R^N →R^N/～ の切断は非可測になる.
ここは有名なヴィタリのルベーグ非可測集合の例(Q/Zを「差が有理数」で類別した代表系， 1905年)にそっくりである.」
さらに、過去スレでは引用しなかったが、続いて下記も引用する
省16
75(5): 2022/10/25(火)15:47 ID:JXoOrGqY(5/5) AAS
>>73
>R^N には標準的な一様分布は存在しないが、[0,1]^N なら一様分布が存在する。
>よって、[0,1]^N を使えばよい。これでも時枝記事の不思議さは失われない。
だから、それって、現代数学では
下記の琉球大 杉浦 誠 P9
”無限個の確率変数の族 {Xλ}”
i.i.d.＝独立同分布
省22
82(3): 2022/10/25(火)18:55 ID:Ul5yo7ZX(1/3) AAS
>>80
箱の中身をどうするかは出題者側の自由だよね
出題者が箱の中身をランダムに決めて自分もその数を確認しなければ箱を先に閉じても確率変数として扱う以外なくなるのでは？
90(5): 2022/10/25(火)22:15 ID:b4fd0P/g(1/6) AAS
>>75 補足
>>2より
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.ma.huji.ac.il
Sergiu Hart Some nice puzzles:
Choice Games November 4, 2013
P2
Remark. When the number of boxes is finite Player 1 can guarantee a win
省18
98(4): 2022/10/25(火)23:28 ID:b4fd0P/g(6/6) AAS
>>96
>あなたは 外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.ma.huji.ac.il の Theorem 1 を
>正しいと思っているのか、間違っていると思っているのか、どっちなの？
当然、間違っている
思っているではない
数学的に、間違っている！（＾＾
101(5): 2022/10/25(火)23:51 ID:M48SdpJ3(2/2) AAS
>>98
それなら、 外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.ma.huji.ac.il の Theorem 1 の証明の
どこが間違ってるのか指摘して
104(6): 2022/10/26(水)12:00 ID:gBkcMulc(1/4) AAS
>>103
ID:5o56ZvAH氏ね
新し人なのかな？
何年か前にタイムスリップしたような
時枝記事>>1を議論した初期は、あなたみたいな人多かったよ
しかし、多くの人は、大学レベルの確率論を学んで、「時枝不成立」で納得したと思う
時枝氏が間違えたくらいだから、まあ、仕方ない面はあるけど
省20
105(4): 2022/10/26(水)12:00 ID:gBkcMulc(2/4) AAS
>>104
つづき
c)そこで時枝記事は、このような二つの可算無限数列の組を
100組作る。1組を問題列の組として（この決定番号をdとする）、
他の残り99個の組の決定番号の最大値を得て（これをdmax99とする）
”d＜=dmax99”と出来るという
d)問題列の組で、出題された列のdmax99+1番目以降の箱を開けて
省15
108(3): 2022/10/26(水)13:16 ID:gBkcMulc(4/4) AAS
>>106
>よって出題列がsである確率は1であり、勝率は少なくとも1×(99/100)=99/100
時枝懐疑派は、
みんな「出題列がsである確率は1」を疑い否定している
実際、それには確率論的証明がない
つまり、確率論では、実数の集合Ｒから、
一つの実数r∈Ｒをランダムに選ぶ確率は0だ
省5
117(3): 2022/10/26(水)20:21 ID:b4wD2Jth(5/5) AAS
>>106
>回答者の数当ては出題列が固定されている前提。
１）出題列が、一つの問題では固定されていても
２）代表列の取り方は、自由度があるよ
（もっと言えば、回答者Ａさんと回答者Ｂさんとでは、異なる代表であっていい。その場合、決定番号も変化するよ）
３）そして、決定番号は、非正則分布を成すよ
残念でしたｗ
123(4): 2022/10/26(水)22:45 ID:js2ixmD3(1/2) AAS
>>122
出題がsに固定された時の確率p_sが存在するとは限らないんじゃない？
