[過去ﾛｸﾞ] スレタイ 箱入り無数目を語る部屋4 (1002ﾚｽ)
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432: 2022/11/01(火)00:07 ID:sIOgpcGr(1/28) AAS
>>390-425
読み返してみたが、さすがにこの分量だと変なミスがあるな。すまん。
(>>399)
＞定理：任意の A∈F_N と任意の k≧0 に対して、A^[k]∈F_N であり、
＞しかも μ_N(A^[k]) ≦ μ_N(A^[k＋1]) (k≧0)である。
この定理、A^[k]∈F_N の証明は省略していたが、丁寧にやってみたところ、
なんか示せそうにない(サイコロのような離散的な場合だと示せるのだが)。
省2
433: 2022/11/01(火)00:08 ID:sIOgpcGr(2/28) AAS
その前に、見落としがちな注意点を1つ。
(X,F,ν)を有限測度空間とする。ν_* を、ν から作られる内測度とする。
このとき、任意の A⊂B⊂X に対して ν_*(A)≦ν_*(B) が成り立つ。
内測度なんだから逆転して ν_*(A)≧ν_*(B) だろうと錯覚してしまうが、
そうではなく、ν_*(A)≦ν_*(B) が成り立つ。実際、内測度に関する
・ A,B⊂X が互いに素ならば、ν_*(A∪B)≧ν_*(A)＋ν_*(B)
という性質(こちらは確かに逆転している)を使えば、A⊂B⊂X のとき、
省6
434: 2022/11/01(火)00:10 ID:sIOgpcGr(3/28) AAS
では、>>399は丸ごと削除し、そして>399の性質を使っている唯一の>>404を証明し直す。
そのやり方は、>>400 >>402と全く同じ方法でよかった。
A⊂[0,1)^N を任意に取る。μ_{N*}([0,1)A)＝μ_{N*}(A) を示したい。
A⊃B∈F_N なる B を任意に取れば、[0,1)A ⊃ [0,1)B∈F_N なので、
μ_{N*}([0,1)A) ≧ μ_{N*}([0,1)B)＝μ_N([0,1)B)＝μ_N(B) である。
A⊃B∈F_N なる B は任意だったから、そのような B の sup を取れば、
μ_{N*}([0,1)A)≧μ_N^*(A) となる。次に、[0,1)A ⊃ B ∈ F_N なる B を任意に取る。
省3
435: 2022/11/01(火)00:13 ID:sIOgpcGr(4/28) AAS
フビニの定理から
μ_N(B)＝∫_{ [0,1]^N } 1_B(z)dμ_N(z) ＝ ∫_{ [0,1] × [0,1]^N } 1_B(x,y) d(μ_1×μ_N)(x,y)
＝ ∫_{ [0,1] }∫_{ [0,1]^N } 1_{B_x}(y)dμ_N(y)dμ_1(x)
＝ ∫_{ [0,1] } μ_N(B_x) dμ_1(x) ＝ ∫_{ [0,1) } μ_N(B_x) dμ_1(x)
≦ ∫_{ [0,1) } μ_{N*}(A) dμ_1(x) ＝ μ_{N*}(A)
省3
436: 2022/11/01(火)00:23 ID:sIOgpcGr(5/28) AAS
>>431
さすがにレベルが低すぎて話にならないね。何がヒルベルト空間だよ。確率空間だと言ってるだろ。
まず、今回の記法では、([0,1],F_1,μ_1) を通常のルベーグ測度空間と置いている。
μ_1([0,1])＝1 なので、この測度空間は確率空間になっている。
そこで、この確率空間の可算無限直積 確率空間を ([0,1]^N, F_N, μ_N ) と置いている。
これは確率空間である。ヒルベルト空間ではない。
[0,1]^N にどんな測度が入っているのかも明らか。μ_N である。μ_N という測度が入っている。
省6
437: 2022/11/01(火)00:28 ID:sIOgpcGr(6/28) AAS
>>431
＞５）だから、無限次元の[0,1]^Nに対して、どういう測度を与えるのか？
何度も言わせるな。μ_N である。[0,1]^N にはμ_N という測度が入っている。
では、μ_N はどこから来たのか？
何度も言うとおり、([0,1],F_1,μ_1)という確率空間を可算無限個用意して、
その積を取ったときの可算無限直積 確率空間 ([0,1]^N, F_N, μ_N ) を考え、
ここで出現した μ_N を [0,1]^N 上の測度として採用している。というより、
省5
438(4): 2022/11/01(火)00:35 ID:sIOgpcGr(7/28) AAS
