美しい整数の世界 (780ﾚｽ)
上下前次1-新
295: 2024/02/14(水)20:05 ID:KR7c1JPW(9/10) AAS
◆19999から20139の範囲に
素数は15個
20011 20021 20023 20029 20047 20051
20063 20071 20089 20101 20107 20113
20117 20123 20129
◆superPCM関数
Table[Product[(2n-1)^(C(0,3-a))
省8
296: 2024/02/14(水)20:29 ID:KR7c1JPW(10/10) AAS
10000019
10000079
10000103
10000121
10000139
10000141
10000169
省13
297: 2024/02/15(木)12:36 ID:nQCYw1y9(1) AAS
◆101から463の範囲に
素数は65個
101, 103, 107, 109, 113,
127, 131, 137, 139, 149,
151, 157, 163, 167, 173,
179, 181, 191, 193, 197,
199, 211, 223, 227, 229,
省30
298: 2024/02/15(木)17:10 ID:OvJOEL3c(1/6) AAS
Table[Product[(2n-1)^(C(0,3-a))
C(0,C(0,((n-a)^(2a-2)mod(2a-1)))),{a,3,30}],{n,50,232}]
299: 2024/02/15(木)17:15 ID:OvJOEL3c(2/6) AAS
◆素数位置特定アルゴリズム
(superPCM関数)
Table[Product[(2n-1)^(C(0,3-a))
C(0,C(0,((n-a)^(2a-2)mod(2a-1)))),{a,3,30}],{n,50,232}]
aの終値は、
nの初期値よりも小さくする
300: 2024/02/15(木)18:26 ID:OvJOEL3c(3/6) AAS
{a,3,50}
3は固定値
終値は大きいほど精度が上がる
概ねnの初期値の1/3
301: 2024/02/15(木)18:30 ID:OvJOEL3c(4/6) AAS
Table[(C(0,n-1))+{(2n-1)
{C(0,n-2)+((n+1)^2mod3)}
{C(0,n-3)+((n-3)^4mod5)}
{C(0,n-4)+((n-4)^6mod7)}
{C(0,n-6)+((n-6)^10mod11)}
{C(0,n-7)+((n-7)^12mod13)}
{C(0,n-9)+((n-9)^16mod17)}},{n,1,180}]
省2
302: 2024/02/15(木)18:39 ID:OvJOEL3c(5/6) AAS
◆ピタゴラス
Table[2n{(n+1)^(C(1,a-2))}+C(0,3mod a),{n,1,50},{a,1,3}]
Table[4(n+1)^{(C(1,a-1))+1}+(C(1,a-1))(-1)^a,{n,1,30},{a,0,2}]
Table[4(2n+3)+{(2n+1)^(2C(1,a-1))}(C(1,a-1))-8(C(0,a-1)),{n,1,30},{a,0,2}]
303: 2024/02/15(木)18:41 ID:OvJOEL3c(6/6) AAS
二桁以上の素数で、
下一桁の数が5の素数は
存在しない
100万以下の素数で
2と5を除いた素数は、
78496個
それらの素数の下一桁の数を
省5
304: 2024/02/16(金)21:04 ID:eakmOw3u(1) AAS
◆素数位置特定アルゴリズム
(superPCM関数)
Table[Product[(2n-1)^(C(0,3-a))
C(0,C(0,((n-a)^(2a-2)mod(2a-1)))),{a,3,30}],{n,50,232}]
aの終値は、
nの初期値よりも小さくする
入力条件はそれだけ
省3
305: 2024/02/17(土)17:50 ID:0BfD9KmK(1/2) AAS
■お題
『√15+√10の整数部分を求めよ』
√16＞√15＞√9 ，
√16＞√10＞√9 なので、
√15と√10 の整数値は共に3
(√16+√16)＞(√15+√10) なので、
8＞(√15+√10) …①
省11
306: 2024/02/17(土)20:14 ID:0BfD9KmK(2/2) AAS
ハッシュドポテト
307: 2024/02/19(月)23:02 ID:xNBynKpC(1/2) AAS
■お題
『√15+√10の整数部分を求めよ』
(√15+√10)^2=25+10√6
