[過去ﾛｸﾞ] スレタイ 箱入り無数目を語る部屋4 (1002ﾚｽ)
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391: 2022/10/31(月)22:25 ID:V6kL7bYX(18/47) AAS
まずは、(有限)測度から生成される内測度について触れておく。

定義：(X,F,ν)は有限測度空間とする。A⊂X に対して、

ν_*(A)：＝ sup{ ν(B)｜A⊃B∈F }

として ν_*：pow(X) → [0,＋∞) を定義する。この ν_* のことを、νから生成される内測度と呼ぶ。
A∈F のときは、ν_*(A)＝ν(A) が成り立つことに注意せよ。
また、任意の A⊂X に対して 0≦ν_*(A)≦ν(X) (＜＋∞) が成り立つことに注意せよ。
ちなみに、このν_* は、「内測度」と名付けられているだけあって、
実際に内測度の性質を満たす。すなわち、次が成り立つ。

・ν_*(φ)＝0.
・ A,B⊂X が互いに素ならば、ν_*(A∪B)≧ν_*(A)＋ν_*(B).
・ A_n⊂X (n≧1) が広義単調減少ならば、A＝∩[n＝1〜∞] A_n と置くとき、lim[n→∞] ν_*(A_n) ＝ ν_*(A).

これらの証明は省略する。

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