μ_N の正体をより具体的に書くと、μ_N は次のように特徴づけられる：
任意の n≧1 と任意の A_1,A_2,…,A_n∈F_1 に対して、
A_1×A_2×…×A_n×[0,1]×[0,1]×[0,1]×… (← 残りは全て [0,1] が可算無限個並んでいる)
という集合の測度が μ_1(A_1)μ_1(A_2)…μ_1(A_n) で与えられるような測度が μ_N である。
すなわち、上記の集合に対して
μ_N ( A_1×A_2×…×A_n×[0,1]×[0,1]×[0,1]×… ) ＝ μ_1(A_1)μ_1(A_2)…μ_1(A_n)
省5
443(6): 2022/11/01(火)12:06 ID:sIOgpcGr(8/28) AAS
可算無限直積 確率空間に関する文献を以下に1つ挙げる。
Infinite Products of Probability Spaces
外部ﾘﾝｸ:jpmccarthymaths.com
ここからは、上記のリンク先からかいつまんで引用して説明する。
444(1): 2022/11/01(火)12:07 ID:sIOgpcGr(9/28) AAS
まず、可算無限個の確率空間 (Ω_n, S_n, P_n) (n＝1,2,3,…) を用意する。
それぞれの (Ω_n, S_n, P_n) は任意でよくて、n ごとに全く異なる確率空間でも構わない。
そして、これらの確率空間の可算無限直積として得られる確率空間 (Ω,S,P) を作っているのが
上記のリンク先である。もちろん、Ω＝Π[n＝1〜∞]Ω_n である。つまり
Ω ＝ Π[n＝1〜∞]Ω_n ＝ Ω_1×Ω_2×Ω_3×Ω_4×…
である。最終目標が([0,1]^N,F_N,μ_N)の場合には
(Ω_n, S_n, P_n)＝([0,1], F_1, μ_1) (∀n≧1) なので、
省2
445: 2022/11/01(火)12:09 ID:sIOgpcGr(10/28) AAS
具体的にどうやって確率空間(Ω,S,P)を構成するのか？まず、
＞ Let R be the collection of all sets Π[n＝1〜∞]A_n ⊂ Ω
＞ where A_n∈S_n for all n and A_m＝Ω_m except for at most finitely many values of n.
＞ Elements of R will be called rectangles.
として集合族 R を用意する。ご覧の通り、
R ＝ { Π[n＝1〜∞]A_n｜A_n∈S_n (n≧1), 有限個の n を除いて A_n＝Ω_n }
と置いている。つまり、Π[n＝1〜∞]A_n の実体は
省4
446: 2022/11/01(火)12:11 ID:sIOgpcGr(11/28) AAS
R の各元のことは rectangle と呼ばれる。日本語では柱状集合とかシリンダーとか呼ばれる。
先頭の有限個しか弄らず、残りの無限個は全て Ω_n のまま弄らないのだから、
いかにも「 rectangle, 柱状集合, シリンダー」といったイメージである。
ちなみに、最終目標が([0,1]^N, F_N, μ_N)の場合には
(Ω_n, S_n, P_n)＝([0,1], F_1, μ_1) (∀n≧1) を適用するのだから、対応する Π[n＝1〜∞]A_n は
Π[n＝1〜∞]A_n ＝ A_1×A_2×…×A_k×[0,1]×[0,1]×[0,1]×… (← これ以降は [0,1] だけが並ぶ)
というものである。スレ主はこの集合に対して「コルモゴロフの確率公理を満たすか？」(>>440)
省2
447: 2022/11/01(火)12:11 ID:sIOgpcGr(12/28) AAS
R から生成される集合体(σ集合体ではない)のことを A_f と置く。
リンク先では字体の異なる A が用いられているが、このスレではフォントが弄れないので、
ここでは A_f と書くことにする。
A_f の各元は「互いに素な R の元の有限個の和」として表せることが、Proposition の節で示されている。
448: 2022/11/01(火)12:13 ID:sIOgpcGr(13/28) AAS
次に、A_f 上の有限加法的測度 P：A_f → [0,1] が定義される。
まずは R 上での P の値が定義される。具体的には、Proposition の節の末尾において
＞ Now for A＝Π[n＝1〜∞] A_n ∈ R, let P(A):＝ Π[n＝1〜∞] P_n(A_n).