10√6＞24 つまり、
√6＞(12/5)のとき、(√15+√10)＞7
√25＞√24 なので、5＞2√6
5＞2√6 から、5√6＞12
省6
308: 2024/02/19(月)23:15 ID:xNBynKpC(2/2) AAS
■お題
『√15+√10の整数部分を求めよ』
(√15+√10)^2=25+10√6
10√6＞24 のとき，(√15+√10)^2＞49
つまり，
√6＞(12/5)のとき，(√15+√10)＞7
◆√6＞(12/5)である事の証明
省8
309: 2024/02/20(火)17:37 ID:8UjZzuq4(1/4) AAS
4k + 1 型の素数は
二個の平方数の和で表す
ことができる
また逆にある奇素数が
二つの平方数の和で表すことが
できるならば、4k + 1 型の素数である
そして、
省2
310: 2024/02/20(火)18:12 ID:8UjZzuq4(2/4) AAS
■お題
『2024^2+2025^2は
平方数でないことを示せ』
2025^2-2024^2=2(2024)+1=4049
2024^2+2025^2=2(2024^2)+4049
4k+1型の素数(kは自然数)は
二個の平方数の和で表す
省9
311: 2024/02/20(火)19:01 ID:8UjZzuq4(3/4) AAS
8197081 8197093 8197099 8197141
8197153 8197159 8197183 8197193
8197199 8197201 8197271 8197279
8197297 8197327
312: 2024/02/20(火)19:17 ID:8UjZzuq4(4/4) AAS
Table[Product[(2n-1)^(C(0,3-a))
C(0,C(0,((n-a)^(2a-2)mod(2a-1)))),{a,3,333}],{n,4098591,4098601}]
313: 2024/02/21(水)14:59 ID:OWHlBpQR(1) AAS
■お題
『2024^2+2025^2は
平方数でないことを示せ』
a=2024 とすると,
2024^2+2025^2=a^2+(a+1)^2
=a^2+a^2+2a+1=a(2a+2)+1
4k+1型の素数(kは自然数)は
省6
314: 2024/02/23(金)23:05 ID:kFnzJ/j3(1/4) AAS
■お題
『√2000+√3000と100の
大小を比較せよ』
√2000=10√20
√3000=10√30
√2000+√3000=10(√20+√30)
(√20+√30)＜10 のとき，
省10
315: 2024/02/23(金)23:15 ID:kFnzJ/j3(2/4) AAS
アインシュペナー
316: 2024/02/23(金)23:36 ID:kFnzJ/j3(3/4) AAS
■お題
『√2000+√3000と100の
大小を比較せよ』
√2000=10√20
√3000=10√30
√2000+√3000=10(√20+√30)
(√20+√30)＜10 のとき，
省14
317: 2024/02/23(金)23:45 ID:kFnzJ/j3(4/4) AAS
>>292
ボンミス
318: 2024/02/24(土)06:32 ID:iSHR8EZo(1/2) AAS
■お題
『√2000+√3000と100の
大小を比較せよ』
√25＞√24 なので，5＞2√6
5＞2√6 の両辺に5を足すと，
10＞(5+2√6)
5+2√6=(√2+√3)^2 なので，
省6
319: 2024/02/24(土)11:25 ID:iSHR8EZo(2/2) AAS
■√25＞√24を使って『お題』を作れ
√25＞√24 なので，5＞2√6
5＞2√6 の両辺に5を足すと，
10＞(5+2√6)
5+2√6=(√2+√3)^2 なので，
10＞(√2+√3)^2
したがって，√10＞(√2+√3)
省2
320: 2024/02/24(土)14:47 ID:sUGjP7jY(1) AAS
√10，(√2+√3)，√6+(√2/2)の
大小を比較せよ
321: 2024/02/24(土)20:57 ID:2GOsLRHY(1) AAS
√7+1/2，√3+√2，πの
大小を比較せよ
322: 2024/02/25(日)10:29 ID:GAjOSKEM(1/6) AAS
『√10，(√2+√3)，√6+(√2/2)の
大小を比較せよ』
√6+(√2/2)=(2√6+√2)/2=(2√2√3+√2)/2
=√2(2√3+1)/2=(2√3+1)/√2
■お題
π≒3+(√2)/10+(√14)/100000
