美しい整数の世界 (780ﾚｽ)
上下前次1-新
533: 2024/03/30(土)05:05 ID:pXhniF9o(1) AAS
{(x+m-1)(x+m)/2}^2 － {(x-1)x/2}^2
= {x + (m-1)/2} {xx + (m-1)x + (m-1)m/2},
x + (m-1)/2 = (1/6)(LL-1)^2,
xx + (m-1)x + (m-1)m/2 = (1/36)(LL-1)(LL+2)^3,
534: 2024/03/31(日)13:22 ID:uyKVpEJe(1) AAS
{(x+m-1)(x+m)/2}^2 － {(x-1)x/2}^2
= m {x + (m-1)/2} {xx + (m-1)x + (m-1)m/2},
535: 2024/04/14(日)18:33 ID:prKeV3wM(1) AAS
◆1ユニット1000万枚の宝くじ
1ユニットに1等1億円が1枚入っている
売れ残りのくじは
当選者unknownとして廃棄される
全てのくじが売れた場合
1等1億円の当選確率は1/10000000
一回で10枚購入するのと
省2
536: 2024/04/16(火)10:58 ID:/lS5+Hxf(1) AAS
整数に対して美しさというような何らかの評価関数を与えるとすればどのようなものが適切だろうか。
537: 2024/04/20(土)22:42 ID:bVNPGaYh(1/5) AAS
■superPCM関数とは？
奇数の数列2n-1から
合成数を取り除くアルゴリズム
Product
Combination
Mod
によって素数を1
省15
538: 2024/04/20(土)23:19 ID:bVNPGaYh(2/5) AAS
■合成数はどうやって取り除く？
奇数の数列1,3,5,7,9,11,13,15,17,19…
に対して
数列1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0…は
a_n=n^2 mod3
数列1,1,1,1,0,1,1,1,1,0,1,1,1,1,0…は
a_n=n^4 mod5
省15
539: 2024/04/20(土)23:38 ID:bVNPGaYh(3/5) AAS
▲
▼
540: 2024/04/20(土)23:41 ID:bVNPGaYh(4/5) AAS
■superPCM関数とは？
奇数の数列2n-1から
合成数を取り除くアルゴリズム
PCM(Product Combination Mod)
によって素数を1
合成数を0に振り分ける(量子化)
これはアナログをデジタルに変換する
省13
541: 2024/04/20(土)23:52 ID:bVNPGaYh(5/5) AAS
■合成数はどうやって取り除く？
奇数の数列1,3,5,7,9,11,13,15,17,19…
に対して
数列1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0…は
a_n=n^2 mod3
数列1,1,1,1,0,1,1,1,1,0,1,1,1,1,0…は
a_n=n^4 mod5
省21
542: 2024/04/25(木)23:31 ID:lXQEm2Sb(1) AAS
原始ピタゴラス数x^2+y^2=z^2 の
出力アルゴリズム
[z-y=1]
Table[2n{(n+1)^(C(1,a-2))}+C(0,3mod a),{n,1,50},{a,1,3}]
[z-y=2]
Table[4(n+1)^{(C(1,a-1))+1}+(C(1,a-1))(-1)^a,{n,1,30},{a,0,2}]
省2
543(1): 2024/04/28(日)13:50 ID:JjngYNSM(1/2) AAS
◆図形を平行四辺形とする
画像ﾘﾝｸ[png]:i.imgur.com
直角三角形の短辺の長さxは、
9^2-8^2=81-64=17 なので、x=√17
直角三角形の面積s1は、 s1=4x
台形の短辺の長さyは、y=10-x
台形の長辺の長さは10
省4
544: 2024/04/28(日)14:23 ID:JjngYNSM(2/2) AAS
①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩
545: 2024/04/30(火)21:10 ID:dbyjbpZp(1/3) AAS
500位だったから上げた
546: 2024/04/30(火)22:54 ID:dbyjbpZp(2/3) AAS
82位だった
547: 2024/04/30(火)23:12 ID:dbyjbpZp(3/3) AAS
７９
548: 2024/04/30(火)23:58 ID:ElCKljKY(1) AAS
３８
>>543
辺長 9 を使わなくても面積は出そうですが…
菱型ぢゃないぜよ、と言いたかった？
549: 2024/05/01(水)00:04 ID:AD3i5GdB(1/3) AAS
