[過去ﾛｸﾞ] スレタイ 箱入り無数目を語る部屋4 (1002ﾚｽ)
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382(3): 2022/10/31(月)14:58 ID:V6kL7bYX(12/47) AAS
確率空間 ([0,1]^N,F_N,μ_N) を n 個用意して積を取った空間が (Y_n,E_n,α_n) なのだったが、
積空間の基本的性質により、(Y_{n−1},E_{n−1},α_{n−1}) と ([0,1]^N,F_N,μ_N) の積空間は
(Y_n,E_n,α_n) になる。(Y,E,α)＝(Y_100,E_100,α_100) だったから、
(Y_99,E_99,α_99) と ([0,1]^N,F_N,μ_N) の積空間が (Y,E,α) ということになる。

B∈E_w だったから、>>375の補題により、α_99.a.e.z＝(z^{0},z^{1},…,z^{98})∈Y_99 に対して、
B の z での断面 B_z は B_z∈F_{Nw} を満たす。すなわち、あるゼロ集合 M∈E_99 が存在して、
任意の z∈Y_99−M に対して、B の z での断面 B_z は B_z∈F_{Nw} を満たす。

そこで、z∈Y_99−M を1つ取って固定する。z＝(z^{0},z^{1},…,z^{98})と表せる。
この z^{0},z^{1},…,z^{98} に対して、k＝max{d(z^{j})｜0≦j≦98} と置く。すると、

B_z ＝ { y^{99}∈[0,1]^N｜(z,y^{99})∈B }

＝ { y^{99}∈[0,1]^N｜d(y^{99})≦max{d(z^{j})｜0≦j≦98} }

＝ { y^{99}∈[0,1]^N｜d(y^{99})≦k } ＝ (d≦k)

である。よって、(d≦k)∈F_{Nw} ということになる。
しかし、d：[0,1]^N → N は決定番号の写像であり、(d≦k) は非可測なので矛盾する。

以上により、A は非可測である。

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