[過去ﾛｸﾞ] スレタイ 箱入り無数目を語る部屋4 (1002ﾚｽ)
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317(1): 2022/10/30(日)15:07 ID:6rtRwLi2(21/33) AAS
>>309-310
相変わらず無駄な補足を繰り返して「非正則分布」とやらに
固執しているスレ主であるが、無駄である。
>>290-308 によって、スレ主は完全に論破された。
非正則分布の話題に関して最も重要なのは
・ ランダム時枝ゲーム(>>292)を記述する確率空間は(Ω,F,P) (>>293-294)であり、非正則分布は登場しない。
この部分である。使用される確率空間の正体が (Ω,F,P) であると判明してしまった以上、
省2
318(2): 2022/10/30(日)15:07 ID:S1FiB990(9/19) AAS
>>312
＞「数学博士」6rtRwLi2が、1を完全に「論破」したと認定します
おっちゃんか？
元気そうじゃないｗ（＾＾；
319: 2022/10/30(日)15:10 ID:S1FiB990(10/19) AAS
>>316
>まだやってたの？w
>時枝戦略に多項式環なんて何も関係ないよ
あ？
こっちが、おっちゃんか？
お元気そうで何より
おっちゃんを、召喚したら、もう大丈夫だなｗ
320: 2022/10/30(日)15:10 ID:TZXdh3Ku(11/18) AAS
>>314
>可算無限次元の線形空間から
>有限次元のベクトルを100個抽出して
>次元の大小を利用した確率計算で、確率99/100だという
>でも、”無作為抽出”でないよね、それって
>それは、まっとうな確率計算とは言えないよ！ｗ
何の話？
省1
321: 2022/10/30(日)15:11 ID:6rtRwLi2(22/33) AAS
>>314
＞でも、”無作為抽出”でないよね、それって
＞それは、まっとうな確率計算とは言えないよ！ｗ
これも>>290-308で論破済み。具体的には>>297である。
任意の s∈[0,1]^N に対して、A の s における断面 A_s は確率空間 (I, G, η) において可測であり、
特に確率 η(A_s) が定義できて、η(A_s) ≧ 99/100 が成り立つ。つまり、
(☆) ∀s∈[0,1]^N s.t. η(A_s) ≧ 99/100
省3
322: 2022/10/30(日)15:14 ID:0+5eyUkB(3/12) AAS
>>309と>>310が全然つながってない
オチコボレの試験答案あるある
＞「可算無限次元の線形空間の多項式環の(有限)次元を、
＞ 無作為抽出で使う確率論が無茶だ」
多項式環が可算無限次元だというだけで
無作為抽出すれば必ず無限次元多項式が選べる
とかいうほうが多項式の定義も分からん🐎🦌だろｗ
省1
323: 2022/10/30(日)15:18 ID:0+5eyUkB(4/12) AAS
なお、「数学博士」＝数学で博士号を取得、を意味するものではありません
（数学で博士号を取得してる可能性は否定しないが）
324(1): 2022/10/30(日)15:19 ID:i/oNgV02(2/2) AAS
>>318
時枝記事に抽象代数を持ち込むというミスをする
救いようのないスレ主の相手するのが面倒臭いから暫くムシしていたけど
おっちゃんはね、>>316だよ
325: 2022/10/30(日)15:24 ID:0+5eyUkB(5/12) AAS
>>318
そして、>>312はMara Papiyas･･･(ウソ)
326: 2022/10/30(日)15:30 ID:0+5eyUkB(6/12) AAS
>>310
＞「可算無限次元の線形空間から、無作為に有限次元のベクトルを抽出しました」
全然問題ないけど
大学で線形代数教えてる先生に聞いてごらん
０でない項が有限個の実数無限列は、可算無限次元実線型空間で
そこから任意の元を選べば、必ず０でない最大番号の項が存在する
何の矛盾もない と明解に答えてくれるよ
省2
327(4): 2022/10/30(日)15:36 ID:S1FiB990(11/19) AAS
>>317
>この部分である。使用される確率空間の正体が (Ω,F,P) であると判明してしまった以上
ガハハｗ
現代数学の確率論の正当な扱いは下記だよ
１）時枝記事>>1の箱に、サイコロの目を入れる
加算無限個でも、現代数学の確率論で扱えて何の問題もない！
２）iid（独立同分布）とする
省30
328: 2022/10/30(日)15:39 ID:S1FiB990(12/19) AAS
>>324
>おっちゃんはね、>>316だよ
おっちゃん！
お元気そうで何より
レスありがとうございます！
329(6): 2022/10/30(日)15:45 ID:jCkrQEBd(1/3) AAS
ここに時枝記事を紹介したのは俺なんだが、当時メンター氏と勝手に呼んでいた数学板の至宝が現役で活躍していることに驚いた。そしてスレ主が不屈の魂で非数学の論陣を張って粘り続けていることにも驚いた