１
「なぜ1番なんですか？
2位じゃダメなんでしょうか？」
550: 2024/05/01(水)00:59 ID:AD3i5GdB(2/3) AAS
1世帯あたりの支出額(円/年)
2021年
1位 宮崎市 4184円
2位 浜松市 3728円
3位 宇都宮市 3129円
2022年
1位 宮崎市 4053円
省7
551: 2024/05/01(水)01:00 ID:AD3i5GdB(3/3) AAS
551蓬莱
外部ﾘﾝｸ:www.551horai.co.jp
552: 2024/05/01(水)06:56 ID:sgJI4piv(1) AAS
ぶたまん
553: 2024/05/04(土)01:55 ID:mGKd70RD(1/4) AAS
閏年によるズレ
5時間48分46秒=20926秒
1日=86400秒
20926/86400≒0.2421991
400年に97回の閏年で
97/400=0.2425で近似している
33年に8回の閏年で
省16
554: 2024/05/04(土)01:58 ID:mGKd70RD(2/4) AAS
n≦1000で最高精度が出る
n≦10000を設定したのはミス
555: 2024/05/04(土)02:13 ID:mGKd70RD(3/4) AAS
[定理]
平方数と立方数にはさまれた
唯一の数は26である
[証明]
k,l,m,n,xは自然数，klmnx≠0とする
x^3-(x+k)^2=2…‥①
x^3-x^2-k^2-2kx=2
省14
556: 2024/05/04(土)02:17 ID:mGKd70RD(4/4) AAS
kが奇数の時、
左辺x^2(x-1)-k^2は奇数となり
右辺が偶数である事と矛盾
557: 2024/05/05(日)23:42 ID:J+DBIH8J(1) AAS
▲
▼
558: 2024/05/06(月)00:17 ID:m1BVfr7O(1/4) AAS
◆kは偶数なので，kx+1は奇数
x^2(x-1)/2-(k^2)/2=kx+1…‥③
③より、(k^2)/2は偶数
kx+1は奇数なので，
x^2(x-1)/2は奇数
x^2は奇数，(x-1)/2も奇数
x^2は奇数なのでxは奇数
省8
559: 2024/05/06(月)00:40 ID:m1BVfr7O(2/4) AAS
◆x=4n-1，k=2mとおく
x^3-(x+k)^2=2…‥① に代入
(4n-1)^3-(4n-1+2m)^2=2 から、
m^2+m(4n-1)-16n^3+16n^2-5n=-1
m^2+m(4n-1)=16n^2(n-1)+5n-1
m(m+4n-1)=16n^2(n-1)+5n-1…‥④
(※wolframによる精密な結果)
省13
560: 2024/05/06(月)00:42 ID:m1BVfr7O(3/4) AAS
◆x=8l-5，k=2mとおく
x^2(x-1)/2-(k^2)/2=kx+1…‥③ に代入
(8l-5)^2(4l-3)-2m^2=2m(8l-5)+1
(8l-5)^2(4l-3)=2m^2+2m(8l-5)+1
(8l-5)^2(4l-3)=2m(m+8l-5)+1
(8l-5)^2={2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)
64l^2-80l+25={2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)
省6
561: 2024/05/06(月)00:51 ID:m1BVfr7O(4/4) AAS
[定理]
平方数と立方数にはさまれた
唯一の数は26である
[証明]
k,l,m,n,xは自然数，klmnx≠0とする
x^3-(x+k)^2=2…‥①
x^3-x^2-k^2-2kx=2
省13
562: 2024/05/06(月)02:46 ID:IaIPisdN(1/4) AAS
▲
▼
563: 2024/05/06(月)02:48 ID:IaIPisdN(2/4) AAS
◆x=8l-5，k=2mとおく
x^2(x-1)/2-(k^2)/2=kx+1…‥③ に代入
(8l-5)^2(4l-3)-2m^2=2m(8l-5)+1
(8l-5)^2(4l-3)=2m^2+2m(8l-5)+1
(8l-5)^2(4l-3)=2m(m+8l-5)+1
(8l-5)^2={2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)
64l^2-80l+25={2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)
省7
564: 2024/05/06(月)02:59 ID:IaIPisdN(3/4) AAS
◆l=m=1
{2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)+16l(5-4l)=25…‥⑤
