[過去ﾛｸﾞ] スレタイ 箱入り無数目を語る部屋4 (1002ﾚｽ)
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181(4): 2022/10/28(金)18:19 ID:6/MPYgLL(5/19) AAS
次は2つ目の方法。ここでは、>>172を満たす確率空間を、より具体的に構成する。

−1 以上の整数全体の集合を M と書くことにする。
A_n ＝ { f(x)∈R[x]｜deg f(x)＝n } (n≧0) と置き、A_{−1}＝{o} と置き、
{ A_n }_{n∈M} から生成される R[x] 上の最小のσ集合体を F と置く。
A_n (n∈M) は互いに素かつ ∪[n∈M] A_n ＝ R[x] が成り立つことに注意して、

F ＝ { ∪[i∈I] A_i｜I は M の任意の部分集合}

と書ける。Σ[n∈M] p_n ＝ 1 を満たす p：M → [0,1] を任意に選び、P：F → [0,1] を

P(∪[i∈I] A_i) ＝ Σ[i∈I] p_i

で定義すれば、P：F → [0,1] は自明に確率測度である。
よって、確率空間 (R[x], F, P) を得る。しかも、F の作り方から
自明に { f(x)∈R[x]｜deg f(x)＝n}∈F (∀n≧0) が成り立っている。

これが2つ目の作り方。より具体的に P を定義したければ、
例えば p_n ＝ 1/2^{n＋2} (n≧−1) とでも置けばよい。

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