理屈の通らない主張の後にながーい引用文を貼り付けて自身の屁理屈を誤魔化そうとするスレ主の常套手段も健在。懐かしいねえ
どんなに攻撃されても降参だけはしない大日本帝国陸海軍みたいな男をどうやっつければいいのか。もう随分前からメンター氏は原爆を投下しているんだがスレ主は相変わらずピンピンしてるね(笑)
330: 2022/10/30(日)15:52 ID:TZXdh3Ku(12/18) AAS
>おっちゃんはね、>>316だよ
おっちゃんが珍しく100％正しいこと言ってるｗ
331: 2022/10/30(日)15:55 ID:TZXdh3Ku(13/18) AAS
>>327
>２）iid（独立同分布）とする
何の話？
時枝戦略を否定したいなら時枝戦略を語って下さい。関係無い話を語ってもナンセンス。
332(1): 2022/10/30(日)15:57 ID:0+5eyUkB(7/12) AAS
>>329
＞ここに時枝記事を紹介したのは俺なんだが、
へぇ
＞当時メンター氏と勝手に呼んでいた数学板の至宝が
＞現役で活躍していることに驚いた。
それが「数学博士」6rtRwLi2 かい？
＞そしてスレ主が不屈の魂で非数学の論陣を張って
省4
333(1): 2022/10/30(日)16:00 ID:TZXdh3Ku(14/18) AAS
>>329
× スレ主が不屈の魂で非数学の論陣を張って粘り続けている
〇 スレ主が間違いを認めたくなくて駄々をこね続けている
334: 2022/10/30(日)16:00 ID:0+5eyUkB(8/12) AAS
>>329
＞理屈の通らない主張の後に
＞ながーい引用文を貼り付けて
＞自身の屁理屈を誤魔化そうとする
＞スレ主の常套手段も健在。
大学数学でオチコボレる奴は、大体論理が分かってない
直感でのみ理解しようとするからザセツする
省4
335: 2022/10/30(日)16:01 ID:6rtRwLi2(23/33) AAS
>>327
スレ主、>>294を全く読めていない。
ランダム時枝ゲームにおける出題者と回答者の行動は、次の2つが全てである。
・ 出題者はランダムに s∈[0,1]^N を選ぶ。
・ 回答者はランダムに i∈I (＝{1,2,…,100}) を選ぶ。
そして、(s,i) の組が決まれば、回答者の勝ち負けは((s,i)ごとに)一意的に決まる。
従って、(s,i) の組でランダム時枝ゲームが記述できる。
省2
336: 2022/10/30(日)16:02 ID:TZXdh3Ku(15/18) AAS
>>332
>仮に工学部卒の工学博士だとしても
工学部卒の工学博士は妄想連発で駄々をこねないｗ
337: 2022/10/30(日)16:04 ID:TZXdh3Ku(16/18) AAS
>>329
>もう随分前からメンター氏は原爆を投下しているんだがスレ主は相変わらずピンピンしてるね(笑)
そりゃそうだよ
だって都合の悪いことへは「言葉の通じないサル」に成りきってるからねｗ
338: 2022/10/30(日)16:05 ID:6rtRwLi2(24/33) AAS
>>327
＞ここでは、非正則分布使いません！ｗ
＞使っているのは、時枝氏のデタラ"目" 確率99/100を導く理論のところですよ
これも>>290-308で論破済み。具体的には>>297である。
任意の s∈[0,1]^N に対して、A の s における断面 A_s は確率空間 (I, G, η) において可測であり、
特に確率 η(A_s) が定義できて、η(A_s) ≧ 99/100 が成り立つ。つまり、
(☆) ∀s∈[0,1]^N s.t. η(A_s) ≧ 99/100
省3
339(1): 2022/10/30(日)16:06 ID:0+5eyUkB(9/12) AAS
AA省
340(1): 2022/10/30(日)16:06 ID:TZXdh3Ku(17/18) AAS
どんな言葉をもってしても言葉の通じないサルには何のダメージも与えられないｗ
341(1): 2022/10/30(日)16:09 ID:TZXdh3Ku(18/18) AAS
>>339
うむ
「多項式環に非多項式が属す」
と信じ切ってるキチガイにつける薬無しだね
342: 2022/10/30(日)16:10 ID:0+5eyUkB(10/12) AAS
>>329
＞どんなに攻撃されても降参だけはしない大日本帝国陸海軍みたいな男
大日本帝国陸海軍は、天皇が「もう降伏しよう」といったら
あっさり従ったけどね
＞もう随分前からメンター氏は原爆を投下しているんだが
多分難しすぎて、オチコボレには理解できない
だって、大学１年生でもわかる間違い
省3
343: 2022/10/30(日)16:13 ID:6rtRwLi2(25/33) AAS
>>327
＞ここでは、非正則分布使いません！ｗ
＞使っているのは、時枝氏のデタラ"目" 確率99/100を導く理論のところですよ
スレ主の「非正則分布」が意味を成さないことは、
・ lim[m→∞] P^*(d≦m) ＝ 1 (>>305)
を見れば一目瞭然である。もし非正則分布だったら、スレ主が今まで何度も主張してきたように
