スレタイ箱入り無数目を語る部屋4

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441(1): 2022/11/01(火)08:12 ID:5C0+Brs7(1/2) AAS
>>414
昨日のID:Rh3Q9O/g氏ですが
昨日のID:V6kL7bYX氏の証明を絶賛致します

442(2): 2022/11/01(火)08:19 ID:5C0+Brs7(2/2) AAS
>>440
438は単なる積測度の定義
数学科の学生なら必修
箱入り無数目とは無関係の基本

443(6): 2022/11/01(火)12:06 ID:sIOgpcGr(8/28) AAS
可算無限直積確率空間に関する文献を以下に1つ挙げる。

Infinite Products of Probability Spaces
外部ﾘﾝｸ:jpmccarthymaths.com

ここからは、上記のリンク先からかいつまんで引用して説明する。

444(1): 2022/11/01(火)12:07 ID:sIOgpcGr(9/28) AAS
まず、可算無限個の確率空間 (Ω_n, S_n, P_n) (n＝1,2,3,…) を用意する。
それぞれの (Ω_n, S_n, P_n) は任意でよくて、n ごとに全く異なる確率空間でも構わない。
そして、これらの確率空間の可算無限直積として得られる確率空間 (Ω,S,P) を作っているのが
上記のリンク先である。もちろん、Ω＝Π[n＝1〜∞]Ω_n である。つまり

Ω ＝ Π[n＝1〜∞]Ω_n ＝ Ω_1×Ω_2×Ω_3×Ω_4×…　

である。最終目標が([0,1]^N,F_N,μ_N)の場合には
(Ω_n, S_n, P_n)＝([0,1], F_1, μ_1) (∀n≧1) なので、
省2

445: 2022/11/01(火)12:09 ID:sIOgpcGr(10/28) AAS
具体的にどうやって確率空間(Ω,S,P)を構成するのか？まず、

＞ Let R be the collection of all sets Π[n＝1〜∞]A_n ⊂ Ω
＞ where A_n∈S_n for all n and A_m＝Ω_m except for at most finitely many values of n.
＞ Elements of R will be called rectangles.

として集合族 R を用意する。ご覧の通り、

R ＝ { Π[n＝1〜∞]A_n｜A_n∈S_n (n≧1), 有限個の n を除いて A_n＝Ω_n }

と置いている。つまり、Π[n＝1〜∞]A_n の実体は
省4

446: 2022/11/01(火)12:11 ID:sIOgpcGr(11/28) AAS
R の各元のことは rectangle と呼ばれる。日本語では柱状集合とかシリンダーとか呼ばれる。
先頭の有限個しか弄らず、残りの無限個は全て Ω_n のまま弄らないのだから、
いかにも「 rectangle, 柱状集合, シリンダー」といったイメージである。

ちなみに、最終目標が([0,1]^N, F_N, μ_N)の場合には
(Ω_n, S_n, P_n)＝([0,1], F_1, μ_1) (∀n≧1) を適用するのだから、対応する Π[n＝1〜∞]A_n は

Π[n＝1〜∞]A_n ＝ A_1×A_2×…×A_k×[0,1]×[0,1]×[0,1]×… (← これ以降は [0,1] だけが並ぶ)

というものである。スレ主はこの集合に対して「コルモゴロフの確率公理を満たすか？」(>>440)
省2

447: 2022/11/01(火)12:11 ID:sIOgpcGr(12/28) AAS
R から生成される集合体(σ集合体ではない)のことを A_f と置く。
リンク先では字体の異なる A が用いられているが、このスレではフォントが弄れないので、
ここでは A_f と書くことにする。

A_f の各元は「互いに素な R の元の有限個の和」として表せることが、Proposition の節で示されている。

448: 2022/11/01(火)12:13 ID:sIOgpcGr(13/28) AAS
次に、A_f 上の有限加法的測度 P：A_f → [0,1] が定義される。
まずは R 上での P の値が定義される。具体的には、Proposition の節の末尾において

＞ Now for A＝Π[n＝1〜∞] A_n ∈ R, let P(A):＝ Π[n＝1〜∞] P_n(A_n).
＞ The product converges since all but finitely many factors are 1.

と定義されている。ご覧のとおり、任意の柱状集合 A＝Π[n＝1〜∞]A_n∈R に対して
P(A):＝Π[n＝1〜∞] P_n(A_n) と定義している。

P_n は何かといえば、n番目の確率空間 (Ω_n,S_n,P_n) に出現している確率測度である。
省2

449: 2022/11/01(火)12:14 ID:sIOgpcGr(14/28) AAS
A の実体は

A＝Π[n＝1〜∞]A_n ＝ A_1×A_2×…×A_k×Ω_{k＋1}×Ω_{k＋2}×Ω_{k＋2}×…

というものだったから、P(A):＝Π[n＝1〜∞] P_n(A_n) という定義の実体は

P(A):＝ P_1(A_1)…P_k(A_k) P_{k+1}(Ω_{k+1})P_{k+2}(Ω_{k+2})…

というものである。P_m(Ω_m)＝1 (∀m≧k＋1) なので、要するに
省5

450: 2022/11/01(火)12:15 ID:sIOgpcGr(15/28) AAS
要するに、写像 P：R → [0,1] を、任意の k≧1 と任意の A_i∈S_i (1≦i≦k) に対して