l=m=1のとき、
{2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)と16l(5-4l)は，
ともに平方数である
l=m=1のとき⑤は
原始ピタゴラス数の等式である
省4
565: 2024/05/06(月)03:12 ID:IaIPisdN(4/4) AAS
□□□■■ 4
□□□■■
■■■□□
■■■□□
■■■□□
9
566: 2024/05/07(火)15:07 ID:F+MudCW0(1/4) AAS
{2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)+16l(5-4l)=25…‥⑤
l=m=1のとき⑤は
原始ピタゴラス数の等式である
⑤は
a^2+b^2=c^2を満たす(a,b,cは自然数)
c=5の時，a<b を満たす自然数の組は
一組だけである
省8
567: 2024/05/07(火)15:36 ID:F+MudCW0(2/4) AAS
■お題
50円の割引券が1枚ある
この割引券を使い、
100円の商品Aか、200円の商品Bを
50円引きで購入したい
以下の①～③から正しいものを選べ
①Aに割引券を使うほうが得である
省2
568: 2024/05/07(火)16:04 ID:F+MudCW0(3/4) AAS
100円の商品を50円引きで買うと
50％の得
200円の商品を50円引きで買うと
25％の得
200円の商品を100円引きで買うと
50％の得
200円の商品購入時に
省3
569: 2024/05/07(火)16:37 ID:F+MudCW0(4/4) AAS
2を加えて立方数となる
平方数が25の他に整数で存在するか
この問題は一見するに
たいへん難しそうであるが，
私は25がそうした唯一の
平方数であることを厳密に
証明することができる
省8
570: 2024/05/07(火)16:41 ID:Oym0l5WF(1/5) AAS
[定理]
平方数と立方数にはさまれた
唯一の数は26である
[証明]
k,l,m,n,xは自然数，klmnx≠0とする
x^3-(x+k)^2=2…‥①
x^3-x^2-k^2-2kx=2
省13
571: 2024/05/07(火)16:43 ID:Oym0l5WF(2/5) AAS
◆kは偶数なので，kx+1は奇数
x^2(x-1)/2-(k^2)/2=kx+1…‥③
③より、(k^2)/2は偶数
kx+1は奇数なので，
x^2(x-1)/2は奇数
x^2は奇数，(x-1)/2も奇数
x^2は奇数なのでxは奇数
省8
572: 2024/05/07(火)16:46 ID:Oym0l5WF(3/5) AAS
◆x=4n-1，k=2mとおく
x^3-(x+k)^2=2…‥① に代入
(4n-1)^3-(4n-1+2m)^2=2 から、
m^2+m(4n-1)-16n^3+16n^2-5n=-1
m^2+m(4n-1)=16n^2(n-1)+5n-1
m(m+4n-1)=16n^2(n-1)+5n-1…‥④
(※wolfram出力)
省13
573: 2024/05/07(火)16:47 ID:Oym0l5WF(4/5) AAS
◆x=8l-5，k=2mとおく
x^2(x-1)/2-(k^2)/2=kx+1…‥③ に代入
(8l-5)^2(4l-3)-2m^2=2m(8l-5)+1
(8l-5)^2(4l-3)=2m^2+2m(8l-5)+1
(8l-5)^2(4l-3)=2m(m+8l-5)+1
(8l-5)^2={2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)
64l^2-80l+25={2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)
省7
574: 2024/05/07(火)16:51 ID:Oym0l5WF(5/5) AAS
{2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)+16l(5-4l)=25…‥⑤
l=m=1のとき、
{2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)と16l(5-4l)は，
ともに平方数である
l=m=1のとき⑤は
原始ピタゴラス数の等式である
⑤は
省9
575: 2024/05/08(水)00:43 ID:r6jtoBaY(1) AAS
◆予算は200円, 50円引きクーポン一枚
100円の商品二つをクーポン一枚で
購入すると、支払いは150円
200円の商品一つをクーポン一枚で
購入すると、支払いは150円
※どちらも支払い総額が同じ
576: 2024/05/08(水)21:09 ID:o+7mX6D2(1/8) AAS
素数を知ったのは確か4歳くらいの時
聡明で美しい数字を想った