"lim[m→∞] (d≦m が成り立つ確率) ＝ 0"
省7
344: 2022/10/30(日)16:14 ID:0+5eyUkB(11/12) AAS
AA省
345: 2022/10/30(日)16:27 ID:0+5eyUkB(12/12) AAS
もし、1が
「オレの箱の並べ方では、必ず最後の箱が存在し、
そして決定番号が最後の箱の位置になる確率が１だから
箱入り無数目は、必ず失敗する」
とほざいたら、こう言い返すだけである
「それは、キサマの並べ方が悪いだけｗ」
346(2): 2022/10/30(日)19:42 ID:S1FiB990(13/19) AAS
>>329
>ここに時枝記事を紹介したのは俺なんだが
？ id変えて投稿している？ｗ （いまどき、ＰＣとスマホと二つ使えば、idは一人で二つ可能だよねｗ）
いま必死で、時枝記事を擁護している落ちこぼれ氏が、２～３人いる
そのうちの一人は、時枝記事の紹介からずーと、粘着している（多分この人が時枝記事を紹介したと見ている）
もう一人は、数学科落ちこぼれ氏
あと一人は、たまに時枝記事の擁護を書く
省14
347: 2022/10/30(日)20:14 ID:6rtRwLi2(26/33) AAS
>>346
具体的に反論できず手詰まりになった人間は、こういうレスを書く。
誰が落ちこぼれだとか、あれはメンター？では無いとか、
そういった人格攻撃に興味を示し、どうでもいいレスを書く。
数学の反論が出来なくなった
だから、論点ずらしで、
数学以外で悪口雑言
省1
348(1): 2022/10/30(日)20:18 ID:jCkrQEBd(2/3) AAS
>>346
>いたら、メンター氏は、時枝不成立に一票だろうな
それもスレ主の十八番だったねえ
議論に参加できない権威の過去の発言を無理やり現在の自分側に引きつけて攻勢をアピールするテクニック
メンター氏はまさにお前が今対峙している相手なんだけどねえ
なにはともあれ数学板を数学板たらしめることに貢献しているメンター氏が今も健在だったことが俺は嬉しいよ。こういう人がいるかぎり5chも捨てたもんじゃないってことだ
349(3): 2022/10/30(日)20:25 ID:S1FiB990(14/19) AAS
>>309 補足
１）(対応関係)
数論系
有限小数環FD⊂有理数環Q⊂実数環R(or 複素数環C)
↓↑
関数解析系
多項式環F[x]⊂有理式環RF[x]⊂形式的冪級数環F{[x]}
省27
350(2): 2022/10/30(日)20:29 ID:S1FiB990(15/19) AAS
>>348
>メンター氏はまさにお前が今対峙している相手なんだけどねえ
違うよ
メンター氏は、こんなにレベルが低い人ではないよ
もし、彼が例のメンター氏なら、自らそう名乗ったらどうだ？
”当時、メンターと呼ばれた居た者だが”ってねｗ
でも、そうじゃないよねｗｗｗ
351: 2022/10/30(日)20:29 ID:6rtRwLi2(27/33) AAS
>>349
ベキ級数環やヒルベルト空間について いくら補足を繰り返しても無駄。
時枝記事の確率計算の正しさは>>297で示してある。
任意の s∈[0,1]^N に対して、A の s における断面 A_s は確率空間 (I, G, η) において可測であり、
特に確率 η(A_s) が定義できて、η(A_s) ≧ 99/100 が成り立つ。つまり、
(☆) ∀s∈[0,1]^N s.t. η(A_s) ≧ 99/100
が成り立つ。もともとの時枝記事で示しているのは、この(☆)である。
省2
352: 2022/10/30(日)20:31 ID:6rtRwLi2(28/33) AAS
>>350
このように、スレ主は>>290-308をスルーし、そのかわりに
誰が落ちこぼれだとか、あれはメンター？では無いとか、
そういった人格攻撃に興味を示し、どうでもいいレスを書く。
数学の反論が出来なくなった
だから、論点ずらしで、
数学以外で悪口雑言
省1
353(1): 2022/10/30(日)21:09 ID:+7Y5Sq/D(1) AAS
>>308
外測度は大きめに見積もった測度みたいなもんだから99/100以上だからって0じゃないとは言えないんじゃない？
内測度はどうなるの？
354: 2022/10/30(日)21:18 ID:jCkrQEBd(3/3) AAS
>>350
>メンター氏は、こんなにレベルが低い人ではないよ
言ってるそばから何とやら(笑)
議論に参加できない権威を無理やり現在の自分側に引きつけて攻勢をアピールするテクニック
お邪魔したね。メンター氏(仮称)がスレ主の数学的反論を待ってるようだ。しっかりやれよ(笑)
355(1): 2022/10/30(日)21:49 ID:6rtRwLi2(29/33) AAS
>>353
＞外測度は大きめに見積もった測度みたいなもんだから99/100以上だからって0じゃないとは言えないんじゃない？
「0」かどうかを焦点にしたときには、外測度を持ち出すまでもなく、「事象 A の確率はゼロ」は成り立たない。