124(3): 2022/10/26(水)22:46 ID:js2ixmD3(2/2) AAS
>>123
回答者が勝つ確率が
127(4): 2022/10/27(木)14:21 ID:0wvuHdLp(1/5) AAS
>>126
ランダムな列の選択を全ての列を一回ずつやり直す
あるいは100人同時に実行すること
もし実験だというのならサイコロを何回も振るようにそれぞれの目に途中では偏りもありながら最終的に大数の法則で同じ割合で選択されるところまでやるべき
ただしそれはできそうもない
単一の列の選択した結果は非可測で確率が求められないだろうから
136(3): 2022/10/27(木)16:29 ID:3qL2qSS4(1/12) AAS
>>127
出題が固定の場合を考えてるんでしょ？出題が固定なら、非可測集合は登場しないよ。
出題が固定だと、100個の決定番号は毎回同じ。もっと言えば、
回答者が番号 i を選んだときの時枝戦術でどの箱の中身を推測するのかも(iごとに)毎回同じ。
その推測が当たるか外れるかも(iごとに)毎回同じ。
ある番号 i_0 に対する時枝戦術で推測に成功するなら、i_0 を選んだ回は必ず成功する。
ある番号 i_1 に対する時枝戦術で推測に失敗するなら、i_1 を選んだ回は必ず失敗する。
省7
139(4): 2022/10/27(木)17:09 ID:0wvuHdLp(2/5) AAS
>>136
出題が固定されてようがなんだろうが回答者が箱の中に何が入ってるのか知らなければ同じこと
出題者がランダムに箱の中の数を決定して自分は箱の中の数の確認もしないと設定したら余計にはっきりする
141(3): 2022/10/27(木)17:41 ID:0wvuHdLp(3/5) AAS
>>140
サイコロを塞の中で振ってサイコロを固定することに何の意味がある？何もせんでもサイコロの目は固定されてるけど
144(3): 2022/10/27(木)17:49 ID:0wvuHdLp(4/5) AAS
>>142
99/100は列の選択を一回ずつ行う実験をしたり100人でそれぞれ別の列を選択した時だけのこと
列の選択をランダムに1回したり10000回振ったりした時は99/100になるとは言えない
145(3): 2022/10/27(木)17:52 ID:3qL2qSS4(7/12) AAS
>>141
ちなみに、固定することにはちゃんと意味がある。出題者が実数列 s を固定することの意味とは、ずばり、
「コイン C_s がどれくらい表が出やすいのか性能をチェックする」
ということ。この点において、ちゃんと意味がある。出題者は、実数列 s ごとにコイン C_s を
1枚ずつ所持している。実数列は無数に存在するので、コイン C_s も無数に存在する。
その中から1つのコイン C_s を出題者がピックアップする。このコインは、公平なコインなのか、
それとも表が出やすいコインなのか？そのことを確かめるには、このコイン C_s を固定して、
省7
158(3): 2022/10/27(木)23:01 ID:5qyBNCgy(2/2) AAS
>>149 補足
>>出題が固定されてようがなんだろうが回答者が箱の中に何が入ってるのか知らなければ同じこと
補足しておこう
１） ID:0wvuHdLp氏の上記が正しい
２）例えば、麻雀で牌をかき混ぜて山に積んだ
この段階で、牌は固定されたが、どの牌を積もるかは、人は知らない
だから、牌をかき混ぜて山に積む前と後で、考える確率は同じだよ
省10
161(7): 2022/10/28(金)07:51 ID:0FiXm6H7(1/4) AAS
>>158 補足
補足しておこう
１）時枝 >>1 でダメなのは、決定番号が非正則分布>>28になっていること
２）決定番号→多項式環内の多項式の次数n+1に相当することは、すでに述べた>>55
３）多項式環内の多項式の次数が非正則分布であることは明らかだ
４）非正則分布内で、100個の決定番号をとっても、ランダムサンプリング（無作為抽出）ではない
５）つまり、ここで通常の確率論ではなくなっているってことだね
省1
172(14): 2022/10/28(金)13:14 ID:6/MPYgLL(1/19) AAS
>>161
＞３）多項式環内の多項式の次数が非正則分布であることは明らかだ
＞４）非正則分布内で、100個の決定番号をとっても、ランダムサンプリング（無作為抽出）ではない
＞５）つまり、ここで通常の確率論ではなくなっているってことだね
多項式環 R[x] 上には標準的な無作為抽出がそもそも存在しない。