P ( A_1×A_2×…×A_k×Ω_{k＋1}×Ω_{k＋2}×Ω_{k＋2}×… ) :＝ P_1(A_1)…P_k(A_k)

として定義しているわけである。

最終目標が([0,1]^N,F_N,μ_N)の場合には (Ω_n, S_n, P_n)＝([0,1], F_1, μ_1) (∀n≧1)
を適用するのだから、その場合には、任意の k≧1 と任意の A_1,…,A_k∈F_1 に対して

μ_N(A_1×A_2×…×A_k×[0,1]×[0,1]×[0,1]×…) :＝ μ_1(A_1)…μ_1(A_k)
省3

451: 2022/11/01(火)12:17 ID:sIOgpcGr(16/28) AAS
続いて、上記の写像 P：R → [0,1] を、A_f 上に拡張して P：A_f → [0,1] を定義する。

A_f の各元は、互いに素な R の元の有限個の和として表せるので、A∈A_f を任意に取れば、
ある N≧1 とある互いに素な B_1,…,B_N∈R が存在して A＝∪[r＝1〜N] B_r と表せる。
そこで、P(A)：＝Σ[r〜1〜N] P(B_r) と定義する。各 B_r は B_r∈R を満たし、
そして R 上では P の定義は済んでいたので、P(B_r) は既に定義済みであり、
よって P(A)：＝Σ[r〜1〜N] P(B_r) の右辺はちゃんと意味を持っている。

こうして、P：A_f → [0,1] を定義する。この定義は well-defined である。
省6

452: 2022/11/01(火)12:18 ID:sIOgpcGr(17/28) AAS
A_f から生成されるσ集合体を S と置くとき、P：A_f → [0,1] を S 上に拡張して
P：S → [0,1] を定義し、しかもこれが S 上で確率測度になっていることを示すのが最終目標である。

そのためには、E.ホップの拡張定理を使う。
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org

ちなみに、>>443のリンク先では

＞ by the Caratheodory Extension Theorem.

すなわち「カラテオドリの拡張定理」と呼ばれているが、厳密にはE.ホップの拡張定理である。
省4

453: 2022/11/01(火)12:20 ID:sIOgpcGr(18/28) AAS
さて、今回の P：A_f → [0,1] に対してE.ホップの拡張定理を使うには、そのまま

・ A_n∈A_f (n≧1) が互いに素かつ ∪[n＝1〜∞] A_n∈A_f のとき P(∪[n＝1〜∞] A_n) ＝ Σ[n＝1〜∞] P(A_n)

が成り立つことを示せばよい。このことは、

＞ If P us countably additive on A, then it has a unique countably additive extension
＞ to S by the Caratheodory Extension Theorem.

から先の部分で示されれている。

454: 2022/11/01(火)12:21 ID:sIOgpcGr(19/28) AAS
以上により、確率空間 (Ω,S,P) を得る。すなわち、可算無限個の確率空間 (Ω_n, S_n, P_n) (n≧1) から、
その無限直積となる確率空間 (Ω,S,P) を得る。…ということをやっているのが上記のリンク先である。
これらの議論をよく読むと、確率測度 P：S → [0,1] は次の性質で特徴づけられることが分かる：

任意の k≧1 と任意の A_i∈S_i (1≦i≦k) に対して
P ( A_1×A_2×…×A_k×Ω_{k＋1}×Ω_{k＋2}×Ω_{k＋2}×… ) ＝ P_1(A_1)…P_k(A_k)
が成り立つ。

↑これが P の特徴づけであり、この性質を満たす確率測度 P：S → [0,1] がただ1つ存在するわけである。

455: 2022/11/01(火)12:22 ID:sIOgpcGr(20/28) AAS
最終目標が([0,1]^N, F_N, μ_N)の場合には、(Ω_n,S_n,P_n)＝([0,1],F_1,μ_1) (n≧1) を
適用すればよいことになる。この場合、μ_N という測度の特徴付けは、まさしく>>438である。

文献に関しては以上。

456: 2022/11/01(火)12:26 ID:sIOgpcGr(21/28) AAS
>>440
＞１）この確率測度μ_N は、あんたのオリジナル？
＞　それとも、先行文献ある？先行文献あるなら示して欲しい

スレ主、可算無限直積確率空間を全く知らないことが露呈。
コルモゴロフの確率論がどうこうと講釈を垂れるくせに、
当の本人はこんなことも理解してないという有様。
確率論にはマニアックな分野も存在するが、これは基礎中の基礎である。
省2

457: 2022/11/01(火)12:26 ID:sIOgpcGr(22/28) AAS
>>440
＞２）数学（特に圏論）ではよくあるが、「存在すれば一意」という
＞　しかし、問題は存在するかどうか（測度の性質を満たす？）だろ？

存在する。確率論の基礎。それが分かってない時点で話にならない。

＞４）”A_1×A_2×…×A_n×[0,1]×[0,1]×[0,1]×… (← 残りは全て [0,1] が可算無限個並んでいる)”
＞　のところ、時枝トリック類似に見えるけどｗ
＞　つまり、先頭に有限部分で決定番号100個 d1〜d100を含む部分,残りに無限のしっぽ
省4