なぜなら、A は非可測なので、P(A) は定義できないからだ。特に、P(A) ＝ 0 は成り立たない。
その上で、外測度については具体的に P^*(A) ≧ 99/100 が成り立っているという構図。
内測度に関してはどうかと言うと、実は自分にも分からない。内測度を P_* と書くときに、
(☆) ∀s∈[0,1]^N s.t. η(A_s) ≧ 99/100
省5
356(2): 2022/10/30(日)23:12 ID:S1FiB990(16/19) AAS
>>355
笑える
>なぜなら、A は非可測なので、P(A) は定義できないからだ。特に、P(A) ＝ 0 は成り立たない。
なにそれ？
「少女Ａ」？ 外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
非可測の証明はどこ？ｗｗｗ
357: 2022/10/30(日)23:21 ID:6rtRwLi2(30/33) AAS
>>356
「ランダム時枝ゲームで回答者が勝利する」という事象を A と置いている(>>296)。
任意の B∈F に対して P^*(B)＝P(B) が成り立つので、もし A が可測なら
P(A)＝P^*(A) ≧ 99/100
となる。つまり、P(A)≧99/100 となる。この場合、正式に
「ランダム時枝ゲームでの回答者の勝率は 99/100 以上である」
省5
358(2): 2022/10/30(日)23:31 ID:6rtRwLi2(31/33) AAS
では、A が非可測であることはどうやって証明するのかというと、実はよく覚えてない。
昔証明した記憶はあるのだが、そのときのメモは残っていない。
ただし、スレ主としては非可測であった方が望ましいはずなので、
自身がそのように望んでいることを故意に「本当に成り立つのか？証明は？」
などと聞いてくること自体がナンセンス。
どうしても証明がほしいなら、まあそのうち再証明してこのスレに書く。
というわけで、現時点では、スレ主が A のことを可測だと思いたいなら、それはそれで構わん。
省1
359(1): 2022/10/30(日)23:43 ID:S1FiB990(17/19) AAS
>>356 補足
下記 ヴィタリ集合V は、測度として 0、有限（99/100を含むｗ）、∞のいかなる値も取れない（定義できない）
（なお、ヴィタリ集合 V ⊂[0, 1]だよ？ Vの外測度 1と言いたいのかな？
でも、証明読めば分かるけど、[0, 1]→[0, m] mは任意の正の整数 とできるよ？ そのときVの外測度はm(任意)だよ ）
（1→mにするのは、非可測証明の目的にはそぐわないけどね）
(参考)
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
省10
360(1): 2022/10/30(日)23:47 ID:S1FiB990(18/19) AAS
>>358
＞ただし、スレ主としては非可測であった方が望ましいはずなので、
おれは、そんなことは望んでいないよ
非可測なら非可測
可測なら可測
それで良いよ
361: 2022/10/30(日)23:54 ID:6rtRwLi2(32/33) AAS
>>359
今回使われている外測度 P^* は、P から生成した外測度である。
Pは確率測度であり、よって 0≦P(B)≦1 (∀B∈F) を満たすので、外測度 P^* の方も
0≦P^*(B)≦1 (∀B∈pow(Ω))
を満たす。よって、「ランダム時枝ゲームで回答者が勝利する」という事象を A と置いたときに、
P^*(A) が 1 を超えることはあり得ない。すなわち、自動的に 0≦P^*(A)≦1 が成り立つ。
実際には P^*(A)≧99/100 であるから、要するに
省4
362: 2022/10/30(日)23:55 ID:S1FiB990(19/19) AAS
>>349 文字化け訂正と補足
まず文字化け訂正
1/(1 ? x)^k=∑n=0～∞ (k + n ? 1)!/{(k ? 1)! n!} x^n
↓
1/(1 - x)^k=∑n=0～∞ (k + n - 1)!/{(k - 1)! n!} x^n
補足
1/(1 - x)^k で k=1 つまり 1/(1 - x)のしっぽは循環節を持つ（割り切れない有理数の無限小数展開と同じ）
省2
363(1): 2022/10/30(日)23:58 ID:6rtRwLi2(33/33) AAS
>>360
＞非可測なら非可測
＞可測なら可測
だったら、現状では以下のように主張しよう。
・「ランダム時枝ゲームで回答者が勝利する」という事象を A と置く。
・ すると、P^*(A)≧ 99/100 が成り立つ(>>303-304)。
・ よって、もし A が可測なら、P(A)＝P^*(A)≧99/100 となり、つまり
省4
364(4): 2022/10/31(月)07:53 ID:vpuiD3x9(1/8) AAS
>>363
なんか、論理の基本が破綻しているんじゃない？
１）命題P→Qで、仮定(前提)Pが偽なら、P→Qは真
２）現代数学のコルモゴロフの確率論に乗せるためのいくつかの前提がある