従って、無作為抽出でなければ確率論でないのならば、
R[x] 上で確率論を論じることそのものが不可能ということになる。
省10
176(3): 2022/10/28(金)17:01 ID:PyYxVCuK(3/3) AAS
>>172
>多項式環 R[x] 上には標準的な無作為抽出がそもそも存在しない。
>従って、無作為抽出でなければ確率論でないのならば、
>R[x] 上で確率論を論じることそのものが不可能ということになる。
その通りですよ
例えば、複素数係数の多項式環 R[x] は、無限次元線形空間になる>>32-33
しかし、無限次元線形空間には、そのままでは計量が入らないよね
省8
178(8): 2022/10/28(金)17:35 ID:FfpyMD1B(1/2) AAS
>>172
>R[x] 上に任意のσ集合体Fと確率測度を定めて
>確率空間 (R[x], F, P) を設定すれば、
>この確率空間に基づいた確率論を論じることが可能。
設定できれば、ね
でも無理でしょ
>特に、F として
省11
179(6): 2022/10/28(金)17:41 ID:FfpyMD1B(2/2) AAS
>>178
172が言う確率測度は存在し得ない
1には証明できないだろうけど
数学科の学生なら証明出来る
残念だったね
180(5): 2022/10/28(金)18:09 ID:6/MPYgLL(4/19) AAS
>>178
何言ってるんだこいつ。普通に設定できるでしょ。
以下では2つの方針で「設定できる」ことを示す。
1つ目の方法： X を空でない集合として、X 上のσ集合体 F を任意に取る。
このとき、確率測度 P：F → [0,1] が少なくとも1つ存在する。
実際、x_0∈X を1つ固定し、A∈F に対して P(A)＝1 (x_0∈A), 0 (それ以外)
として P：F → [0,1] を定めればよい。このとき、(X,F,P) は確率空間になる。
省7
181(4): 2022/10/28(金)18:19 ID:6/MPYgLL(5/19) AAS
次は2つ目の方法。ここでは、>>172を満たす確率空間を、より具体的に構成する。
−1 以上の整数全体の集合を M と書くことにする。
A_n ＝ { f(x)∈R[x]｜deg f(x)＝n } (n≧0) と置き、A_{−1}＝{o} と置き、
{ A_n }_{n∈M} から生成される R[x] 上の最小のσ集合体を F と置く。
A_n (n∈M) は互いに素かつ ∪[n∈M] A_n ＝ R[x] が成り立つことに注意して、
F ＝ { ∪[i∈I] A_i｜I は M の任意の部分集合}
と書ける。Σ[n∈M] p_n ＝ 1 を満たす p：M → [0,1] を任意に選び、P：F → [0,1] を
省6
183(3): 2022/10/28(金)18:23 ID:izVQrwQU(3/4) AAS
>>169
時枝戦略は回答者側の戦略でしょ
出題者側が箱の中の実数を確率変数にしたっていいじゃないか
184(3): 2022/10/28(金)18:26 ID:izVQrwQU(4/4) AAS
>>183
箱の中の実数の値を誰も確認せずに乱数発生器にまかせたらどんな値になったか確率でしか決まらない
207(3): 2022/10/28(金)20:35 ID:89WNvrak(9/13) AAS
>>206
小卒皮カムリがイラついてますｗ
ムリに皮剥くなよ イタくなっちゃうぞｗ
それにしても独善ルールで勝ちたがる馬鹿って本当みっともないなｗ
こいつ、＊＊Ｘでも「どうだデカいだろ」とかいってんだろな
粗＊ンのくせにｗｗｗｗｗｗｗ
218(3): 2022/10/29(土)07:35 ID:TJ1yzMer(1/16) AAS
>>183-184
>出題者側が箱の中の実数を確率変数にしたっていいじゃないか
それは違うよ
「箱の中の実数を、確率変数として扱う」（下記 渡辺澄夫 東工大）ってことです
外部ﾘﾝｸ[html]:watanabe-www.math.dis.titech.ac.jp 渡辺澄夫 東工大
外部ﾘﾝｸ[html]:watanabe-www.math.dis.titech.ac.jp
確率変数
省6
219(4): 2022/10/29(土)07:46 ID:TJ1yzMer(2/16) AAS
そもそも論に戻ろう
時枝>>1で
”どんな実数を入れるかはまったく自由，例えばn番目の箱にe^πを入れてもよいし，すべての箱にπを入れてもよい.
もちろんでたらめだって構わない.そして箱をみな閉じる.”
