美しい整数の世界 (780ﾚｽ)
上下前次1-新

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613: 2024/06/10(月)19:12 ID:ZTtliLdN(1) AAS
『a,b,cは実数の定数とする
f(x)=|ax^2+bx+c|
g(x)=|cx^2+bx+a|
とする
-1≦x≦1 において0≦f(x)≦1を
満たしているとき、-1≦x≦1において
g(x)=3となることはあるか』

f(-1) = g(-1) = |a-b+c|,
f(0) = g(0) = |b|,
f(1) = g(1) = |a+b+c|.

f(0) = |c| ≠ |a| = g(0)

g(x) = |c(xx-1) + bx + (a+c)|
　　≦ |c||xx-1| + |b||x| + |a+c|,

1 ≧ f(0) = |c|,
1 ≧ {f(-1) + f(1)}/2
　= (|a-b+c| + |a+b+c|)/2
　= Max{|a+c|,|b|},
∴　|a+c| ≦ 1,　|b| ≦ 1,

∴　g(x) ＜ 3,

( |xx-1|=1 と |x|=1 は 両立しないから、
等号不成立）

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