その前提を満たしていないにも拘わらず
コルモゴロフの確率論を適用する
そうすると、命題P→Qは真でも、現実とは異なるよ
省12
365: 2022/10/31(月)08:46 ID:MAUNEmLI(1/2) AAS
>>358
＞A が非可測であることはどうやって証明するのかというと、実はよく覚えてない。
「決定番号がｎの列全体の集合」が非可測であることを使ってるんじゃね？
「」内が非可測なのは
・決定番号は必ず自然数（したがって列全体の測度は「」の可算和）
・「決定番号が１の列全体の集合」の測度が最小
の２点から導ける筈
省3
366: 2022/10/31(月)08:51 ID:MAUNEmLI(2/2) AAS
>>364
＞論の中で、命題P→Qの仮定節Pを全て検証してくれ
逆に、Pのどれが偽か、君が示してくれ
話はそれからだ
いっとくけど、
「決定番号が自然数になる確率が０」
とか馬鹿丸出しな主張はNGな
省5
367: 2022/10/31(月)09:23 ID:NkNyx+A/(1/7) AAS
>>364
>５）なお、コルモゴロフの確率論に乗らない事象が、大きく二つある
> a)非可測集合を扱うとき
時枝戦略の確率空間には非可測集合は現れないので問題無し
> b)全事象が無限に発散する非正則分布になるとき
時枝戦略では非正則分布は使っていないので問題無し
時枝戦略に反論したいなら時枝戦略を語って下さい。関係無いことを語っても反論になりません。
368(1): 2022/10/31(月)09:59 ID:XtDarWil(1/2) AAS
時枝戦略で解ける問題ってすごくトリビアルだな
箱の中の実数達が固定で繰り返して実行したら99/100以上当たる
時枝戦略の代わりに記憶戦略でも解けるじゃないか
箱を一つ開ける
実数を記憶する
次の回以降はその箱の中の実数を箱を開けずに答える
369(1): 2022/10/31(月)10:30 ID:NkNyx+A/(2/7) AAS
>>368
1回でも確率99/100以上だよ
統計的確率と数学的確率の違いを学びましょう
370: 2022/10/31(月)11:54 ID:XtDarWil(2/2) AAS
>>369
でも1回目って箱入り無数目とランダム時枝ゲームとやってること同じじゃない？固定されてるかどうかで変わるの2回目からでしょ？
371(3): 2022/10/31(月)14:24 ID:V6kL7bYX(1/47) AAS
>>364
＞３）例えば、宝くじが当たったら、家が建つ
＞ 論理としては正しい。しかし、現実は、宝くじは外れ
＞ 家は建たない
ナンセンス。
・ 宝くじが当たったら Q が成り立つ
・ 宝くじが外れたら Q が成り立つ
省4
372(3): 2022/10/31(月)14:25 ID:V6kL7bYX(2/47) AAS
>>364
＞２）現代数学のコルモゴロフの確率論に乗せるためのいくつかの前提がある
＞その前提を満たしていないにも拘わらず
＞コルモゴロフの確率論を適用する
これもナンセンス。ランダム時枝ゲームで使われる確率空間は(Ω,F,P) (>>293)であり、
この確率空間はごく普通の確率空間である。そして、P から生成される外測度を
P^* と書くとき、任意の集合 B⊂Ω に対して無条件で P^*(B) が定義できて、
省10
373: 2022/10/31(月)14:32 ID:V6kL7bYX(3/47) AAS
・・・などと書いてみたが、A が非可測であることを直接的に証明した方が早いので、以下で証明する。
基本的には、A の断面を考えていくだけである。
もし A が可測なら、ほとんど至るところの A の断面は可測になるが、
「可測でなければならない断面」
の中に非可測な断面が混じっていることが示せるので、
以上により、A は非可測である、という方針になる。
374: 2022/10/31(月)14:37 ID:V6kL7bYX(4/47) AAS
ちなみに、以下の証明は分量としては長い。正確な記述が大変なだけで、
「当たり前の性質」を積み重ねているだけなのだが、分量としては長い。
おそらく、スレ主はマジメに読まない。
別に読まなくても構わんが、その場合はスレ主は>>371-372を受け入れなければならない。
ただし、その時点でスレ主の詰みが確定する。
よって、スレ主が>371-372を受け入れない場合、スレ主は下記の(長い)証明を読まなければならない。
証明も読まず、>371-372も受け入れないという態度を取った場合、
省2
375(3): 2022/10/31(月)14:40 ID:V6kL7bYX(5/47) AAS
一般に、測度空間 (X,F,m)が与えられたとき、その完備化を (X,F_w,m_w) と書くことにする。
補題：(X_i,F_i,m_i) (i＝1,2)は有限測度空間で、(X,F,m)はその積空間とする。よって、
X＝X_1×X_2, F ＝ ( {A_1×A_2｜A_i∈F_i} から生成される最小のσ集合体 ), m＝(m_1とm_2の積測度)
である。このとき、次が成り立つ。