１）区間[-∞、+∞]の実数を、ピンポイントで的中させる？
それが、どれだけ破天荒なことか？
２）確率論で、r∈Ｒの実数の確率は、
省10
220(11): 2022/10/29(土)08:23 ID:TJ1yzMer(3/16) AAS
>>217
>改めて懐疑派・否定派に>>101を問う
１）反例が存在するよ
２）>>104に書いたが、現代数学の確率論では
可算無限個の確率変数族 X1,・・,Xn ,・・
を扱うことができる
３）サイコロの目を箱に入れると、
省33
236(7): 2022/10/29(土)15:46 ID:TJ1yzMer(5/16) AAS
>>220 補足
> 決定番号は、多項式環の多項式の次数+1と解せられる>>161
> 時枝 >>1 でダメなのは、決定番号が非正則分布>>28になっていること
> そこが、時枝記事のトリックのキモです
<補足>
これについては、>>32-35に書いてあるが
さらに、掘り下げようと思う
省17
237(3): 2022/10/29(土)15:47 ID:TJ1yzMer(6/16) AAS
>>236
つづき
最後に気を付けるべき点は、ユークリッド空間は技術的にはベクトル空間ではなくて、（ベクトル空間が作用する）アフィン空間と考えなければいけないことである。直観的には、この差異はユークリッド空間には原点の位置を標準的に決めることはできない（平行移動でどこへでも動かせるため）ことをいうものである。大抵の場合においては、この差異を無視してもそれほど問題を生じることはないであろう。
厳密な定義
いったん直交座標系が固定されると、n-次元ユークリッド空間 (S, V) は n-次元の標準的ユークリッド空間 (Rn, Rn) と同一視することができるので、ユークリッド空間といったら標準的ユークリッド空間のことを指す場合も多い。
なお、n-次元ユークリッド空間の定義において、「実内積空間」を「実ベクトル空間」に置き換えて得られる空間を n-次元アフィン空間と呼ぶ。ユークリッド空間は計量（内積）をもった特別なアフィン空間であるということができる。計量をもたないアフィン空間においては、二点間の距離や線分のなす角などは定義されないが、ユークリッド空間においてはこれらの概念を以下に述べる仕方で定義することができる。
現代的な観点では、ユークリッド空間は各次元に本質的に一つだけ存在すると考えられる。たとえば一次元なら実数直線、二次元ならデカルト平面、より高次の場合は実数の組を座標にもつ実座標空間である。つまり、ユークリッド空間の「点」は実数からなる組であり、二点間の距離は二点間の距離の公式に従うものとして定まる。n-次元ユークリッド空間は、（標準的なモデルを与えるものという意味で）しばしば Rn とかかれるが、（余分な構造を想起させない）ユークリッド空間固有の性質を備えたものということを強調する意味で En と書かれることもある。ふつう、ユークリッド空間といえば有限次元であるものをいう。
省3
238(4): 2022/10/29(土)15:48 ID:TJ1yzMer(7/16) AAS
>>237
つづき
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
基底 (線型代数学)
任意のベクトル空間は基底を持つ（このことの証明には選択公理が必要である）。一つのベクトル空間では、全ての基底が同じ濃度（元の個数）を持ち、その濃度をそのベクトル空間の次元と呼ぶ。この事実は次元定理と呼ばれる（証明には、選択公理のきわめて弱い形である超フィルター補題が必要である）。
順序基底と座標系
V は体 F 上の n-次元ベクトル空間であるものとする。V の順序基底を一つ選ぶことは、数ベクトル空間 Fn （座標全体のなすベクトル空間と考えられる）から V への線型同型写像 φ を一つ選ぶことと等価である。これを見るのに Fn の標準基底が順序基底であることが利用できる。
省6
239(5): 2022/10/29(土)15:49 ID:TJ1yzMer(8/16) AAS
>>238
つづき
無限次元空間に対してこれら異種の基底が優先されるのは、バナッハ空間においてはハメル基底は「大きすぎる」という事実によるものである。即ち、X が完備な無限次元ノルム空間（つまりバナッハ空間）のとき、X の任意のハメル基底が非可算となることがベールの範疇定理から従う。先の主張における完備性の仮定は無限次元の仮定同様に重要である。実際、有限次元空間は定義により有限な基底を持つし、また完備でない無限次元ノルム空間で可算なハメル基底を持つものが存在する。
例
フーリエ級数論において、
略
当該函数系の「無限線型結合」として表される。しかし殆どの自乗可積分函数はこれら基底函数の有限線型結合としては表すことができず、したがってこの「基底」はハメル基底には「ならない」。この空間の任意のハメル基底は、この可算無限にすぎない「基底」よりもはるかに大きいのである（ハメル基底は連続の濃度をもつ[13]）。この種の空間のハメル基底は典型的に有用でなく、一方でこれらの空間の正規直交基底はフーリエ解析において本質的である。