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59…
何か法則性は無いのか
すぐ近くに次の素数が現れると思えば
すぐ近くには無かったり
これが3桁4桁5桁となっていくと
省26
577: 2024/05/08(水)21:09 ID:o+7mX6D2(2/8) AAS
■R
# 宝の数を変化させる
treasure0 <- function(m=3,n=4,k=2){
y=1:(m*n)
(z=matrix(y,ncol=n,byrow=T))
(P=as.vector(z))
(Q=as.vector(t(z)))
省18
578: 2024/05/08(水)21:56 ID:o+7mX6D2(3/8) AAS
重合度nのPVA(ポリビニルアルコール)
があるとする
ここに、
大過剰のホルムアルデヒド(HCHO)
を用いて架橋を行う
即ち、各HCHO分子はPVAの隣り合う
2つのOH基を架橋する
省22
579: 2024/05/08(水)22:14 ID:o+7mX6D2(4/8) AAS
最近では、
虚部が小さい方から10兆個までの
複素零点は
すべてリーマン予想を満たすことが
計算されており、
現在までにまだ反例は知られていない
現在では
省10
580: 2024/05/08(水)22:16 ID:o+7mX6D2(5/8) AAS
37×3=111
37×6=222
37×9=333
37×12=444
37×15=555
37×18=666
37×21=777
省24
581: 2024/05/08(水)22:24 ID:o+7mX6D2(6/8) AAS
■haskellに移植
import Data.List
import Data.List.Split
m = 5 -- 縦マス(短軸）
n = 6 -- 横マス(長軸)
k = 5 -- 宝の数
q = [0..m*n-1]
省19
582: 2024/05/08(水)22:25 ID:o+7mX6D2(7/8) AAS
▲
▼
583: 2024/05/08(水)22:36 ID:o+7mX6D2(8/8) AAS
> sapply(1:20,function(k) treasure0(4,5,k))
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11]
短軸有利 9 84 463 1776 5076 11249 19797 28057 32243 30095 22749
長軸有利 9 83 453 1753 5075 11353 20057 28400 32528 30250 22803
同等 2 23 224 1316 5353 16158 37666 69513 103189 124411 122408
[,12] [,13] [,14] [,15] [,16] [,17] [,18] [,19] [,20]
短軸有利 13820 6656 2486 695 137 17 1 0 0
省17
584: 2024/05/11(土)11:51 ID:oPiBxvsA(1) AAS
◆ロト7一等当選確率
(37x36x35x34x33x32x31)/(7x6x5x4x3x2x1)=
(37x36x35x34x33x32x31)/(35x18x8)=
(37x2x34x33x4x31)=10295472
1/10295472ですが、
この10295472通り買えば
確実に当たるわけですよ
585: 2024/05/15(水)14:49 ID:73OQFaxb(1/2) AAS
◆a,b,cを相異なる実数とする
これらの数の間に
a(1-b)=b(1-c)=c(1-a)が成り立つ
aがとりえない値は(0), (-1)である
a(1-b)=b(1-c)=c(1-a)
a-ab=b-bc=c-ac
a-ab+ac=b-bc-c
省7
586: 2024/05/15(水)14:51 ID:73OQFaxb(2/2) AAS
◆a,b,cを相異なる実数とする
これらの数の間に
a(1-b)=b(1-c)=c(1-a)が成り立つ
aがとりえない値は(0), (1)である
a(1-b)=b(1-c)=c(1-a)
a-ab=b-bc=c-ac
a-ab+ac=b-bc-c
省7
587: 2024/05/15(水)20:51 ID:vur0ME3w(1/2) AAS
◆a,b,cを相異なる実数とする
これらの数の間に
a(1-b)=b(1-c)=c(1-a)が成り立つ
aがとりえない値は(0), (1)である[∵b≠c]
a(1-b)=b(1-c)=c(1-a)
a-ab=b-bc=c-ac
a-ab+ac=b-bc-c
省7
588: 2024/05/15(水)22:11 ID:vur0ME3w(2/2) AAS
◆この数列の一般項
0 1 5 21 85 341 1365 5461 21845 ...