458: 2022/11/01(火)12:28 ID:sIOgpcGr(23/28) AAS
スレ主が大好きな

・ iid 確率変数 X_i∈[0,1] (各X_iは[0,1]上の一様分布を実現)

について考えてみる。各 X_i (i≧1) は確率変数なのだから、
ベースとなる確率空間(Ω, F, P)がどこかに存在して、

・写像 X_i：Ω → [0,1] は可測空間 (Ω,F) から可測空間([0,1], B_1) への
　可測写像である(ただし、B_1は[0,1]上のボレルσ集合体。

・ {X_i}_{i≧1} は確率空間(Ω,F,P)の中で独立同分布である。
省5

459: 2022/11/01(火)12:36 ID:sIOgpcGr(24/28) AAS
X_1 だけなら、そのような(Ω,F,P)の存在性は自明である。
具体的には、(Ω,F,P)：＝([0,1],F_1,μ_1) (1次元のルベーグ測度空間)と置き、
そして、X_1：Ω→[0,1]　を X_1(t)：＝t (t∈[0,1]) と置けばよい。

X_1,X_2 の2つでも、そのような(Ω,F,P)の存在性は自明である。
具体的には、(Ω,F,P)：＝([0,1]^2,F_2,μ_2) (2次元のルベーグ測度空間)と置き、
X_i：Ω→[0,1] を X_1((t_1,t_2))：＝t_1, X_2((t_1,t_2))：＝t_2 (t_1,t_2∈[0,1])
と置けばよい。こうすると、X_1,X_2 は(Ω,F,P)上で iid 確率変数になり、
省6

460: 2022/11/01(火)12:38 ID:sIOgpcGr(25/28) AAS
有限個の X_1,…,X_n の場合でも、そのような(Ω,F,P)の存在性は自明である。
具体的には、(Ω,F,P)：＝([0,1]^n,F_n,μ_n) (n次元のルベーグ測度空間)と置き、
そして、X_i：Ω→[0,1] を X_i((t_1,…,t_n))：＝t_i (1≦i≦n)と置けばよい。
こうすると、X_1,…,X_n∈[0,1] は(Ω,F,P)上で iid 確率変数になり、各X_iは[0,1]上の一様分布を実現している。

この作業を見れば、X_1 の場合に必要だった確率空間は ([0,1],F_1,μ_1) であり、
X_1〜X_n の場合に必要だった確率空間は、
([0,1],F_1,μ_1)をn個用意して積を取った積確率空間 ([0,1]^n, F_n, μ_n) である、
省3

461: 2022/11/01(火)12:39 ID:sIOgpcGr(26/28) AAS
では、本題となる可算無限個の X_1,X_2,…∈[0,1] の場合は、対応する(Ω,F,P)の正体はどうなっているのか？

実は、それこそが ([0,1]^N, F_N, μ_N) である。
つまり、(Ω,F,P)＝([0,1]^N, F_N, μ_N) と置くのである。

そして、X_i：Ω → [0,1] を X_i(t_1,t_2,t_3,…)：＝ t_i と定義するのである。
(よって、各 X_i は [0,1]^N の第i成分を取り出すという射影になっている。)

こうすると、可算無限個の X_1,X_2,…∈[0,1] は(Ω,F,P)上で iid 確率変数になり、
各X_iは[0,1]上の一様分布を実現している。

462(1): 2022/11/01(火)12:39 ID:sIOgpcGr(27/28) AAS
このように、スレ主が大好きな

・ iid 確率変数 X_i∈[0,1] (各X_iは[0,1]上の一様分布を実現)

の存在性を担保する確率空間こそが ([0,1]^N, F_N, μ_N) なのに、
当のスレ主は ([0,1]^N, F_N, μ_N) を「全く知らない」。それどころか、

＞４）”A_1×A_2×…×A_n×[0,1]×[0,1]×[0,1]×… (← 残りは全て [0,1] が可算無限個並んでいる)”
＞　のところ、時枝トリック類似に見えるけどｗ
＞　つまり、先頭に有限部分で決定番号100個 d1〜d100を含む部分,残りに無限のしっぽ
省2

463(5): 2022/11/01(火)15:40 ID:25yibjh9(1/7) AAS
>>441-442
レスありがとう
スレ主です

>昨日のID:V6kL7bYX氏の証明を絶賛致します

絶賛か
あなたは、真面目な人なんだろうね？（＾＾

>438は単なる積測度の定義
省13

464: 2022/11/01(火)15:51 ID:2RlHdKPX(1/4) AAS
>>463
>絶賛か
>あなたは、真面目な人なんだろうね？
　この件に関しては
>（＾＾
　昭和時代の年配者が好んで書く古い顔文字ですね
　平成生まれの人は全く用いませんが🙂

465: 2022/11/01(火)15:56 ID:2RlHdKPX(2/4) AAS
>>463
>ふーん、定義は数学科では議論の一番最初でしょ？
>議論の一番最後に、定義を書いたことに関心しているの？
　定義の箇所は議論の予備知識と思います
　そういう書き方をしている数学書も
　昭和時代から多々ありますね😁