(1) A∈F を任意に取るとき、任意の x_1∈X_1 に対して、A の x_1 での断面 A_{x_1} は
A_{x_1}∈F_2 を満たす。すなわち、A が可測なら、任意の x_1∈X_1 に対して断面 A_{x_1} は可測である。
省7
376(2): 2022/10/31(月)14:42 ID:V6kL7bYX(6/47) AAS
「s∈[0,1]^N を標準的な方法で100列に分解する」という操作を、以下で厳密に定義する。
s∈[0,1]^N の添え字は 0 から始めることにする。よって、s＝(s_0,s_1,s_2,…) と書ける。
n個の確率空間 ([0,1]^N,F_N,μ_N) の積空間を (Y_n, E_n, α_n) と書くことにする。
ここでは n＝100 を使うので、簡単のため、(Y,E,α)＝(Y_100,E_100,α_100)と置く。
y∈Y に対して、y の第 i 成分 (0≦i≦99) を y^{i} (∈[0,1]^N) と書くことにする。
よって、y＝(y^{0},y^{1},…,y^{99}) と表せる。
377: 2022/10/31(月)14:45 ID:V6kL7bYX(7/47) AAS
写像 f：Y → [0,1]^N を、y＝(y^{0},y^{1},…,y^{99}) に対して
f(y)：＝s, s_{100k＋i}：＝y^{i}_k (k≧0, 0≦i≦99)
で定義する。f は可測空間 (Y,E) から可測空間 ([0,1]^N,F_N) への可測写像であることが確かめられる。
さらに、任意の A∈F_N に対して、α(f^{-1}(A))＝μ_N(A) が成り立つことが分かる。
すなわち、f^{-1} は測度を保存する。特に、(Y,E,α) の完備化 (Y,E_w,α_w) と、
([0,1]^N,F_N,μ_N) の完備化 ([0,1]^N,F_{Nw},μ_{Nw}) について、
fは可測空間 (Y, E_w) から可測空間 ([0,1]^N, F_{Nw}) への可測写像であることが確かめられる。
省6
378: 2022/10/31(月)14:47 ID:V6kL7bYX(8/47) AAS
さて、s∈[0,1]^N を標準的な方法で100列に分解して、i列目を s^{i}∈[0,1]^N (0≦i≦99)と置いたとき、
s^{i}_k：＝s_{100k＋i} (k≧0)
と定義されるのだった。これは s^{i}＝g(s)^{i} (0≦i≦99) を意味する。
よって、s を100列に分解したときの i 列目は「 g(s)^{i} である」と表現できる。
379: 2022/10/31(月)14:47 ID:V6kL7bYX(9/47) AAS
「ランダム時枝ゲームで回答者が勝利する」という事象を A と置くとき、
A ＝ {(s,i)∈Ω｜d(s^{i})≦max{d(s^{j})｜0≦j≦99, j≠i} }
と表せるわけだが、s^{i}＝g(s)^{i} により、
A ＝ {(s,i)∈Ω｜d(g(s)^{i})≦max{d(g(s)^{j})｜0≦j≦99, j≠i} }
ということになる。さて、我々は A が非可測であることを証明したいのだった。
380(1): 2022/10/31(月)14:49 ID:V6kL7bYX(10/47) AAS
A は可測だと仮定する。すなわち、A∈F だと仮定する。
(Ω,F,P) は2つの確率空間 ([0,1]^N, F_N, μ_N) と (I, G, η) の積空間を
完備化したものである(>>293)から、>>375の補題により、
・ η.a.e.i∈I s.t. A の i における断面 A_i は A_i∈F_{Nw} を満たす
ということになる。よって、あるゼロ集合 M∈G が存在して、
・ ∀i∈I−M s.t. A の i における断面 A_i は A_i∈F_{Nw} を満たす
省4
381: 2022/10/31(月)14:55 ID:V6kL7bYX(11/47) AAS
ここでは、i＝99∈I を採用する。よって、A の 99∈I における断面 A_99 は A_99∈F_{Nw} を満たす。
f は可測空間 (Y, E_w) から可測空間 ([0,1]^N, F_{Nw}) への可測写像だったから、
f^{-1}(A_99)∈E_w が成り立つ。
A_99 ＝ { s∈[0,1]^N｜(s,99)∈A } ＝ { s∈[0,1]^N｜d(g(s)^{99})≦max{d(g(s)^{j})｜0≦j≦98} }
であるから、
f^{-1}(A_99) ＝ { (y^{0},y^{1},…,y^{99})∈Y｜d(y^{99})≦max{d(y^{j})｜0≦j≦98} }
である。よって、これが E_w の元ということになる。以下では、
省2
382(3): 2022/10/31(月)14:58 ID:V6kL7bYX(12/47) AAS
確率空間 ([0,1]^N,F_N,μ_N) を n 個用意して積を取った空間が (Y_n,E_n,α_n) なのだったが、