a_n=(1/12)(4^n-4)
(与えられたすべての項について)
589: 2024/05/17(金)18:33 ID:ABSqhWT0(1/2) AAS
{2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)+16l(5-4l)=25…‥⑤
l=m=1のとき、
{2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)=9 ,
16l(5-4l)=16 となり，
ともに平方数である
l=m=1のとき⑤は
原始ピタゴラス数の等式である
省10
590: 2024/05/17(金)21:32 ID:ABSqhWT0(2/2) AAS
◆この数列の一般項
0 1 5 21 85 341 1365 5461 21845 ...
a_n=(1/12)(4^n-4)
(与えられたすべての項について)
a_n=(4^n-4)/12
a_n=(4^n-1)/3
591: 2024/05/21(火)19:01 ID:NkMoYbFE(1) AAS
あるお店では、
サッカーボールとシューズを仕入れ、
それぞれに利益を見込んで
定価をつけた
ボール1個とシューズ1足の仕入れたときの
値段の比は9:11、利益の比は2:3、
定価の比は4:5になった
省14
592: 2024/05/21(火)20:15 ID:Vy/1vMem(1) AAS
あるお店では、
サッカーボールとシューズを仕入れ、
それぞれに利益を見込んで
定価をつけた
ボール1個とシューズ1足の仕入れたときの
値段の比は9:11、利益の比は2:3、
定価の比は4:5になった
省21
593: 2024/05/22(水)08:19 ID:0F7MnVL+(1/4) AAS
あるお店では、
商品Aと商品Bを仕入れ、
それぞれに利益を見込んで
定価をつけた
商品A1個と商品B1個の仕入れたときの
値段の比は9:11、利益の比は2:3、
定価の比は4:5になった
省20
594: 2024/05/22(水)08:20 ID:0F7MnVL+(2/4) AAS
▲
▼
595: 2024/05/22(水)08:34 ID:0F7MnVL+(3/4) AAS
あるお店では、
商品Aと商品Bを仕入れ、
それぞれに利益を見込んで
定価をつけた
商品A1個と商品B1個の仕入れたときの
値段の比は9:11、利益の比は2:3、
定価の比は4:5になった
省20
596: 2024/05/22(水)08:52 ID:0F7MnVL+(4/4) AAS
x=4k+y なのでx=9y
x+k=11y
y=1350
∴x+k=14850
597: 2024/05/22(水)10:14 ID:IZ+oIYDo(1/3) AAS
▲
▼
598: 2024/05/22(水)10:22 ID:IZ+oIYDo(2/3) AAS
あるお店では、
商品Aと商品Bを仕入れ、
それぞれに利益を見込んで
定価をつけた
商品A1個と商品B1個の仕入れたときの
値段の比は9:11、利益の比は2:3、
定価の比は4:5になった
省18
599: 2024/05/22(水)11:09 ID:IZ+oIYDo(3/3) AAS
あるお店では、
商品Aと商品Bを仕入れ、
それぞれに利益を見込んで
定価をつけた
商品A1個と商品B1個の仕入れたときの
値段の比は4:5、利益の比は6:11、
定価の比は2:3になった
省18
600: 2024/05/23(木)21:20 ID:JXDxZwEZ(1/4) AAS
▲
▼
601: 2024/05/23(木)21:22 ID:JXDxZwEZ(2/4) AAS
あるお店では、
商品Aと商品Bを仕入れ、
それぞれに利益を見込んで
定価をつけた
商品A1個と商品B1個の仕入れたときの
値段の比は6:11、利益の比は4:3、
定価の比は8:13になった
省19
602: 2024/05/23(木)22:01 ID:JXDxZwEZ(3/4) AAS
◆仕入れ値を○、売価を□とおく
A B
○ 仕 6 ： 11
確定)利 1350 1012.5
□ 売 8 ： 13
6○+1350=8□
11○+1012.5=13□
省5
603: 2024/05/23(木)23:08 ID:JXDxZwEZ(4/4) AAS
(x-k):x=6:11
y:(3/4)y=4:3
(x-k+y):{x+(3/4)y}=8:13
▼
k=4725
y=1350
x=10395
省4