＞ The product converges since all but finitely many factors are 1.
と定義されている。ご覧のとおり、任意の柱状集合 A＝Π[n＝1〜∞]A_n∈R に対して
P(A):＝Π[n＝1〜∞] P_n(A_n) と定義している。
P_n は何かといえば、n番目の確率空間 (Ω_n,S_n,P_n) に出現している確率測度である。
省2
449: 2022/11/01(火)12:14 ID:sIOgpcGr(14/28) AAS
A の実体は
A＝Π[n＝1〜∞]A_n ＝ A_1×A_2×…×A_k×Ω_{k＋1}×Ω_{k＋2}×Ω_{k＋2}×…
というものだったから、P(A):＝Π[n＝1〜∞] P_n(A_n) という定義の実体は
P(A):＝ P_1(A_1)…P_k(A_k) P_{k+1}(Ω_{k+1})P_{k+2}(Ω_{k+2})…
というものである。P_m(Ω_m)＝1 (∀m≧k＋1) なので、要するに
省5
450: 2022/11/01(火)12:15 ID:sIOgpcGr(15/28) AAS
要するに、写像 P：R → [0,1] を、任意の k≧1 と任意の A_i∈S_i (1≦i≦k) に対して
P ( A_1×A_2×…×A_k×Ω_{k＋1}×Ω_{k＋2}×Ω_{k＋2}×… ) :＝ P_1(A_1)…P_k(A_k)
として定義しているわけである。
最終目標が([0,1]^N,F_N,μ_N)の場合には (Ω_n, S_n, P_n)＝([0,1], F_1, μ_1) (∀n≧1)
を適用するのだから、その場合には、任意の k≧1 と任意の A_1,…,A_k∈F_1 に対して
μ_N(A_1×A_2×…×A_k×[0,1]×[0,1]×[0,1]×…) :＝ μ_1(A_1)…μ_1(A_k)
省3
451: 2022/11/01(火)12:17 ID:sIOgpcGr(16/28) AAS
続いて、上記の写像 P：R → [0,1] を、A_f 上に拡張して P：A_f → [0,1] を定義する。
A_f の各元は、互いに素な R の元の有限個の和として表せるので、A∈A_f を任意に取れば、
ある N≧1 とある互いに素な B_1,…,B_N∈R が存在して A＝∪[r＝1〜N] B_r と表せる。
そこで、P(A)：＝Σ[r〜1〜N] P(B_r) と定義する。各 B_r は B_r∈R を満たし、
そして R 上では P の定義は済んでいたので、P(B_r) は既に定義済みであり、
よって P(A)：＝Σ[r〜1〜N] P(B_r) の右辺はちゃんと意味を持っている。
こうして、P：A_f → [0,1] を定義する。この定義は well-defined である。
省6
452: 2022/11/01(火)12:18 ID:sIOgpcGr(17/28) AAS
A_f から生成されるσ集合体を S と置くとき、P：A_f → [0,1] を S 上に拡張して
P：S → [0,1] を定義し、しかもこれが S 上で確率測度になっていることを示すのが最終目標である。
そのためには、E.ホップの拡張定理を使う。
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ちなみに、>>443のリンク先では
＞ by the Caratheodory Extension Theorem.