省3
260(4): 2022/10/29(土)21:49 ID:TJ1yzMer(14/16) AAS
>>255-256
やれやれ
現代数学の確率論を
全然理解していないね
>>一方で、スレ主によれば、回答者の勝率はゼロだという
そんなことは言ってないぞ！ｗ
>>220に書いた通りです
省27
261(5): 2022/10/29(土)21:57 ID:TJ1yzMer(15/16) AAS
>>259
>あなたには証明の間違いを指摘できないということですね
なんども指摘している
決定番号を使った確率計算をしている
しかし、決定番号は非正則分布を成すので
時枝やSergiu Hart氏の確率計算 99/100は
正当化できないってことですよ！
省5
281(3): 2022/10/30(日)10:30 ID:S1FiB990(1/19) AAS
>>262
>＞そんなことは言ってないぞ！ｗ
>なるほど、しれっと主張を変えたわけだ。今までは
>＞結局、全体として、0*(99/100)=0 ってことですよ
>と明言していたのにな。いつの間にか「勝率ゼロ」はやめたわけだ。
分かってないね
１）現代数学の確率論では、>>220に示したように
省7
282(4): 2022/10/30(日)10:42 ID:S1FiB990(2/19) AAS
>>218 補足
>「箱の中の実数を、確率変数として扱う」（下記 渡辺澄夫 東工大）ってことです
>外部ﾘﾝｸ[html]:watanabe-www.math.dis.titech.ac.jp 渡辺澄夫 東工大
>外部ﾘﾝｸ[html]:watanabe-www.math.dis.titech.ac.jp
>確率変数
>大学院の講義で「確率変数」を説明したのですが、理解できた人が 少ないように思うので、もう一度、説明します。確率変数は、非常に重要な概念なので 社会に出るまでに、必ず、理解してください。
>(2) 実数 w から実数 x への関数 x=X(w) が与えられたとき、この関数 X を「確率変数」と呼びます。確率変数とは、関数のことなのです。
省19
290(3): 2022/10/30(日)13:21 ID:6rtRwLi2(1/33) AAS
出題がランダムの場合の時枝記事を
「ランダム時枝ゲーム」
と呼ぶことにし、もともとの時枝記事とは区別する
(もともとの時枝記事では、出題は固定である)。
ランダム時枝ゲームを記述する確率空間を、以下で定義する。
291(6): 2022/10/30(日)13:22 ID:6rtRwLi2(2/33) AAS
まず、閉区間[0,1]上のルベーグ可測集合全体の族を F_1 と置き、A∈F_1 に対して
μ(A)＝(Aのルベーグ測度)と定義すると、([0,1],F_1,μ) は確率空間になる。この確率空間は、
「閉区間 [0,1] からランダムに実数を選ぶ(一様分布)」という操作を表現した確率空間である。
次に、この確率空間 ([0,1],F_1,μ) の可算無限直積 確率空間を ([0,1]^N, F_N, μ_N) と書く。
この確率空間は、
「実数列 x＝(x_1,x_2,x_3,…)∈[0,1]^N をランダムに選ぶ(各項ごとに[0,1]上の一様分布が実現されている)」
という操作を実現した確率空間である。この確率空間と同等な設定としては、
省3
292(6): 2022/10/30(日)13:23 ID:6rtRwLi2(3/33) AAS
ランダム時枝ゲーム(出題がランダムの場合の時枝記事)は、以下のようなゲームである。
・ 回答者は、[0,1]^N の 〜 に関する完全代表系 T_0 を予め1つ用意しておく。
よって、決定番号の写像 d：[0,1]^N → N が定義できる。
・ 出題者は s∈[0,1]^N を一様分布(>>291)に従ってランダムに選び、可算無限個の箱に詰める。
・ 回答者は 1,2,…,100 からランダムに番号 i を選び、番号 i に対する時枝戦術を実行する。
このゲームを記述できる確率空間を、以下で定義する。
293(12): 2022/10/30(日)13:24 ID:6rtRwLi2(4/33) AAS
I＝{1,2,…,100} と置き、(I, G, η) という確率空間を考える。
ただし、G＝pow(I), η({i})＝1/100 (1≦i≦100) と定義する。
この確率空間は、{1,2,…,100} の中から一様分布に従って
ランダムに1つ番号を選ぶという操作を記述する確率空間である。
次に、>>291の確率空間([0,1]^N, F_N, μ_N)と上記の確率空間(I, G, η)の
直積として得られる確率空間を (Ω,F,P) と置く。よって、