323: 2024/02/25(日)10:43 ID:GAjOSKEM(2/6) AAS
π≒3+(√2)/10+(√293)/100000
324: 2024/02/25(日)11:08 ID:GAjOSKEM(3/6) AAS
π≒3+(√2)/10+(√2)/10000+2(√2)/100000+(√2)/1000000+(√2)/10000000
325: 2024/02/25(日)11:20 ID:GAjOSKEM(4/6) AAS
π≒3+(√2)/10+(√2)/(10^4)+2(√2)/(10 ^5)+(√2)/(10^6)+(√2)/(10^7)
326: 2024/02/25(日)11:42 ID:GAjOSKEM(5/6) AAS
◆
◆
327: 2024/02/25(日)11:43 ID:GAjOSKEM(6/6) AAS
3+(√2)/10+(√2)/(10^4)+2(√2)/(10^5)+(√2)/(10^6)+(√2)/(10^7)+2(√2)/(10^8)+5(√2)/(10^9)+5(√2)/(10^10)
☆☆
328: 2024/02/25(日)18:16 ID:Aheu0gWk(1/4) AAS
Table[Product[(2n-1)^(C(0,3-a))
C(0,C(0,((n-a)^(2a-2)mod(2a-1)))),{a,3,30}],{n,50,232}]
329: 2024/02/25(日)18:59 ID:Aheu0gWk(2/4) AAS
1/8=0.125
π＞3+0.125
330: 2024/02/25(日)19:09 ID:Aheu0gWk(3/4) AAS
1/7=0.142857142857...
142857 循環小数
3+0.142857＞π
331: 2024/02/25(日)19:15 ID:Aheu0gWk(4/4) AAS
3+(1/7)＞π＞3+(1/8)
332: 2024/02/25(日)21:35 ID:I0pYLtfH(1/2) AAS
◆素数位置特定アルゴリズム
(superPCM関数)
Table[Product[(2n-1)^(C(0,3-a))
C(0,C(0,((n-a)^(2a-2)mod(2a-1)))),{a,3,30}],{n,50,232}]
aの終値は、
nの初期値よりも小さくする
入力条件はそれだけ
省3
333: 2024/02/25(日)21:50 ID:I0pYLtfH(2/2) AAS
◆素数位置特定アルゴリズム
(superPCM関数)
Table[Product[(2n-1)^(C(0,3-a))
C(0,C(0,((n-a)^(2a-2)mod(2a-1)))),{a,3,100}],{n,4950,5000}]
{0, 9901, 0, 0, 9907, 0, 0, 0, 0,
0, 0, 0, 9923, 0, 0, 9929, 9931,
0, 0, 0, 0, 9941, 0, 0, 0, 9949, 0,
省6
334: 2024/02/26(月)08:56 ID:EUKHqfAL(1/2) AAS
3+(√2)/10+(√2)/(10^4)+2(√2)/(10^5)+
(√2)/(10^6)+(√2)/(10^7)+2(√2)/
(10^8)+5(√2)/(10^9)+5(√2)/(10^10)+
(√2)/(10^11)+9(√2)/(10^12)
335: 2024/02/26(月)09:15 ID:EUKHqfAL(2/2) AAS
3+(√2)/(√99)
336: 2024/02/26(月)13:22 ID:h/Y6FUce(1) AAS
3.1415926535897
93238462643383279502884
本
337: 2024/02/27(火)19:03 ID:VEVSARZL(1) AAS
■お題
『√14と2+√3は、
どちらが大きいか小数点を
使わずに比較せよ』
338: 2024/02/27(火)20:44 ID:9OO/WZXZ(1) AAS
■お題
『3√2と2+√5は、
どちらが大きいか小数点を
使わずに比較せよ』
339: 2024/02/27(火)21:56 ID:N7NHX08C(1/2) AAS
■お題
『√14と2+√3は、
どちらが大きいか小数点を
使わずに比較せよ』
√49>√48 なので，7>(4√3)
7>(4√3) の両辺に7を足すと，
14>(7+4√3)
省3
340: 2024/02/27(火)22:15 ID:N7NHX08C(2/2) AAS
■お題
『3√2と2+√5は、
どちらが大きいか小数点を
使わずに比較せよ』
√81>√80 なので，9>(4√5)
9>(4√5) の両辺に9を足すと，
18>(9+4√5)
省4
