[過去ﾛｸﾞ] スレタイ 箱入り無数目を語る部屋4 (1002ﾚｽ)
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68(4): 2022/10/25(火)11:59 ID:JXoOrGqY(3/5) AAS
>>55 補足
(引用開始)
さらに、数学セミナー201511月号P37 時枝記事に、次の一文がある
「R^N/～ の代表系を選んだ箇所で選択公理を使っている.
その結果R^N →R^N/～ の切断は非可測になる.
ここは有名なヴィタリのルベーグ非可測集合の例(Q/Zを「差が有理数」で類別した代表系， 1905年)にそっくりである.」
さらに、過去スレでは引用しなかったが、続いて下記も引用する
「逆に非可測な集合をこさえるには選択公理が要る(ソロヴェイ， 1970年)から，この戦略はふしぎどころか標準的とさえいえるかもしれない.
しかし，選択公理や非可測集合を経由したからお手つき， と片付けるのは，面白くないように思う.
(引用終り)
１）R^1は1次元数直線、R^2はxy2次元平面、R^3はxyz3次元立体空間、R^4は4次元時空、・・となる
２）では、可算無限次 R^N 空間は？ ユークリッド空間を単純に無次元に拡大すると、計量ベクトル空間にならない（内積が発散する）
３）普通は、R^Nの部分空間として、ヒルベルト空間などに制限して扱う（下記）
４）この視点で、「R^N →R^N/～ の切断は非可測になる」とは、なんだろう？
５）ヴィタリ集合は、実数R中に定義されたルベーグ測度に対して、非可測集合になるということ
６）そもそも、R^N 空間に、どんな測度を定義しようというのか？ まず、それが大問題でしょ！
７）「R^N/～ の切断は非可測になる」には同意だが、”R^N 空間に定義する測度”をまず論じないと、数学的には無意味ですよね！ｗｗ
（参考）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ヒルベルト空間
ヒルベルト空間は、典型的には無限次元の関数空間として、数学、物理学、工学などの各所に自然に現れる。そういった意味でのヒルベルト空間の研究は、20世紀冒頭10年の間にヒルベルト、シュミット、リースらによって始められた。ヒルベルト空間の概念は、偏微分方程式論、量子力学、フーリエ解析（信号処理や熱伝導などへの応用も含む）、熱力学の研究の数学的基礎を成すエルゴード理論などの理論において欠くべからざる道具になっている。
これら種々の応用の多くの根底にある抽象概念を「ヒルベルト空間」と名付けたのは、フォン・ノイマンである。
つづく
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