Ω＝[0,1]^N×I, F＝( { A×B｜A∈F_N, B∈G } で生成される最小のσ集合体), P＝(μ_N とηの直積測度)
省1
294(8): 2022/10/30(日)13:25 ID:6rtRwLi2(5/33) AAS
さて、ランダム時枝ゲームにおける出題者と回答者の行動は、次の2つが全てである。
・ 出題者はランダムに s∈[0,1]^N を選ぶ。
・ 回答者はランダムに i∈I (＝{1,2,…,100}) を選ぶ。
そして、(s,i) の組が決まれば、回答者の勝ち負けは((s,i)ごとに)一意的に決まる。
従って、(s,i) の組でランダム時枝ゲームが記述できる。
すなわち、>>293の確率空間 (Ω,F,P) こそが、ランダム時枝ゲームを記述する確率空間である。
297(5): 2022/10/30(日)13:30 ID:6rtRwLi2(8/33) AAS
一方で、任意の s∈[0,1]^N に対して、A の s における断面 A_s は
確率空間 (I, G, η) において可測である。実際、
A_s ＝ { i∈I｜(s,i)∈A } ＝ { i∈I｜d(s^{i})≦max{d(s^{j})｜1≦j≦100, j≠i } }
であり、自明に A_s ∈ pow(I)＝G なので、確かに A_s は(I, G, η)において可測である。
特に、その確率 η(A_s) が定義できる。1≦i≦100 の中で d(s^{i})≦max{d(s^{j})｜1≦j≦100, j≠i } を
満たさない i は高々1つなので、η(A_s) ≧ 99/100 である。よって、次が示せたことになる。
(☆) ∀s∈[0,1]^N s.t. η(A_s) ≧ 99/100.
省3
300(4): 2022/10/30(日)13:41 ID:6rtRwLi2(11/33) AAS
以下の2つの定理はよく知られた定理であるが、ここでは念のため、証明を与える。
定理1：(X,F,ν)は有限測度空間で、ν^* はνから生成される外測度とする。
このとき、任意の A⊂X に対して、ある B∈F が存在して、A⊂B かつ ν^*(A)＝ν(B) が成り立つ。
定理2：(X,F,ν)は有限測度空間で、ν^* はνから生成される外測度とする。
A_n⊂X (n≧1) は広義単調増加とする。A＝∪[n＝1〜∞] A_n と置けば、A_n ↑ A (n→∞) が
成り立つわけだが、実は lim[n→∞] ν^*(A_n)＝ν^*(A) が成り立つ。
つまり、ν^* は(必ずしも可測とは限らない)一般の単調増加集合列に対する上への連続性を満たす。
省1
309(4): 2022/10/30(日)14:49 ID:S1FiB990(5/19) AAS
>>238-239 補足
>無限次元空間に対してこれら異種の基底が優先されるのは、バナッハ空間においてはハメル基底は「大きすぎる」という事実によるものである。即ち、X が完備な無限次元ノルム空間（つまりバナッハ空間）のとき、X の任意のハメル基底が非可算となることがベールの範疇定理から従う。先の主張における完備性の仮定は無限次元の仮定同様に重要である。実際、有限次元空間は定義により有限な基底を持つし、また完備でない無限次元ノルム空間で可算なハメル基底を持つものが存在する。
ここを補足すると
１）数論系では：
有限小数環FD⊂有理数環Q⊂実数環R(or 複素数環C)
（注：有限小数 Finite decimalより、FDとした ）
ここで
省18
310(5): 2022/10/30(日)14:50 ID:S1FiB990(6/19) AAS
>>309
つづき
４）で
・代数学では、任意のn次多項式f(x) n∈N(自然数)として、何の問題もない
・しかし、確率論の扱いとしては、
「可算無限次元の線形空間から、無作為に有限次元のベクトルを抽出しました」
というと、完全に形容矛盾！
省9
316(4): 2022/10/30(日)15:06 ID:i/oNgV02(1/2) AAS
>>311
まだやってたの？w
時枝戦略に多項式環なんて何も関係ないよ
327(4): 2022/10/30(日)15:36 ID:S1FiB990(11/19) AAS
>>317
>この部分である。使用される確率空間の正体が (Ω,F,P) であると判明してしまった以上
ガハハｗ
現代数学の確率論の正当な扱いは下記だよ
１）時枝記事>>1の箱に、サイコロの目を入れる
加算無限個でも、現代数学の確率論で扱えて何の問題もない！
２）iid（独立同分布）とする
省30
329(6): 2022/10/30(日)15:45 ID:jCkrQEBd(1/3) AAS
ここに時枝記事を紹介したのは俺なんだが、当時メンター氏と勝手に呼んでいた数学板の至宝が現役で活躍していることに驚いた。そしてスレ主が不屈の魂で非数学の論陣を張って粘り続けていることにも驚いた