積空間の基本的性質により、(Y_{n−1},E_{n−1},α_{n−1}) と ([0,1]^N,F_N,μ_N) の積空間は
(Y_n,E_n,α_n) になる。(Y,E,α)＝(Y_100,E_100,α_100) だったから、
(Y_99,E_99,α_99) と ([0,1]^N,F_N,μ_N) の積空間が (Y,E,α) ということになる。
B∈E_w だったから、>>375の補題により、α_99.a.e.z＝(z^{0},z^{1},…,z^{98})∈Y_99 に対して、
B の z での断面 B_z は B_z∈F_{Nw} を満たす。すなわち、あるゼロ集合 M∈E_99 が存在して、
任意の z∈Y_99−M に対して、B の z での断面 B_z は B_z∈F_{Nw} を満たす。
省8
383: 2022/10/31(月)15:09 ID:V6kL7bYX(13/47) AAS
補足。>>376では
＞ n個の確率空間 ([0,1]^N,F_N,μ_N) の積空間を (Y_n, E_n, α_n) と書くことにする。
という、若干 意味が取りづらい表現をしてしまったが、>>382で書いているように、
・ 確率空間 ([0,1]^N,F_N,μ_N) を n 個用意して積を取った空間を (Y_n,E_n,α_n) と書く
という意味のつもりである。たとえば、Y_n を明示的に書くと
省2
384(3): 2022/10/31(月)15:09 ID:Rh3Q9O/g(1) AAS
>>382
>d：[0,1]^N → N は決定番号の写像であり、(d≦k) は非可測なので矛盾する。
え、その証明はしないの？
385(2): 2022/10/31(月)16:13 ID:V6kL7bYX(14/47) AAS
>>384
そこはさすがに前提知識(それほど簡単に示せるわけでもないが)。
まあ、スレ主が要求してきたら書く。
スレ主自身が (d≦k) の非可測性について合意していたら、書く必要がない。
386(2): 2022/10/31(月)20:54 ID:vpuiD3x9(2/8) AAS
>>384-385
>>d：[0,1]^N → N は決定番号の写像であり、(d≦k) は非可測なので矛盾する。
> え、その証明はしないの？
>まあ、スレ主が要求してきたら書く。
>スレ主自身が (d≦k) の非可測性について合意していたら、書く必要がない。
１）ID:Rh3Q9O/g氏が、要求しているんだから、証明を示せよ
よって、私スレ主は証明を要求する！ｗ
省8
387(5): 2022/10/31(月)21:54 ID:pHXtLONI(1) AAS
>>261
>>278にレスがないので、
あなたには 外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.ma.huji.ac.il Theorem 1 の証明の中の間違っている文を挙げることができない
ということでよろしいか？
388(1): 2022/10/31(月)22:11 ID:V6kL7bYX(15/47) AAS
>>386
＞３）正直、
＞ ”d：[0,1]^N → N は決定番号の写像であり、(d≦k) は非可測なので”
＞ に使われている記号を、追っていないから、この文の意味が取れない
d：[0,1]^N → N は前スレでも散々定義した決定番号の写像。
2chｽﾚ:math
また、(d≦k)は
省2
389(1): 2022/10/31(月)22:17 ID:V6kL7bYX(16/47) AAS
＞２）まあ、あんまし読む気は無いが、証明よろしくね
＞ ID:Rh3Q9O/g氏が、証明を突いてくれることを期待している
これも釘を刺しておくが、(d≦k)の非可測性に関する証明は、予想したより遥かに分量が大きくなった。
おそらく、スレ主は読まない。
別に読まなくても構わんが、その場合はスレ主は>>371-372を受け入れなければならない。
ただし、その時点でスレ主の詰みが確定する。
よって、スレ主が>371-372を受け入れない場合、スレ主は下記の(長い)証明を読まなければならない。
省5
390: 2022/10/31(月)22:20 ID:V6kL7bYX(17/47) AAS
では、(d≦k) が非可測であることを証明する。・・・のだが、今までは「箱の中身がサイコロ」のような
離散的な場合しかやったことがなかったので、想定外の事態が起きた。
箱の中身がサイコロの場合、任意の k≧0 に対して (d≦k) は非可測であることが示せるのだが、
「箱の中身が0以上1以下の実数」という今回のケースでは、
(☆)「有限個の k を除いて (d≦k) は非可測」
までしか言えなかった。しかも、完全代表系 T の取り方によっては、
残りの有限個の k で (d≦k) がゼロ集合(よって可測集合)になる場合が
省4
391: 2022/10/31(月)22:25 ID:V6kL7bYX(18/47) AAS
まずは、(有限)測度から生成される内測度について触れておく。
定義：(X,F,ν)は有限測度空間とする。A⊂X に対して、
ν_*(A)：＝ sup{ ν(B)｜A⊃B∈F }
