[過去ﾛｸﾞ] スレタイ 箱入り無数目を語る部屋4 (1002ﾚｽ)
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349(3): 2022/10/30(日)20:25 ID:S1FiB990(14/19) AAS
>>309 補足
１）(対応関係)
数論系
有限小数環FD⊂有理数環Q⊂実数環R(or 複素数環C)
↓↑
関数解析系
多項式環F[x]⊂有理式環RF[x]⊂形式的冪級数環F{[x]}
こういう対応関係だね
２）(可算非可算、完備非完備)
・有限小数環FDと有理数環Qが、加算無限集合で、非完備
同様に、多項式環F[x]が加算無限次元線形空間で非完備、
有理式環RF[x]は非完備（こちらは、非可算無限次元かな？）
・実数環R(or 複素数環C)は、非可算無限集合で、完備
同様に、形式的冪級数環F{[x]}が、非可算無限次元線形空間で、完備
３）(時枝の数列のしっぽの視点で)
・数論系では、無限小数展開で考えて
有限小数は、ある小数位数以降のしっぽが全て0
有理数は、循環節のしっぽを持つ（しっぽが全て0も循環節に入れる）
実数環R(or 複素数環C)は、循環しない任意の無限小数位数のしっぽを持つ
・関数解析系では、
多項式はある次数以降のしっぽの係数が全て0
有理式は、循環節類似の規則的なしっぽを持つ（複素数係数又は実数係数ならば）＊）
形式的冪級数は、規則性のないしっぽを持つ
＊）複素数係数なら分母の多項式は、１次式に因数分解できる。実数係数ならば、分母の多項式は、１次又は2次式に因数分解できる。そして、部分分数展開できるので
（既約実2次式は、複素共役の1次式に分解できて、複素数の範囲で部分分数展開できることを注意しておく）
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.aoni.waseda.jp
1 べき級数型母関数
Ｐ2
7. コメント
有理式は分母が因数分解できれば部分分数展開でき，an の一般項を n の式で表すのは
1/(1 ? x)^k=∑n=0～∞ (k + n ? 1)!/{(k ? 1)! n!} x^n
に帰着される．
(引用終り)
以上
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