理屈の通らない主張の後にながーい引用文を貼り付けて自身の屁理屈を誤魔化そうとするスレ主の常套手段も健在。懐かしいねえ
どんなに攻撃されても降参だけはしない大日本帝国陸海軍みたいな男をどうやっつければいいのか。もう随分前からメンター氏は原爆を投下しているんだがスレ主は相変わらずピンピンしてるね(笑)
349(3): 2022/10/30(日)20:25 ID:S1FiB990(14/19) AAS
>>309 補足
１）(対応関係)
数論系
有限小数環FD⊂有理数環Q⊂実数環R(or 複素数環C)
↓↑
関数解析系
多項式環F[x]⊂有理式環RF[x]⊂形式的冪級数環F{[x]}
省27
364(4): 2022/10/31(月)07:53 ID:vpuiD3x9(1/8) AAS
>>363
なんか、論理の基本が破綻しているんじゃない？
１）命題P→Qで、仮定(前提)Pが偽なら、P→Qは真
２）現代数学のコルモゴロフの確率論に乗せるためのいくつかの前提がある
その前提を満たしていないにも拘わらず
コルモゴロフの確率論を適用する
そうすると、命題P→Qは真でも、現実とは異なるよ
省12
371(3): 2022/10/31(月)14:24 ID:V6kL7bYX(1/47) AAS
>>364
＞３）例えば、宝くじが当たったら、家が建つ
＞ 論理としては正しい。しかし、現実は、宝くじは外れ
＞ 家は建たない
ナンセンス。
・ 宝くじが当たったら Q が成り立つ
・ 宝くじが外れたら Q が成り立つ
省4
372(3): 2022/10/31(月)14:25 ID:V6kL7bYX(2/47) AAS
>>364
＞２）現代数学のコルモゴロフの確率論に乗せるためのいくつかの前提がある
＞その前提を満たしていないにも拘わらず
＞コルモゴロフの確率論を適用する
これもナンセンス。ランダム時枝ゲームで使われる確率空間は(Ω,F,P) (>>293)であり、
この確率空間はごく普通の確率空間である。そして、P から生成される外測度を
P^* と書くとき、任意の集合 B⊂Ω に対して無条件で P^*(B) が定義できて、
省10
375(3): 2022/10/31(月)14:40 ID:V6kL7bYX(5/47) AAS
一般に、測度空間 (X,F,m)が与えられたとき、その完備化を (X,F_w,m_w) と書くことにする。
補題：(X_i,F_i,m_i) (i＝1,2)は有限測度空間で、(X,F,m)はその積空間とする。よって、
X＝X_1×X_2, F ＝ ( {A_1×A_2｜A_i∈F_i} から生成される最小のσ集合体 ), m＝(m_1とm_2の積測度)
である。このとき、次が成り立つ。
(1) A∈F を任意に取るとき、任意の x_1∈X_1 に対して、A の x_1 での断面 A_{x_1} は
A_{x_1}∈F_2 を満たす。すなわち、A が可測なら、任意の x_1∈X_1 に対して断面 A_{x_1} は可測である。
省7
382(3): 2022/10/31(月)14:58 ID:V6kL7bYX(12/47) AAS
確率空間 ([0,1]^N,F_N,μ_N) を n 個用意して積を取った空間が (Y_n,E_n,α_n) なのだったが、
積空間の基本的性質により、(Y_{n−1},E_{n−1},α_{n−1}) と ([0,1]^N,F_N,μ_N) の積空間は
(Y_n,E_n,α_n) になる。(Y,E,α)＝(Y_100,E_100,α_100) だったから、
(Y_99,E_99,α_99) と ([0,1]^N,F_N,μ_N) の積空間が (Y,E,α) ということになる。
B∈E_w だったから、>>375の補題により、α_99.a.e.z＝(z^{0},z^{1},…,z^{98})∈Y_99 に対して、
B の z での断面 B_z は B_z∈F_{Nw} を満たす。すなわち、あるゼロ集合 M∈E_99 が存在して、
任意の z∈Y_99−M に対して、B の z での断面 B_z は B_z∈F_{Nw} を満たす。
省8
384(3): 2022/10/31(月)15:09 ID:Rh3Q9O/g(1) AAS
>>382
>d：[0,1]^N → N は決定番号の写像であり、(d≦k) は非可測なので矛盾する。
え、その証明はしないの？
387(5): 2022/10/31(月)21:54 ID:pHXtLONI(1) AAS
>>261
>>278にレスがないので、
あなたには 外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.ma.huji.ac.il Theorem 1 の証明の中の間違っている文を挙げることができない
ということでよろしいか？
392(4): 2022/10/31(月)22:32 ID:V6kL7bYX(19/47) AAS