すなわち「カラテオドリの拡張定理」と呼ばれているが、厳密にはE.ホップの拡張定理である。
省4
453: 2022/11/01(火)12:20 ID:sIOgpcGr(18/28) AAS
さて、今回の P：A_f → [0,1] に対してE.ホップの拡張定理を使うには、そのまま
・ A_n∈A_f (n≧1) が互いに素かつ ∪[n＝1〜∞] A_n∈A_f のとき P(∪[n＝1〜∞] A_n) ＝ Σ[n＝1〜∞] P(A_n)
が成り立つことを示せばよい。このことは、
＞ If P us countably additive on A, then it has a unique countably additive extension
＞ to S by the Caratheodory Extension Theorem.
から先の部分で示されれている。
454: 2022/11/01(火)12:21 ID:sIOgpcGr(19/28) AAS
以上により、確率空間 (Ω,S,P) を得る。すなわち、可算無限個の確率空間 (Ω_n, S_n, P_n) (n≧1) から、
その無限直積となる確率空間 (Ω,S,P) を得る。…ということをやっているのが上記のリンク先である。
これらの議論をよく読むと、確率測度 P：S → [0,1] は次の性質で特徴づけられることが分かる：
任意の k≧1 と任意の A_i∈S_i (1≦i≦k) に対して
P ( A_1×A_2×…×A_k×Ω_{k＋1}×Ω_{k＋2}×Ω_{k＋2}×… ) ＝ P_1(A_1)…P_k(A_k)
が成り立つ。
↑これが P の特徴づけであり、この性質を満たす確率測度 P：S → [0,1] がただ1つ存在するわけである。
455: 2022/11/01(火)12:22 ID:sIOgpcGr(20/28) AAS
最終目標が([0,1]^N, F_N, μ_N)の場合には、(Ω_n,S_n,P_n)＝([0,1],F_1,μ_1) (n≧1) を
適用すればよいことになる。この場合、μ_N という測度の特徴付けは、まさしく>>438である。
文献に関しては以上。
456: 2022/11/01(火)12:26 ID:sIOgpcGr(21/28) AAS
>>440
＞１）この確率測度μ_N は、あんたのオリジナル？
＞ それとも、先行文献ある？ 先行文献あるなら示して欲しい
スレ主、可算無限直積 確率空間を全く知らないことが露呈。
コルモゴロフの確率論がどうこうと講釈を垂れるくせに、
当の本人はこんなことも理解してないという有様。
確率論にはマニアックな分野も存在するが、これは基礎中の基礎である。
省2
457: 2022/11/01(火)12:26 ID:sIOgpcGr(22/28) AAS
>>440
＞２）数学（特に圏論）ではよくあるが、「存在すれば一意」という
＞ しかし、問題は存在するかどうか（測度の性質を満たす？）だろ？
存在する。確率論の基礎。それが分かってない時点で話にならない。
＞４）”A_1×A_2×…×A_n×[0,1]×[0,1]×[0,1]×… (← 残りは全て [0,1] が可算無限個並んでいる)”
＞ のところ、時枝トリック類似に見えるけどｗ
＞ つまり、先頭に有限部分で決定番号100個 d1〜d100を含む部分,残りに無限のしっぽ
省4
458: 2022/11/01(火)12:28 ID:sIOgpcGr(23/28) AAS
スレ主が大好きな
・ iid 確率変数 X_i∈[0,1] (各X_iは[0,1]上の一様分布を実現)
について考えてみる。各 X_i (i≧1) は確率変数なのだから、
ベースとなる確率空間(Ω, F, P)がどこかに存在して、
・ 写像 X_i：Ω → [0,1] は可測空間 (Ω,F) から可測空間([0,1], B_1) への
可測写像である(ただし、B_1は[0,1]上のボレルσ集合体。
・ {X_i}_{i≧1} は確率空間(Ω,F,P)の中で独立同分布である。
