[過去ﾛｸﾞ] スレタイ 箱入り無数目を語る部屋3 (1002ﾚｽ)
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1(18): 2022/08/13(土)16:51 ID:d42KNd2H(1/5) AAS
前スレが1000近くなったので、新スレを立てる
前スレ 箱入り無数目を語る部屋2
2chｽﾚ:math
（参考）
時枝問題（数学セミナー201511月号の記事） 「箱入り無数目」抜粋
純粋・応用数学（含むガロア理論）8
2chｽﾚ:math
省18
2(3): 2022/08/13(土)16:52 ID:d42KNd2H(2/5) AAS
つづき
mathoverflowは時枝類似で
・Denis質問でも、もともと”but other people argue it's not ok, because we would need to define a measure on sequences, and moreover axiom of choice messes everything up.”
となっています。Denisの経歴を見ると、彼は欧州の研究所勤務で、other peopleは研究所の確率に詳しい人でしょう
・Pruss氏とHuynh氏とは、経歴を見ると、数学DRです。両者とも、このパズル（＝riddle）は、可測性が保証されていないと回答しています
外部ﾘﾝｸ:www.ma.huji.ac.il
Sergiu Hart
省14
27(3): 2022/08/19(金)10:47 ID:tr6Hi0YN(1) AAS
最後の箱が存在しない＝このゲーム自体が最初から成立していない
43(5): 2022/08/21(日)18:26 ID:TS9CQMcv(3/3) AAS
>>39
>時枝「勝つ戦略はあるでしょうか？」
ありません！ｗ
以下説明します
まず、旧スレ 箱入り無数目を語る部屋2 より
2chｽﾚ:math
1）箱が二つ。それぞれにサイコロを二つ振っ入れた。半か丁か
省23
51(30): 2022/08/22(月)22:46 ID:Pk6/NEyr(1) AAS
>>50
>「全ての自然数」は有限部分ではないので、確率は１
それは言えない
詳しくは、前スレの下記などご参照
つまり、全ての自然数を渡る一様分布で、自然数全体を1とすると、一つの自然数は0だが
0の可算無限個の和は0になる
つまりは、矛盾
省24
75(8): 2022/08/26(金)13:34 ID:KbUA7E4A(3/3) AAS
>>71
ついでにいうと、「箱入り無数目」の確率計算は
箱の中身が定数だから正当化できるのであって
箱の中身が確率変数だったらPrussが指摘するように正当化はできない
78(3): 2022/08/27(土)08:31 ID:zyqPAIcH(2/7) AAS
>>75>>77 補足
>箱の中身が定数だから正当化できるのであって
>箱の中身が確率変数だったらPrussが指摘するように正当化はできない
ここ、下記のポーカーゲームが分かり易いね
（ポーカーゲームは、下記ね）
自分と相手の手札が決まって、掛け金を上げるかどうか？
自分は、自分には分かる。相手のは分からない。だから、相手の手札の強さが確率変数になる
省20
91(6): 2022/08/27(土)18:52 ID:zyqPAIcH(6/7) AAS
>>88
>回答者のつもりでしたが、確かに回答者の存在を消しても
>「箱を開けなくても中身が代表系と一致する確率が99/100の箱が存在する」
>という形のステートメントは成立しますね。
>これは選択公理だけで成立しますね。
選択公理だけで成立しません
1）現代数学の一般論として、確率計算を成立させるためには、コルモゴロフの確率公理を必要とする 外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org コルモゴロフの公理
省13
100(5): 2022/08/28(日)19:29 ID:OsrzBHhA(3/11) AAS
>>99
いいよ
じゃあ63兆桁以降を1桁ずつ全桁入れた箱を用意してくれ よろしく
「箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる.
どんな実数を入れるかはまったく自由，例えばn番目の箱にe^nを入れてもよいし，すべての箱にnを入れてもよい.
もちろんでたらめだって構わない.そして箱をみな閉じる.