341: 2024/02/28(水)00:31 ID:kPPggWft(1/2) AAS
■お題
『2√6と√3+√10は、
どちらが大きいか小数点を
使わずに比較せよ』
√121>√120 なので，11>(2√30)
11>(2√30) の両辺に13を足すと，
24>(13+2√30)
省4
342: 2024/02/28(水)02:13 ID:kPPggWft(2/2) AAS
3√10 6√2+1
343: 2024/02/28(水)11:35 ID:t2FYqoYu(1/2) AAS
3+100121125519543/(5(10^14)sqrt(2))
☆
344: 2024/02/28(水)11:39 ID:t2FYqoYu(2/2) AAS
(355/113)＞{3+100121125519543/
(5(10^14)sqrt(2))}＞π
☆
345: 2024/02/28(水)17:31 ID:tBOpACxk(1) AAS
3+1.00121125519543(√2)/10 > π > 3+(√2)/10
346: 2024/02/28(水)23:19 ID:4ET/DBqc(1/4) AAS
√2+5 √23+√3
347: 2024/02/28(水)23:25 ID:4ET/DBqc(2/4) AAS
5+√2 √3+√22
348: 2024/02/28(水)23:33 ID:4ET/DBqc(3/4) AAS
(5+√2)^2=27+10√2
(√3+√22)^2=25+2√66
349: 2024/02/28(水)23:55 ID:4ET/DBqc(4/4) AAS
27+2√50
25+2√66
350: 2024/02/29(木)00:01 ID:gCkQcplH(1/2) AAS
7＜√50＜8
8＜√66
351: 2024/02/29(木)00:45 ID:gCkQcplH(2/2) AAS
10√2=√2√10√10
2√66=√2√2√6√11=√2√12√11
352: 2024/02/29(木)09:15 ID:ieUHBn65(1) AAS
■お題
『5+√2 √3+√22は、
どちらが大きいか小数点を
使わずに比較せよ』
(5+√2)^2=27+10√2=27+2√50
(√3+√22)^2=25+2√66
(√66-√50)>1 の時，(√3+√22)>(5+√2)
省11
353: 2024/02/29(木)17:34 ID:KsYk+pKj(1/6) AAS
(5+√22)^2=47+5√88
47+5√88 > 47+5(9)
47+5(9) > 90,
(5+√22)^2 > 90,
(5+√22) > √90,
(5+√22) > 3√10,
(5+√22)/3 > √10
省5
354: 2024/02/29(木)17:45 ID:KsYk+pKj(2/6) AAS
2421991
141421356
1006378
6378
{1+√2+(2π)/1000}/10
355: 2024/02/29(木)18:07 ID:KsYk+pKj(3/6) AAS
閏年によるズレ
5時間48分46秒=20926秒
1日=86400秒
20926/86400=0.2421991
400年に97年の閏年で
97/400=0.2425で近似している
■お題
省11
356: 2024/02/29(木)18:46 ID:KsYk+pKj(4/6) AAS
■お題
『n年にm年の閏年で97/400よりも
よりよい近似を出したい
nを1000以下として最近似する
m,nの値を求めよ』
2421991
141421356≒√2
省7
357: 2024/02/29(木)19:11 ID:KsYk+pKj(5/6) AAS
2.421991
1.41421356≒√2
1.006378
6.378≒2π
6.378＞2π なので，
358: 2024/02/29(木)19:13 ID:KsYk+pKj(6/6) AAS
◆
■
359: 2024/02/29(木)19:23 ID:yKjsrzGD(1/6) AAS
閏年によるズレ
5時間48分46秒=20926秒
1日=86400秒
20926/86400=0.2421991
400年に97年の閏年で
97/400=0.2425で近似している
■お題
省11
360: 2024/02/29(木)19:26 ID:yKjsrzGD(2/6) AAS
2.421991
1.41421356≒√2
1.006378
6.378≒2π
{1+√2+(2π)/1000}/10
{1+√2+(π)/500}/10
6.378＞2π なので，
省4
361: 2024/02/29(木)19:38 ID:yKjsrzGD(3/6) AAS