省5
459: 2022/11/01(火)12:36 ID:sIOgpcGr(24/28) AAS
X_1 だけなら、そのような(Ω,F,P)の存在性は自明である。
具体的には、(Ω,F,P)：＝([0,1],F_1,μ_1) (1次元のルベーグ測度空間)と置き、
そして、X_1：Ω→[0,1] を X_1(t)：＝t (t∈[0,1]) と置けばよい。
X_1,X_2 の2つでも、そのような(Ω,F,P)の存在性は自明である。
具体的には、(Ω,F,P)：＝([0,1]^2,F_2,μ_2) (2次元のルベーグ測度空間)と置き、
X_i：Ω→[0,1] を X_1((t_1,t_2))：＝t_1, X_2((t_1,t_2))：＝t_2 (t_1,t_2∈[0,1])
と置けばよい。こうすると、X_1,X_2 は(Ω,F,P)上で iid 確率変数になり、
省6
460: 2022/11/01(火)12:38 ID:sIOgpcGr(25/28) AAS
有限個の X_1,…,X_n の場合でも、そのような(Ω,F,P)の存在性は自明である。
具体的には、(Ω,F,P)：＝([0,1]^n,F_n,μ_n) (n次元のルベーグ測度空間)と置き、
そして、X_i：Ω→[0,1] を X_i((t_1,…,t_n))：＝t_i (1≦i≦n)と置けばよい。
こうすると、X_1,…,X_n∈[0,1] は(Ω,F,P)上で iid 確率変数になり、各X_iは[0,1]上の一様分布を実現している。
この作業を見れば、X_1 の場合に必要だった確率空間は ([0,1],F_1,μ_1) であり、
X_1〜X_n の場合に必要だった確率空間は、
([0,1],F_1,μ_1)をn個用意して積を取った積確率空間 ([0,1]^n, F_n, μ_n) である、
省3
461: 2022/11/01(火)12:39 ID:sIOgpcGr(26/28) AAS
では、本題となる可算無限個の X_1,X_2,…∈[0,1] の場合は、対応する(Ω,F,P)の正体はどうなっているのか？
実は、それこそが ([0,1]^N, F_N, μ_N) である。
つまり、(Ω,F,P)＝([0,1]^N, F_N, μ_N) と置くのである。
そして、X_i：Ω → [0,1] を X_i(t_1,t_2,t_3,…)：＝ t_i と定義するのである。
(よって、各 X_i は [0,1]^N の第i成分を取り出すという射影になっている。)
こうすると、可算無限個の X_1,X_2,…∈[0,1] は(Ω,F,P)上で iid 確率変数になり、
各X_iは[0,1]上の一様分布を実現している。
462(1): 2022/11/01(火)12:39 ID:sIOgpcGr(27/28) AAS
このように、スレ主が大好きな
・ iid 確率変数 X_i∈[0,1] (各X_iは[0,1]上の一様分布を実現)
の存在性を担保する確率空間こそが ([0,1]^N, F_N, μ_N) なのに、
当のスレ主は ([0,1]^N, F_N, μ_N) を「全く知らない」。それどころか、
＞４）”A_1×A_2×…×A_n×[0,1]×[0,1]×[0,1]×… (← 残りは全て [0,1] が可算無限個並んでいる)”
＞ のところ、時枝トリック類似に見えるけどｗ
＞ つまり、先頭に有限部分で決定番号100個 d1〜d100を含む部分,残りに無限のしっぽ
省2
486(2): 2022/11/01(火)23:59 ID:sIOgpcGr(28/28) AAS
>>485
＞あなた、基礎論というか無限集合論弱いねｗ
＞あなたの議論は面白いが、下記
＞カントール集合：”ルベーグ測度は 0 でありながら、濃度は実数に等しい集合（連続体濃度の非可算集合）として有名な例である”
＞とある
横やりだが、
> ヴィタリ集合はいくらでも小さくできるが
省5
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