[過去ﾛｸﾞ] スレタイ 箱入り無数目を語る部屋4 (1002ﾚｽ)
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377: 2022/10/31(月)14:45 ID:V6kL7bYX(7/47) AAS
写像 f：Y → [0,1]^N を、y＝(y^{0},y^{1},…,y^{99}) に対して

f(y)：＝s,　s_{100k＋i}：＝y^{i}_k (k≧0, 0≦i≦99)

で定義する。f は可測空間 (Y,E) から可測空間 ([0,1]^N,F_N) への可測写像であることが確かめられる。
さらに、任意の A∈F_N に対して、α(f^{-1}(A))＝μ_N(A) が成り立つことが分かる。
すなわち、f^{-1} は測度を保存する。特に、(Y,E,α) の完備化 (Y,E_w,α_w) と、
([0,1]^N,F_N,μ_N) の完備化 ([0,1]^N,F_{Nw},μ_{Nw}) について、
fは可測空間 (Y, E_w) から可測空間 ([0,1]^N, F_{Nw}) への可測写像であることが確かめられる。

次に、写像 g：[0,1]^N → Y を、s∈[0,1]^N に対して

g(s)：＝y,　y^{i}_k：＝s_{100k＋i} (k≧0, 0≦i≦99)

と定義する。g は可測空間 ([0,1]^N,F_N) から可測空間 (Y,E) への可測写像であることが確かめられる。
さらに、任意の A∈E に対して、μ_N(g^{-1}(A))＝α(A) が成り立つ。すなわち、
g^{-1} は測度を保存する。特に、g は可測空間 ([0,1]^N,F_{Nw}) から可測空間 (Y,E_w) への
可測写像であることが確かめられる。また、f と g は互いに逆写像の関係にあることが確かめられる。

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