●
●
362: 2024/02/29(木)19:43 ID:yKjsrzGD(4/6) AAS
■お題
『5+√2 と √3+√22 は、
どちらが大きいか小数点を使わない
エレガントな考察をせよ』
(5+√2)^2=27+10√2=27+2√50
(√3+√22)^2=25+2√66
(√66-√50)>1 の時，(√3+√22)>(5+√2)
省10
363: 2024/02/29(木)20:47 ID:yKjsrzGD(5/6) AAS
"(Get your kicks on) Route 66"は、
Bobby Troup が1946年に
作詞・作曲した
米国のポピュラー・ソングである
ジャズのスタンダード曲(名曲)
1946年 -
Nat King Cole, Bing Crosbyらで
省4
364: 2024/02/29(木)20:48 ID:yKjsrzGD(6/6) AAS
■お題
『5+√2 と √3+√22 は、
どちらが大きいか小数点を使わない
エレガントな考察をせよ』
(5+√2)^2=27+10√2=27+2√50
(√3+√22)^2=25+2√66
(√66-√50)>1 の時，(√3+√22)>(5+√2)
省10
365: 2024/03/01(金)00:42 ID:G521kWci(1/2) AAS
2を加えて立方数となる
平方数が25の他に整数で存在するか
この問題は一見するに
たいへん難しそうであるが，
私は25がそうした唯一の
平方数であることを厳密に
証明することができる
省8
366: 2024/03/01(金)00:46 ID:G521kWci(2/2) AAS
(25+2√66)＞(27+2√50)
367: 2024/03/01(金)16:36 ID:VmVqpTQe(1/6) AAS
閏年によるズレ
5時間48分46秒=20926秒
1日=86400秒
20926/86400=0.2421991
400年に97年の閏年で
97/400=0.2425で近似している
■お題
省12
368: 2024/03/01(金)16:53 ID:VmVqpTQe(2/6) AAS
3^2+4^2=5^2
3^3+4^3+5^3=6^3
6^3+8^3+10^3=12^3
6^3+8^3=9^3-1
9^3-1+10^3=12^3
∴9^3+10^3=12^3+1(最小のタクシー数)
6^3+8^3=9^3-1
省7
369: 2024/03/01(金)20:19 ID:VmVqpTQe(3/6) AAS
『a,b,cを正の整数とし、
M=3^a+3^b+3^c+1とする
Mが立方数となるようなa,b,cで、
a<b<c≦10を満たすものは2組存在するが、
それらをすべて求めよ』
3^n,{n,1,10}
{3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561,
省8
370: 2024/03/01(金)20:47 ID:VmVqpTQe(4/6) AAS
◆立方数から一回り小さい立方数を
引く
(y+1)^3-y^3=3y^2+3y+1
(y+1)^3=y^3+3y^2+3y+1
ロジックが解明されました
371: 2024/03/01(金)21:35 ID:VmVqpTQe(5/6) AAS
■お題
『a,b,cを正の整数とし、
M=3^a+3^b+3^c+1とする
Mが立方数となるようなa,b,cで、
a<b<c≦10を満たすものは2組存在するが、
それらをすべて求めよ』
◆Mは偶数なので，
省8
372: 2024/03/01(金)23:23 ID:VmVqpTQe(6/6) AAS
■お題
『a,b,cを正の整数とし、
M=3^a+3^b+3^c+1とする
Mが立方数となるようなa,b,cで、
a<b<c≦10を満たすものは2組存在するが、
それらをすべて求めよ』
◆n,yを正の整数として
省7
373: 2024/03/02(土)01:29 ID:WxKAmXQn(1/2) AAS
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●
374: 2024/03/02(土)01:34 ID:WxKAmXQn(2/2) AAS
■お題
『a,b,cを正の整数とし、
M=3^a+3^b+3^c+1とする
Mが立方数となるようなa,b,cで、
a<b<c≦10を満たすものは2組存在するが、
それらをすべて求めよ』
◆n,yを正の整数として
省13
375: 2024/03/02(土)08:32 ID:57MFUqmQ(1/3) AAS
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