以下の定理は、証明は全て省略する。
定理：(X,F,ν)は有限測度空間とする。νから生成される外測度 ν^* と内測度 ν_*について、
ν_*(X−A)＝ν(X)−ν^*(A) (∀A⊂X) が成り立つ。
定理：(X,F,ν)は有限測度空間とする。その完備化を(X,F_w,ν_w)と置く。
このとき、A⊂X に対して、A∈F_w が成り立つことと ν^*(A)＝ν_*(A) が成り立つことは同値である。
定理：(X,F,ν)は有限測度空間とする。その完備化を(X,F_w,ν_w)と置く。
よって、νから生成される外測度 ν^* と、ν_w から生成される外測度 ν_w^* の2種類を得るが、
省9
438(4): 2022/11/01(火)00:35 ID:sIOgpcGr(7/28) AAS
μ_N の正体をより具体的に書くと、μ_N は次のように特徴づけられる：
任意の n≧1 と任意の A_1,A_2,…,A_n∈F_1 に対して、
A_1×A_2×…×A_n×[0,1]×[0,1]×[0,1]×… (← 残りは全て [0,1] が可算無限個並んでいる)
という集合の測度が μ_1(A_1)μ_1(A_2)…μ_1(A_n) で与えられるような測度が μ_N である。
すなわち、上記の集合に対して
μ_N ( A_1×A_2×…×A_n×[0,1]×[0,1]×[0,1]×… ) ＝ μ_1(A_1)μ_1(A_2)…μ_1(A_n)
省5
440(6): 2022/11/01(火)08:06 ID:+emxAWt1(1/6) AAS
>>438
(引用開始)
μ_N の正体をより具体的に書くと、μ_N は次のように特徴づけられる：
任意の n≧1 と任意の A_1,A_2,…,A_n∈F_1 に対して、
A_1×A_2×…×A_n×[0,1]×[0,1]×[0,1]×… (← 残りは全て [0,1] が可算無限個並んでいる)
という集合の測度が μ_1(A_1)μ_1(A_2)…μ_1(A_n) で与えられるような測度が μ_N である。
すなわち、上記の集合に対して
省19
443(6): 2022/11/01(火)12:06 ID:sIOgpcGr(8/28) AAS
可算無限直積 確率空間に関する文献を以下に1つ挙げる。
Infinite Products of Probability Spaces
外部ﾘﾝｸ:jpmccarthymaths.com
ここからは、上記のリンク先からかいつまんで引用して説明する。
463(5): 2022/11/01(火)15:40 ID:25yibjh9(1/7) AAS
>>441-442
レスありがとう
スレ主です
>昨日のID:V6kL7bYX氏の証明を絶賛致します
絶賛か
あなたは、真面目な人なんだろうね？（＾＾
>438は単なる積測度の定義
省13
466(3): 2022/11/01(火)16:02 ID:2RlHdKPX(3/4) AAS
>>463
>一つ二つ質問していいかな？
>Q１）数学科の１年生か２年生かい？
大学院修士課程修了ですが何か？
>Q２）確率論の単位はまだ？ 確率過程論はまだかな？
確率論と確率過程は３年および４年で履修しました
専攻ではありませんがね それが何か？
省2
468(9): 2022/11/01(火)16:55 ID:25yibjh9(2/7) AAS
さて、スレ主です
１）
>>443 について、>>463にも書いたけど
外部ﾘﾝｸ:jpmccarthymaths.com
Infinite Products of Probability Spaces J.P. McCarthy: Math Page より
”In proving such limit theorems, it is useful to be able to construct a probability space on which a sequence of independent random variables is defined in a natural way; specifically, as coordinates for a countable Cartesian product.”
の”a sequence of independent random variables”とあることに気付いたかな？
省9
473(6): 2022/11/01(火)18:58 ID:25yibjh9(5/7) AAS
>>467
>私からも質問していいですか？
いいよ
>QⅠ.ヴィタリの非可測集合の構成とそれが非可測である証明は理解していますか？
Yes
>QⅡ.ヴィタリの非可測集合が、任意の実数ε>0について、[0,ε)の部分集合となるように取れることは理解していますか？
省13
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