466(3): 2022/11/01(火)16:02 ID:2RlHdKPX(3/4) AAS
>>463
>一つ二つ質問していいかな？
>Q１）数学科の１年生か２年生かい？
　大学院修士課程修了ですが何か？
>Q２）確率論の単位はまだ？　確率過程論はまだかな？
　確率論と確率過程は３年および４年で履修しました
　専攻ではありませんがね　それが何か？
省2

467(2): 2022/11/01(火)16:18 ID:2RlHdKPX(4/4) AAS
>>463
私からも質問していいですか？
Q?.ヴィタリの非可測集合の構成とそれが非可測である証明は理解していますか？
Q?.ヴィタリの非可測集合が、任意の実数ε>0について、[0,ε)の部分集合となるように取れることは理解していますか？
Q?.　にもかかわらず、ヴィタリの非可測集合は、決して、{0}に出来ない理由を説明できますか？😏

468(9): 2022/11/01(火)16:55 ID:25yibjh9(2/7) AAS
さて、スレ主です

１）
>>443 について、>>463にも書いたけど
　外部ﾘﾝｸ:jpmccarthymaths.com
　Infinite Products of Probability Spaces J.P. McCarthy: Math Page より
　”In proving such limit theorems, it is useful to be able to construct a probability space on which a sequence of independent random variables is defined in a natural way; specifically, as coordinates for a countable Cartesian product.”
　の”a sequence of independent random variables”とあることに気付いたかな？
省9

469(1): 2022/11/01(火)16:55 ID:25yibjh9(3/7) AAS
>>468
つづき

３）
さて、そもそもの>>386で
　>>384-385より
>>d：[0,1]^N → N は決定番号の写像であり、(d≦k) は非可測なので矛盾する。
>　え、その証明はしないの？
省18

470: 2022/11/01(火)17:44 ID:V+0RD7zD(1/2) AAS
>>469

>>387
>>>278にレスがないので、
>あなたには外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.ma.huji.ac.il Theorem 1 の証明の中の間違っている文を挙げることができない
>ということでよろしいか？

相変わらず証明の中の間違っている文を挙げることをしていないので
あなたには外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.ma.huji.ac.il Theorem 1 の証明の中の間違っている文を挙げることができない
省1

471(2): 2022/11/01(火)18:07 ID:25yibjh9(4/7) AAS
>>454-465
スレ主です
レスありがとう

>>466
>　大学院修士課程修了ですが何か？

これは、御見それしました

>　確率論と確率過程は３年および４年で履修しました
省21

472: 2022/11/01(火)18:36 ID:V+0RD7zD(2/2) AAS
>>471

>>440 の発言の後で
>”もしまだなら、”a sequence of independent random variables”は時枝記事を解明する重要キーワードだから、覚えておいてね”
という発言のなんという空しいことよ(笑)

473(6): 2022/11/01(火)18:58 ID:25yibjh9(5/7) AAS
>>467
>私からも質問していいですか？

いいよ

>QⅠ.ヴィタリの非可測集合の構成とそれが非可測である証明は理解していますか？

Yes

>QⅡ.ヴィタリの非可測集合が、任意の実数ε>0について、[0,ε)の部分集合となるように取れることは理解していますか？
省13

474(8): 2022/11/01(火)18:59 ID:25yibjh9(6/7) AAS
>>473
つづき

４）ヴィタリ氏は上記を逆手にとって、[-1.+1]の範囲の有理数qを全て集めて、∪V+qを作る
　∪V+q を考えると、これは[-1,2]の範囲に収まる。一方で、∪V+q は上記の考察から、区間[0,1]の全ての実数を含む
　つまり[0.1]⊂∪V+q
５）いま、λ(S)を集合Sにルベーグ測度を与える関数とする（上記wikipedia通り）
　λ(∪V+q）＝Σλ(V）で (なお、Σは、[-1.+1]の有理数qを全て数え上げて（可算無限）和を取る)
省8

475: 2022/11/01(火)19:00 ID:25yibjh9(7/7) AAS
>>474 タイポ訂正

１）全体集合Rにルベーグ可測が与えられていること
　　↓
１）全体集合Rにルベーグ測度が与えられていること

476(2): 2022/11/01(火)19:41 ID:Hdk0OAq+(2/6) AAS
>>473
>>Q?.　にもかかわらず、ヴィタリの非可測集合は、
>>決して、{0}に出来ない理由を説明できますか？
>それは、外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org に詳しい解説がある
　そう思ってるなら、全然wikipediaの文章が読めてませんね
　全く解説してませんから　
>（この話は過去に書いているよ）
省15

477: 2022/11/01(火)19:50 ID:Hdk0OAq+(3/6) AAS
>>474
＞ソロベイの有名な可算理論モデルがあるが
　可算理論モデル？知らんな　ありもしないものが有名とは、🐒は頭オカシイな

