美しい整数の世界 (780ﾚｽ)
上下前次1-新

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374: 2024/03/02(土)01:34 ID:WxKAmXQn(2/2) AAS
■お題
『a,b,cを正の整数とし、
M=3^a+3^b+3^c+1とする
Mが立方数となるようなa,b,cで、
a<b<c≦10を満たすものは2組存在するが、
それらをすべて求めよ』

◆n,yを正の整数として
y=3^n，M=(y+1)^3 とおく

M=3^c+3^b+3^a+1 は，
(y+1)^3=y^3+3y^2+3y+1

M=(3^n)^3+3(3^n)^2+3(3^n)+1
M=3^(3n)+3^(2n+1)+3^(n+1)+1 …①

n=1 の時，3^(3n)+3^(2n+1)=27，b=c
n=4 の時，3^(3n)=3^(12)，c>12

①より，
a<b<c≦10 の範囲内で取り得る
nの値は，{n=2，n=3}
yの値は，{y=9，y=27}

したがって，

∴a=3,b=5,c=6， a=4,b=7,c=9

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