今度はあなたの番である.（以下略）」
101(4): 2022/08/28(日)20:04 ID:fX71s95Q(2/6) AAS
>>100
ほいよ
入れたよ
ライプニッツの公式通り
1-1/3+1/5-1/7+・・・＝π/4だ
から
4(1-1/3+1/5-1/7+・・・)＝πだね
省9
115(3): 2022/08/29(月)07:16 ID:gRc124MO(1) AAS
>>111 追加
時枝記事のトリック ２
１）いま、p進小数展開の各桁を箱に入れたとしよう
２）まず、有限ｍ桁を考える
小数1位からｍ位までの長さｍの数列ができる
しっぽの同値類は、最後のｍ位の箱で決まる
簡単に2列X、Yとして、同じ同値類で最後の箱は一致しているので、決定番号D<=ｍ（ｍ以下）である
省13
123(5): 2022/08/31(水)23:42 ID:ygHP/ZsD(1) AAS
>>91 補足
>現代数学の系譜11 ガロア理論を読む20 2chｽﾚ:math
532 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/07/03(日) 23:15:17.47 ID:f9oaWn8A [11/13]
> 2個の自然数から1個を選ぶとき、それが唯一の最大元でない確率は1/2以上だ
残念だけどこれが非自明．
hに可測性が保証されないので，d_Xとd_Yの可測性が保証されない
そのためd_Xとd_Yがそもそも分布を持たない可能性すらあるのでP(d_X≧d_Y)≧1/2とはいえないだろう
省23
126(4): 2022/09/01(木)20:26 ID:WU14z2o9(1/2) AAS
>>123 補足
関連部分を下記に再録する >>91より
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む20
2chｽﾚ:math
519 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/07/03(日) 22:27:11.14 ID:f9oaWn8A [4/13]
>>518
X=(X_1,X_2,…)をR値の独立な確率変数とする．
省17
129(3): 2022/09/02(金)07:40 ID:K8gWPGVv(1/3) AAS
>>126 補足
>P(f(X)=X_{g(X)})=99/100
>ということだが，それの証明ってあるかな？
> 100個中99個だから99/100としか言ってるようにしか見えないけど．
”それの証明ってあるかな？”の意図は
多分、キチンと測度論に基づいた検証がなされているか？
ってことだと思う
省10
132(6): 2022/09/02(金)10:44 ID:ioFjspoh(1/2) AAS
>>129 追加
ほいよ
（参考）>>1より
時枝問題（数学セミナー201511月号の記事） 「箱入り無数目」抜粋
純粋・応用数学（含むガロア理論）8
2chｽﾚ:math
問題に戻り，閉じた箱を100列に並べる.
省12
142(4): 2022/09/02(金)23:43 ID:K8gWPGVv(2/3) AAS
>>132 補足
ここ、下記のDR Tony Huynh のAnswer 2が参考になるな（私訳をつけた）
外部ﾘﾝｸ:mathoverflow.net
Probabilities in a riddle involving axiom of choice
asked Dec 9 '13 at 16:16 Denis
Answer 2 （answered Dec 9, 2013 Tony Huynh PhD in the Department of Combinatorics & Optimization at the University of Waterloo.）
I also like this version of the riddle.
省16
152(3): 2022/09/04(日)11:22 ID:i1/5wH5w(1) AAS
>>142 補足
外部ﾘﾝｸ:mathoverflow.net
Probabilities in a riddle involving axiom of choice
asked Dec 9 '13 at 16:16 Denis
質問者 Denis computer scienceの人
外部ﾘﾝｸ:mathoverflow.net
外部ﾘﾝｸ:perso.ens-lyon.fr
省23
159(5): 2022/09/05(月)21:04 ID:0Mh+VQTK(2/2) AAS
>>91 補足
> 2）自然数全体の分布は、各数字に有限の同じ存在確率μを与えると、n→∞でnμ→∞ と発散する
> つまり、自然数全体の一様分布を考えると、全体は発散し、非正則分布になり、コルモゴロフの公理に反します >>51
１）いま、0～mの自然数の一様分布を考える（つまり（0,1,2,・・,m））
この場合、中央値は m/2
２）そして、m→∞ を考えると、自然数全部を渡る （つまり（0,1,2,・・,m→∞））
この場合、中央値も m/2→∞ に発散する
省4
160(7): 2022/09/05(月)21:24 ID:iGeoTgjc(2/3) AAS
。>>159
> この状況で、決定番号が有限でおさまるはずがない
数列0,0,0,…の決定番号が有限値にならないような代表列を1例でよいのでずばり答えて下さい。
「s = (s1，s2，s3 ，・・・)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ )∈R^Nは，ある番号から先のしっぽが一致する∃n0：n >= n0 → sn＝ s'n とき同値s 〜 s'と定義しよう」