　「全ての実数の集合がルベーグ可測である」というモデルなら有名だがな
　そのモデルでは選択公理は成り立たないからヴィタリ集合は構成できず
　したがって存在しない　

478: 2022/11/01(火)21:06 ID:+emxAWt1(2/6) AAS
タイポ訂正

>>471

Q4 >>1 の時枝記事についての意見というか立場ですか？
　↓
Q4 >>1 の時枝記事についての意見というか立場を聞きたい

>>474

なお、ソロベイの有名な可算理論モデルがあるが、上記ポイントの２）のどこかが成り立たないのでしょうね（詳しくないが）
省2

479(1): 2022/11/01(火)21:27 ID:+emxAWt1(3/6) AAS
>>467
さて
質問への回答は、>>467-468に書いたよ

そこで、関連で追加の質問をします
時枝氏の記事>>1の関連>>55より
2chｽﾚ:math
さらに、数学セミナー201511月号P37 時枝記事に、次の一文がある
省12

480(2): 2022/11/01(火)21:28 ID:+emxAWt1(4/6) AAS
>>479
つづき

２）このヴィタリの非可測証明とパラレルに考えると
　a)”１）全体集合Rにルベーグ測度が与えられていること”>>474
　　について、相当するR^Nのルベーグ測度は何だろう？
　　あなたは、”>>438は単なる積測度の定義数学科の学生なら必修”>>442
　　だったね
省12

481: 2022/11/01(火)21:38 ID:Hdk0OAq+(4/6) AAS
>>480
＞”Q"に相当する元がR^N中に取れる？
　ああ、もちろんとれる　いままで気づかんかったのか
　それが∪R^n(ｎ∈Ｎ）な

482: 2022/11/01(火)21:45 ID:Hdk0OAq+(5/6) AAS
2^N/∪2^n(n∈N)でもOKだぞ

2^Nは有限無限を問わず全ての２進小数
∪2^n(n∈N)は全ての2進有限小数

つまり2進小数に対して「差が2進有限小数」で類別できるし
各同値類の代表が選択公理で選べる
しかもその代表は任意の自然数nについて小数点以下n位まで0にできる
要するに代表の範囲を限りなく狭い範囲に押し込めることができる
省1

483: 2022/11/01(火)21:46 ID:Hdk0OAq+(6/6) AAS
　実数：有限２進小数＝形式的ベキ級数：多項式＝無限列：有限列

484: 2022/11/01(火)23:34 ID:+emxAWt1(5/6) AAS
>>474 誤変換訂正と補足

＜誤変換訂正＞
２）ルベーグ可測が平行移動に普遍で、ヴィタリ集合Vは非可算濃度で、Vの[-1.+1]の範囲の有理数qの平行移動で可算無限和Σλ(V）を作ること
　↓
２）ルベーグ可測が平行移動に不変で、ヴィタリ集合Vは非可算濃度で、Vの[-1.+1]の範囲の有理数qの平行移動で可算無限和Σλ(V）を作ること

注）普遍→不変

＜補足＞
省15

485(2): 2022/11/01(火)23:48 ID:+emxAWt1(6/6) AAS
>>476
>　ヴィタリ集合はいくらでも小さくできるが
>　一方で非可算個の元が必要
>　したがって0という一点には潰せない

あなた、基礎論というか無限集合論弱いねｗ
あなたの議論は面白いが、下記
カントール集合：”ルベーグ測度は 0 でありながら、濃度は実数に等しい集合（連続体濃度の非可算集合）として有名な例である”
省13

486(2): 2022/11/01(火)23:59 ID:sIOgpcGr(28/28) AAS
>>485
＞あなた、基礎論というか無限集合論弱いねｗ
＞あなたの議論は面白いが、下記
＞カントール集合：”ルベーグ測度は 0 でありながら、濃度は実数に等しい集合（連続体濃度の非可算集合）として有名な例である”
＞とある

横やりだが、

>　ヴィタリ集合はいくらでも小さくできるが
省5

487(3): 2022/11/02(水)00:08 ID:yfFXmDCT(1/8) AAS
>>480 補足
>勿論、私も可測になるとは思わないけどｗ
>この記述は、時枝トリックの”目くらまし”としか思えない記述＊）なので、聞いているのですが
>（注＊）”選択公理→いかにも不思議な定理が成立”の雰囲気づくりのためにｗ）

＜補足＞
１）選択公理について、Sergiu Hart氏が、下記”without using the Axiom of Choice”で、
　類似のgame2を考えている（全てが可算の範囲でゲームが行われる）
省12

488(1): 2022/11/02(水)00:16 ID:VMeEIdTW(1/23) AAS
>>468
＞ ”independent”だったら、他の箱を開けても、問題の箱の確率は不変ですよね？！！ｗ

「ランダム時枝ゲームで回答者が勝利する」という事象を A とするとき、
A は非可測であることを既に証明した。特に、P(A) が定義できない。言い換えれば、

「焦点となっている箱の中身の推測に成功する確率」

は定義できない。この確率が定義できないので、「回答者の勝率はゼロ」は成立しない。

「Aが非可測なんてウソだ。Aは可測だ」
省3

489(4): 2022/11/02(水)00:18 ID:yfFXmDCT(2/8) AAS
>>486
>この議論で言っていることは「もし1点に潰せるなら V は1点集合だが、
>実際には V は非可算無限なので矛盾。すなわち、V は1点には潰せない」
>という意味だろう。何も間違ってない。