604: 2024/06/05(水)11:03 ID:Juu06+2g(1) AAS
『√(x+√x)が100に最も近くなるような
正整数xを求めよ』
√(x+√x)=100
x+√x=10000
x=(20001)/2-sqrt(40001)/2
{(20001)/2-sqrt(40001)/2}+ sqrt(20001/2-sqrt(40001)/2)=10000
省8
605: 2024/06/05(水)17:06 ID:p1WY4IBC(1) AAS
『149,218,333をそれぞれ同じ整数で
わり算すると余りが3つとも同じに
なりました
ある整数とはいくつですか？』
ある整数をt,余りをkとする
3つの整数の内、
一番小さい数がtで割り切れるとすると
省11
606: 2024/06/06(木)15:24 ID:gGgvd4Pk(1) AAS
『123,456,789をそれぞれ同じ整数で
わり算すると余りが3つとも同じに
なりました
ある整数とはいくつですか？』
ある整数をt,余りをkとする
3つの整数の内、
一番小さい数がtで割り切れるとすると
省11
607: 2024/06/06(木)23:38 ID:Ryn0ZDej(1) AAS
『(n!)=n^3-nを満たす正整数nを全て求めよ』
(n!)=n^3-n
(n!)=n(n^2-1)
(n!)=(n-1)n(n+1)
((n-2)!)=n+1
省4
608: 2024/06/09(日)11:24 ID:5hlhjmUo(1/2) AAS
「探すのを止めると、それは見つかる」
という言葉があります
609: 2024/06/09(日)12:25 ID:5hlhjmUo(2/2) AAS
『a,b,cを3桁の自然数とする
a,b,cをそれぞれ同じ整数でわり算すると
余りが3つとも同じになりました、
余りは0ではありません
その整数が1個であるa,b,cの組み合わせは
何個あるか？』
a,b,cの最小値は100
省17
610: 2024/06/09(日)16:14 ID:chrDx+aV(1/3) AAS
■superPCM関数とは？
奇数の数列2n-1から
合成数を取り除くアルゴリズム
PCM(Product Combination Mod)
によって素数を1
合成数を0に振り分ける(量子化)
これはアナログをデジタルに変換する
省13
611: 2024/06/09(日)16:22 ID:chrDx+aV(2/3) AAS
◆奥義
Table[Product[(2n-1)^(C(0,3-a))
C(0,C(0,((n-a)^(2a-2)mod(2a-1)))),{a,3,50}],{n,51,500}]
{101, 103, 0, 107, 109, 0, 113, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
127, 0, 131, 0, 0, 137, 139, 0, 0, 0, 0, 149,
151, 0, 0, 157, 0, 0, 163, 0, 167, 0, 0, 173,
0, 0, 179, 181, 0, 0, 0, 0, 191, 193, 0, 197,
省32
612: 2024/06/09(日)16:32 ID:chrDx+aV(3/3) AAS
◆奥義
Table[Product[(2n-1)^(C(0,3-a))
C(0,C(0,((n-a)^(2a-2)mod(2a-1)))),{a,3,50}],{n,51,226}]
{101, 103, 0, 107, 109, 0, 113, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
127, 0, 131, 0, 0, 137, 139, 0, 0, 0, 0, 149,
151, 0, 0, 157, 0, 0, 163, 0, 167, 0, 0, 173,
0, 0, 179, 181, 0, 0, 0, 0, 191, 193, 0, 197,
省11
613: 2024/06/10(月)19:12 ID:ZTtliLdN(1) AAS
『a,b,cは実数の定数とする
f(x)=|ax^2+bx+c|
g(x)=|cx^2+bx+a|
とする
-1≦x≦1 において0≦f(x)≦1を
満たしているとき、-1≦x≦1において
g(x)=3となることはあるか』
省14
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