162(3): 2022/09/06(火)07:53 ID:+kdNx5e4(1/2) AAS
>>159 補足
> ４）この場合、同様に中央値も m/2→∞ に発散している
> この状況で、決定番号が有限でおさまるはずがない（幼稚な妄想はいい加減やめましょうね）
いま、101個の決定番号があり、これを d0,d1,d2,d3,・・・,d100と書く
di<=di+1 (i=0～100)（小から大へ整列している）とする
この中央値は、d50だ
あきらかに、d50は有限
省14
165(3): 2022/09/06(火)20:38 ID:+kdNx5e4(2/2) AAS
＜転載＞
ホテル「無限」ヘようこそ
2chｽﾚ:math
ROMのつもりだったけど少し燃料を投下しよう
1）無限列として、半開区間[0、10)の実数を考える （e、πがこの範囲）
（常識だが、3.14で、4は小数第2位となる）
2）簡単に10進無限小数を考えると、これが上記の無限列の例を構成する （勿論p進展開もありだが）
省23
168(6): 2022/09/07(水)14:18 ID:7YSV3p8I(1/2) AAS
>>167
>次は、別のモデルで説明する
さて
１）下記の形式的冪級数を考える。形式的冪級数環を成す（下記）
２）二つの形式的冪級数A1[[X]]とA2[[X]]の各項の係数の成す数列が、時枝のしっぽの同じ同値類に属するとする
P[x]＝A1[[X]]-A2[[X]] と書ける
つまり、同値類においてある番号dから先の係数が一致するから、
省16
169(5): 2022/09/07(水)14:19 ID:7YSV3p8I(2/2) AAS
>>168
つづき
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
多項式環
定義
体 K に係数を持つ不定元 X に関する多項式とは
P=p_mX^m+p_m-1X^m-1+・・・ +p_1X+p_0
省12
170(4): 2022/09/07(水)20:57 ID:HNz4ykyw(2/2) AAS
>>169 つづき
先に書いておくが、もちろん、この話は時枝トリックを暴くことにある
さて、形式的冪級数として、下記の指数関数 exp(x)＝e^x を考える
べき級数展開で、その係数は
1,1,1/2!,1/3!,・・1/n!,・・ となることはよく知られている
いま、多項式環(>>169)で、係数は実数Rとして、その記号を借用すれば、R[X]で実係数多項式環を表すとして
また、下記の同値類の記号[a]を借用して、指数関数をしっぽとする同値類は[e^x]と書ける
省21
180(3): 2022/09/09(金)02:31 ID:+snrMYVE(1/10) AAS
>>176
尊大なキミに質問
・多項式全体の空間の次元
・形式的ベキ級数全体の次元
をそれぞれ答えよ
（ヒント）両者の次元は異なる
189(18): 2022/09/09(金)07:30 ID:0RlEkGtl(1/3) AAS
>>175 つづき
多項式環 F[x]：任意の自然数より大きい次元の部分空間を持つから無限次元である（都築 暢夫 広島大）
外部ﾘﾝｸ[html]:www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp
2006年度
代数学1:講義ノート
第1回(4/14), 第2回(4/21), 第3回(4/28), 第4回(5/12), 第5回(5/19), 第6回(6/2), 第7回(6/9), 第8回(6/16), 第9回(7/7),
先端数学:講義ノート
省12
195(3): 2022/09/10(土)07:38 ID:qj1cTL8E(1/3) AAS
>>194 補足
・2次式 f(x)＝a+bx+cx^2 が、3次元ユークリッド空間 (a,b,c) [0,1]^3 の立方体の内部の点と対応する
（数 a,b,cの範囲を区間[0,1]の実数とする）
・このとき、2次式 f(x)＝a+bx+cx^2の集合から、無作為抽出で集合の元を取り出すことを考える
これは、3次元ユークリッド空間 (a,b,c) [0,1]^3 の立方体の内部の点を、取り出すことに相当する
・無作為抽出なら、普通にc≠0の空間の点
つまり2次式 f(x)＝a+bx+cx^2（c≠0）が選ばれるべきだ
省9
196(6): 2022/09/10(土)11:37 ID:qj1cTL8E(2/3) AAS
>>195 補足
(引用開始)
・しかし、c＝0の空間の点は、xy平面を成し
その体積は0であるから、無作為抽出で選ばれる確率は0だ
この考えを、時枝の決定番号の確率計算に当て嵌めれば、
彼の確率計算が、成り立っていないことが分かるだろう
（”これを一般化すると、D+1次元の超体積V''＝1に対し
省23
200(4): 2022/09/10(土)12:41 ID:qj1cTL8E(3/3) AAS
>>196 続き
思いついたときに書くよ
１）自然数から、無作為抽出で数を選ぶことも、
簡単にはできない
２）例えば、1～ｍの一様分布で、ｍ＝1000として
例えば3つの数、11、502．903が選ばれたとしよう
しかし、この3つの数が、ｍ＝100万だとすると、
省12
209(4): 2022/09/11(日)08:37 ID:cFRF8/nb(2/3) AAS
>>208 つづき
１）前レスで、ランダムサンプリングができない非正則な分布>>51について説明した