意味分からんｗ
１）”1点に潰せる”の定義は？
２）では聞く、数直線上の整数Ｚの点は、”1点に潰せる”のか？
省13

490(1): 2022/11/02(水)00:21 ID:VMeEIdTW(2/23) AAS
＞ ”independent”だったら、他の箱を開けても、問題の箱の確率は不変ですよね？！！ｗ

あるいは、次のような言い方もできる。

回答者が常に 1 番目の箱の中身を推測するのであれば、たとえ選択公理を経由した
アルゴリズムを使用しても、おそらく箱の中身の推測に成功する確率は不変であろう。
回答者が常に 2022 番目の箱の中身を推測した場合も同様だろう。
このように、回答者が常に何らかの固定された番号の箱の中身を推測するのであれば、
おそらく箱の中身の推測に成功する確率は不変であろう。
省12

491(1): 2022/11/02(水)00:27 ID:VMeEIdTW(3/23) AAS
>>489
＞意味分からんｗ
＞１）”1点に潰せる”の定義は？

本題とは無関係なのであまり続けても意味はないが、
1点に潰せるとは「 V として1点集合が取れる」という意味だと解釈した。
これが位相幾何だと「(1点に)可縮」の凝った定義があったりするが、
今回は測度論、しかも V は非可測集合なので、ただ単に
省3

492: 2022/11/02(水)02:19 ID:VMeEIdTW(4/23) AAS
>>490について、より詳しく書いておく。

復習しておくと、回答者は1つの箱を残して全ての箱を開封し、
その情報をもとに、残った1つの箱の中身を推測するのだった。

出題者が s を出題し、回答者が 1,2,…,100 から番号 i を選んだとき、
回答者が最後まで残しておく箱の「番号」を p_{s,i} と表記する。

p_{s,i} は (s,i) によって変化する。
つまり、回答者が最後まで残しておく箱は毎回固定なのではなく、
省1

493: 2022/11/02(水)02:22 ID:VMeEIdTW(5/23) AAS
次に、箱の番号づけについて確認しておく。
まず、可算無限個の箱が1列に並んでいる。番号 i の箱を box[i] と表記する(i≧1)。
出題者は s＝(s_1,s_2,…)∈[0,1]^N を選び、各 s_i を box[i] に詰める。すると、

・ box[i] に入っている実数は s_i である

ということになる。この後、箱を100列に分解して、「i列目のk番目の箱」という形で
新しい番号づけを与えるわけだが、それは(i,k)と書かれたシールを対応する箱の上に
ペタッと貼り付けているだけであり、もともとの
省2

494: 2022/11/02(水)02:23 ID:VMeEIdTW(6/23) AAS
さて、回答者は何らかの box[k] を最後まで残しておき、

「 box[k] の中身は x である」

という形で推測を行う。box[k] の中身は s_k なので、この推測が当たるのは

「 box[k] の中身は s_k である」

と推測したときのみである。

495: 2022/11/02(水)02:23 ID:VMeEIdTW(7/23) AAS
ところで、出題者が s を出題し、回答者が 1,2,…,100 から番号 i を選んだとき、
回答者が最後まで残しておく箱の「番号」は p_{s,i} なのだった。よって、回答者は

「 box[ p_{s,i} ] の中身は x である」

という形の推測を行うことになる。この推測が当たるのは、

「 box[ p_{s,i} ] の中身は s_{ p_{s,i} } である」

と推測したときのみである。

496: 2022/11/02(水)02:25 ID:VMeEIdTW(8/23) AAS
ここまでを前提として、本題に移る。p_{s,i} はどんな性質を持っているのかを考察してみると、

・出題者が出題した実数列 s と、回答者が選んだ i ごとに、
　「なぜか推測しやすい箱」が存在していて、その箱の番号を指しているのが p_{s,i} である

ということになる。

497: 2022/11/02(水)02:28 ID:VMeEIdTW(9/23) AAS
たとえば、s から出力される100個の決定番号に単独最大値が存在ない場合を考える。

この場合、回答者は 1,2,…,100 からどの番号 i を選んでも箱の中身の推測に成功する。
つまり、回答者が番号 i を選んだとき、回答者は

「 box[ p_{s,i} ] の中身は s_{ p_{s,i} } である」

と推測することになり、この推測は当たっている。

この不思議な現象が、回答者がどんな i∈{1,2,…,100} を選んでも成り立つ
(なんたって、s から出力される100個の決定番号に単独最大値が存在しないので)。

498: 2022/11/02(水)02:31 ID:VMeEIdTW(10/23) AAS
s から出力される100個の決定番号に単独最大値が存在する場合には、
100個の i のうち99個の i に対する p_{s,i} に対して同じ現象が起こり、回答者は

「 box[ p_{s,i} ] の中身は s_{ p_{s,i} } である」

と推測することになり、この推測は当たる。結局のところ、

・出題者が出題した実数列 s と、回答者が選んだ i ごとに、
　「なぜか推測しやすい箱」が存在していて、その箱の番号を指しているのが p_{s,i} である

ということになる。

499(1): 2022/11/02(水)02:38 ID:VMeEIdTW(11/23) AAS
しかし、箱の番号 p_{s,i} だけ指定されても、それだけでは箱の中身が推測できるわけがない。
残りのタネはどこにあるのか？・・・言うまでもないが、それこそが完全代表系 T_0 である。