として ν_*：pow(X) → [0,＋∞) を定義する。この ν_* のことを、νから生成される内測度と呼ぶ。
A∈F のときは、ν_*(A)＝ν(A) が成り立つことに注意せよ。
また、任意の A⊂X に対して 0≦ν_*(A)≦ν(X) (＜＋∞) が成り立つことに注意せよ。
ちなみに、このν_* は、「内測度」と名付けられているだけあって、
省5
392(4): 2022/10/31(月)22:32 ID:V6kL7bYX(19/47) AAS
以下の定理は、証明は全て省略する。
定理：(X,F,ν)は有限測度空間とする。νから生成される外測度 ν^* と内測度 ν_*について、
ν_*(X−A)＝ν(X)−ν^*(A) (∀A⊂X) が成り立つ。
定理：(X,F,ν)は有限測度空間とする。その完備化を(X,F_w,ν_w)と置く。
このとき、A⊂X に対して、A∈F_w が成り立つことと ν^*(A)＝ν_*(A) が成り立つことは同値である。
定理：(X,F,ν)は有限測度空間とする。その完備化を(X,F_w,ν_w)と置く。
よって、νから生成される外測度 ν^* と、ν_w から生成される外測度 ν_w^* の2種類を得るが、
省9
393(1): 2022/10/31(月)22:34 ID:V6kL7bYX(20/47) AAS
定理：(X_i,F_i,ν_i) (i＝1,2) は有限測度空間とする。
(X,F,ν) はその積空間とする。(X,F_w,ν_w) はその完備化とする。
(1) M∈F は ν(M) ＝ 0 を満たすとする。このとき、次が成り立つ。
ν_1.a.e.x_1∈X_1, ν_2.a.e.x_2∈X_2 s.t. ¬((x_1,x_2)∈M).
(2) M∈F_w は ν_w(M) ＝ 0 を満たすとする。このとき、次が成り立つ。
ν_1.a.e.x_1∈X_1, ν_2.a.e.x_2∈X_2 s.t. ¬((x_1,x_2)∈M).
省1
394: 2022/10/31(月)22:35 ID:V6kL7bYX(21/47) AAS
さて、任意の x,y ∈ [0,1) に対して、
x [+] y ：＝ x＋y (x＋y＜1), x＋y−1 (x＋y≧1)
として二項演算 [+] を定義する。
このとき、( [0,1), [+], 0) は 0 を単位元とするアーベル群になることが分かる。
このアーベル群は、R 上での通常の足し算を「 mod 1 」で考えたものと同じ構造である。
次に、s,t ∈[0,1)^N に対して、s [+] t ∈ [0,1)^N を
(s [+] t)_i ＝ s_i [+] t_i (i≧0)
省3
395: 2022/10/31(月)22:35 ID:V6kL7bYX(22/47) AAS
任意の c ∈ A [+] B に対して、唯一のペア (a,b) が存在して c ＝ a [+] b と表せるとき、
A [+] B は直和であると呼ぶ。同じことだが、
∀a_1,a_2∈A, ∀b_1,b_2∈B s.t. a_1 [+] b_1 ＝ a_2 [+] b_2 ⇒ [ a_1＝a_2 かつ b_1＝b_2 ]
が成り立つとき、A [+] B は直和であると呼ぶ。
次に、任意の A⊂[0,1)^N と任意の s∈[0,1)^N に対して、A [+] s ：＝ { t [+] s｜t∈A } と定義する。
A [+] s ⊂ [0,1)^N が成り立つことに注意せよ。
396(2): 2022/10/31(月)22:38 ID:V6kL7bYX(23/47) AAS
次に、s＝(s_0,s_1,s_2,…)∈[0,1]^N と k≧0 に対して、s^[k]：＝(s_k,s_{k＋1},s_{k＋2},…)
と定義する(左シフト)。(s^[k])^[l] ＝ s^[k＋l] (k,l≧0)が成り立つことに注意せよ。
また、A⊂[0,1]^N と k≧0 に対して、
A^[k]：＝ { s^[k]｜s∈A }
と定義する。A,B⊂[0,1)^N と k≧0 に対して (A [+] B)^[k] ＝ A^[k] [+] B^[k] が成り立つ。
また、A,B⊂[0,1]^N と k≧0 に対して(A∩B)^[k] ＝ A^[k]∩B^[k] が成り立つ。
また、A⊂B ならば、k≧0 に対して A^[k] ⊂ B^[k] が成り立つ。
省1
397: 2022/10/31(月)22:39 ID:V6kL7bYX(24/47) AAS
次に、k≧1 として、u＝(u_0,u_1,…,u_{k-1})∈[0,1]^k と v＝(v_0,v_1,…)∈[0,1]^N に対して、
uv：＝ (u_0,u_1,…,u_{k-1},v_0,v_1,…) ∈ [0,1]^N
として uv を定義する(uとvの連結)。さらに、A⊂[0,1]^k と B⊂[0,1]^N に対して
AB：＝{uv｜u∈A, v∈B }
と定義する。以下では、A＝[0,1)^k が使われることが多い。この場合、
省3
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