完全代表系 T_0 には、出題者が出題する実数列に対する大きなヒントが全て網羅されている。
回答者は、この情報を使っている。実際、完全代表系 T_0 から取り出した
代表 t の情報をもとにして、箱の中身の値を推測しているのが時枝記事である。

500: 2022/11/02(水)02:41 ID:VMeEIdTW(12/23) AAS
より具体的に言うと、出題者が s を出題するごとに、可算無限個の箱の中から

「 T_0 のヒントが有効に使える箱」

が最低でも99箇所存在しており、それらの箱の番号を指しているのが p_{s,i} (1≦i≦100)
ということになる。だからこそ、番号 p_{s,i} の箱の中身は "推測しやすい" のである。

そして、回答者がそんな戦術を使ってしまったら、出題者の iid は当然ながら崩れ去る。

501(1): 2022/11/02(水)02:48 ID:VMeEIdTW(13/23) AAS
まとめると、次のようになる。

・回答者は完全代表系 T_0 を所持している。

・この T_0 には、それぞれの出題に対する大きなヒントが全て網羅されている。

・回答者は1つの箱を残して全ての箱を開封し、その情報(そして T_0 の情報)をもとに、
　残った1つの箱の中身を推測する。

・出題者が s を出題し、回答者が 1,2,…,100 から番号 i を選んだとき、
　回答者が最後まで残しておく箱の「番号」を p_{s,i} と表記する。
省4

502(1): 2022/11/02(水)06:40 ID:84leo855(1/5) AAS
>>491
本人です
いいたいことは、
「区間長を任意のε>0に設定できる⇒区間長を0にできる」
というのは誤りだ、ということです
区間長を0にしたら、必然的に１点集合になってしまうが
ハメル基底は非可算集合なので矛盾する、ということです
省5

503: 2022/11/02(水)07:00 ID:84leo855(2/5) AAS
>>487
＞選択公理について、Sergiu Hart氏が、
＞下記”without using the Axiom of Choice”で、
＞類似のgame2を考えている（全てが可算の範囲でゲームが行われる）
＞だから、（フルパワー）選択公理を使わないので
＞非可測集合は出てこない（多分）

[0,1]内の有理数全体の集合（可算集合！）を1とし、
省4

504: 2022/11/02(水)07:04 ID:84leo855(3/5) AAS
>>487
＞”選択公理→非可測集合”の議論は、
＞時枝記事のトリック解明上の本質ではない
　何をトリックと呼んでいるのか全く不明だが
　もし「確率99/100の計算」をトリックと呼んでいるのなら
　この計算自体は
　「100個のくじのうち1個だけが外れなら
省5

505: 2022/11/02(水)07:24 ID:84leo855(4/5) AAS
1のトンデモ理論によると以下がいえる
・すべての実数は有理数であり無理数は実は存在しない
・すべての形式的冪級数は多項式である
・すべての集合は可測である

上記の理論によれば、以下がいえるｗ
・箱入り無数目の無限列の同値類はただ一つ
　そして当たり前だがすべての項が０である無限列をその代表元として選べる
省2

506(2): 2022/11/02(水)07:56 ID:yfFXmDCT(3/8) AAS
>>502
>いいたいことは、
>「区間長を任意のε>0に設定できる⇒区間長を0にできる」
>というのは誤りだ、ということです

違うだろ？ｗ
　>>476より
>>473
省30

507(2): 2022/11/02(水)08:03 ID:yfFXmDCT(4/8) AAS
>>501
>・回答者がそんな戦術を使ってしまったら、出題者の iid は崩れ去る。

意味わかんないけど？

１）時枝記事>>1で、可算無限個の箱があり、実数Rの元を入れる
　そして、ある一つの箱を残して、他の箱を全部開ける
　現代数学の確率論の扱いとして、この一つの箱と他の箱とは、
　独立（”a sequence of independent random variables”>>468）
省5

508: 2022/11/02(水)08:18 ID:KzN6IiUS(1) AAS
>>507
>現代数学の確率論の扱いとして、この一つの箱と他の箱とは、
>　独立（”a sequence of independent random variables”>>468）
>　と考えることができる
未だ分かっとらんかったんかい。頭悪いのうお主。
扱えることと扱うことは違う。時枝戦略は扱っていない。
時枝戦略に反論したいなら時枝戦略を語れ。関係無い話を語っても何の反論にもならない。

509(1): 2022/11/02(水)09:31 ID:TGa5JHez(1) AAS
>>506
>いま元々はヴィタリの非可測性の話で、
>{0}は測度0と解せられる
　{0}は測度0だが、{0}という言葉が測度0を指してる筈
　と言うなら日本語の文章読めてない
　小学校の国語からやり直すことを切に薦める

510(1): 2022/11/02(水)10:22 ID:i6iI4IYN(1/6) AAS
>>507
>>・回答者がそんな戦術を使ってしまったら、出題者の iid は崩れ去る。
>意味わかんないけど？

「iid は崩れ去る」？ｗ
「iid は崩れ去る」？ｗｗ
「iid は崩れ去る」？ｗｗｗ

意味わからん！ｗｗｗｗｗｗｗ

511(2): 2022/11/02(水)11:15 ID:i6iI4IYN(2/6) AAS
>>509
＞>>506
＞>いま元々はヴィタリの非可測性の話で、
＞>{0}は測度0と解せられる
＞　{0}は測度0だが、{0}という言葉が測度0を指してる筈
＞　と言うなら日本語の文章読めてない

逆だろｗ
省22

512(3): 2022/11/02(水)11:42 ID:i6iI4IYN(3/6) AAS
>>511 訂正と補足

訂正
（二つの有理数r1,r2→二つの実数r1,r2）
　ヴィタリの非可測集V(非可算濃度)が、１点区間{0}に出来ないことは、自明も自明（二つの有理数r1,r2∈R の2点集合でも全く同様））
　　↓
　ヴィタリの非可測集V(非可算濃度)が、１点区間{0}に出来ないことは、自明も自明（二つの実数r1,r2∈R の2点集合でも全く同様））

補足
省20

513: 2022/11/02(水)11:53 ID:lta4i042(1/2) AAS
>>511
>もしこの{0}を零集合（ルベーグ測度0の集合）の意味に解さなければ、問自身が無意味だ
>（例えば、[0,ε)の部分集合として、二つの有理数q1,q2∈Q からなる二点集合{q1,q2}(q1≠q2)を考える
>　q1＝0とすると、q1≠q2よりq2≠0で、
>　二つの有理数q1,q2∈Q の二点集合{q1,q2}(q1≠q2)は、１点区間{0}に出来ない
>　ヴィタリの非可測集V(非可算濃度)が、１点区間{0}に出来ないことは、自明も自明（二つの有理数r1,r2∈R の2点集合でも全く同様））
　だろ？自明だから意味が無いとは言えない
省1

514(1): 2022/11/02(水)12:01 ID:lta4i042(2/2) AAS
>>512
Vを一点にしたら、Q+VはQのままでRに出来ないw
つまり極限をとった瞬間、性質激変！
これが極限馬鹿の君への答え　分かったか？

515(3): 2022/11/02(水)12:20 ID:i6iI4IYN(4/6) AAS
>>489 追加
再録
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.sci.ehime-u.ac.jp
ルベーグ可測性にかんするソロヴェイのモデル
藤田博司
(愛媛大学理学部)
2007 年数学基礎論サマースクール
省15

516(3): 2022/11/02(水)12:21 ID:i6iI4IYN(5/6) AAS
>>515
つづき

上記は、有限次のn 次元ユークリッド空間 Rの測度で
矩形の測度を定めている
これで、n→∞を考えると
１）もし、全て(bn - an)>1 ならば、mes(I) →∞に発散する
２）一方、全て(bn - an)<1 ならば、mes(I) →0に潰れる
省13

517: 2022/11/02(水)12:24 ID:i6iI4IYN(6/6) AAS
>>514
>Vを一点にしたら、Q+VはQのままでRに出来ないw
>つまり極限をとった瞬間、性質激変！

意味わからん
１）論理学で、命題P→Qで
　仮定節Pが偽ならば、P→Qは常に真だ
２）「Vを一点にしたら」の部分が偽
省1

518(2): 2022/11/02(水)12:42 ID:VMeEIdTW(14/23) AAS
>>510
＞「iid は崩れ去る」？ｗ
＞意味わからん！ｗｗｗｗｗｗｗ

iid だから回答者の勝率はゼロのはずなのに、

「回答者の勝率はゼロは不成立」

が言えてしまうことを「iid が崩れ去る」と表現した。
まあ、あまり表現は良くなかったかもな。

519(1): 2022/11/02(水)12:43 ID:VMeEIdTW(15/23) AAS
話を整理しよう。スレ主は「 iid に出題するのだから、回答者の勝率はゼロだ」と主張している。
しかし、それは間違っている。その理由を簡単に再掲すると、次のようになる。

・回答者は T_0 という大きなヒントを所持している。

・出題者が s を出題するごとに、可算無限個の箱の中から「 T_0 のヒントが有効に使える箱」
　が最低でも99箇所存在している。それらの箱の番号が p_{s,i} (1≦i≦100) になっている。

・つまり、番号 p_{s,i} の箱の中身は "推測しやすい" という状況になっている。

・そして、回答者は番号 p_{s,i} の箱の中身を推測する。この箱の中身は推測しやすいのだった。
省3

520: 2022/11/02(水)12:48 ID:KgFYDrgb(1) AAS
零集合を{0}と表すなんて初めて見たんだけど先行文献は何処

521: 2022/11/02(水)12:49 ID:VMeEIdTW(16/23) AAS
>>519
この仕組みは、もともとの時枝記事の設定(出題が固定)の場合は明確に機能する。
つまり、時枝記事は正しい。

また、出題する実数列を「有限種類」にした場合でも機能する。
たとえば、3種類の実数列 s_1, s_2, s_3 があって、

・ s_1 から出力される100個の決定番号には単独最大値が存在しない
・ s_2 から出力される100個の決定番号には単独最大値が存在しない
省8

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