この場合、できるのは作為によるサンプリング（有意抽出>>196）のみ
２）これを時枝記事>>1に見ると、人は自然に ”決定番号∈自然数N”だからと
直感的に100個の数 d1<d2<d3<・・・<d100 を思う（>>162）
そして、d1,d2,d3,・・・,d100から、作為でこれらに対応する代表元を思い浮かべる
が、これが作為だという自覚が無い人が大半だ（大学レベルの確率論や確率過程論を習得した人以外では）
省17
213(3): 2022/09/11(日)13:11 ID:cFRF8/nb(3/3) AAS
>>209 補足
よく知られているが
１）選択公理だけでは、確率計算はできない
一般論として、確率計算は測度論をベースとしたコルモゴロフの確率公理を必要とする>>91
２）同様の議論を、時枝氏自身が出している
「結果R^N →R^N/～ の切断は非可測になる.」と（下記）
３）また mathoverflow>>1で
省20
250(3): 2022/09/17(土)07:31 ID:2w4pRyyr(1/4) AAS
なんだか、理解できていないやつ居るねｗｗｗ
再録
(>>189より)
多項式環 F[x]：任意の自然数より大きい次元の部分空間を持つから無限次元である（都築 暢夫 広島大）
外部ﾘﾝｸ[html]:www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp
2006年度 代数学1:講義ノート 都築 暢夫 広島大
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp
省27
263(5): 2022/09/17(土)17:36 ID:2w4pRyyr(2/4) AAS
みなさん、ご苦労さまです
スレ主です
１．時枝記事>>1
の面白さ とは
・本来、一つ箱があって、それ以外にもいくつか箱がある
・話を簡単にするために、iid＝独立同分布を仮定する
・問題の箱と他の箱とは、独立だから、他の箱を開けても、問題の箱の情報はもらえない
省6
272(3): 2022/09/17(土)22:14 ID:2w4pRyyr(4/4) AAS
>>271
１）まず、時枝記事の可算無限数列のしっぽの同値類とその代表と決定番号について
形式的冪級数環における、形式的冪級数のしっぽの同値類と見なすことができて
それは、多項式環と多項式の次数に置き換えることができると説明しただろ？>>168-170
２）そして、多項式環は無限次元である>>250
ｎ次多項式 a0+a1x+a2x^2+a3x^3+・・・+anx^n は
n+1次元 ユークリッド空間の点 (a0,a1,a2,a3,・・・,an)と考えることができる>>209&>>195
省13
285(3): 2022/09/18(日)11:49 ID:ldv25uGN(5/26) AAS
>>284
既に説明されてるでしょ。
スレ主は「時枝戦術の勝率はゼロだ」とほざいているが、実際の勝率がどうなっているのかは、
出題者が出題する実数列 (x1,x2,x3,…) のそれぞれに対して、今までと同様にして反復試行を行い、
時枝戦術によって統計を取ればよい。たとえば、出題者が (√2, √2, √2, …) を出題するのなら、
・ 毎回必ず (√2, √2, √2, …) を出題し、そのたびにスレ主は時枝戦術を使って統計を取る
という反復試行によってテストすればよい。既に説明したとおり、この場合は
省10
289(5): 2022/09/18(日)14:03 ID:3YOagFMY(4/9) AAS
>>287-288
>>iid＝独立同分布は、確率論では普通に使う
発狂してんのか？ｗ
Sergiu Hart氏は、>>21で
(引用開始)
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.ma.huji.ac.il
Choice Games November 4, 2013
省15
290(6): 2022/09/18(日)14:10 ID:3YOagFMY(5/9) AAS
>>285
ありがとう
でもな、時枝の手法は現実には実行できないよ
時枝は絵に描いた餅
>出題者が出題する実数列 (x1,x2,x3,…) のそれぞれに対して、今までと同様にして反復試行を行い、
>時枝戦術によって統計を取ればよい
繰り返すが、時枝の手法は絵に描いた餅で、実際には実行できない
省5
300(3): 2022/09/18(日)15:16 ID:ldv25uGN(13/26) AAS
さて、今の場合、毎回必ず (√2, √2, √2, …) を出題するのだから、決定番号の方も、
ある固定された (a1, a2, …, a100) が毎回100％の確率で (d1, d2, …, d100)＝(a1, a2, …, a100) と出力される。
この (a1, a2, …, a100) が具体的に何なのかは、我々には知る術がない。しかし、知る必要はない。
なぜなら、何らかの (a1, a2, …, a100) が「実際に出力されている」ことに変わりはないからだ。
そして、一番大切なのは
「毎回100％の確率で同じ (a1, a2, …, a100) が出力されている」
という論理的な性質である、この性質がありさえすればよい。
省8
304(4): 2022/09/18(日)18:47 ID:3YOagFMY(7/9) AAS
>>291
>When the number of boxes is finite
>の時点で箱入り無数目ではないと分からんのか？発狂してんのか？
Sergiu Hart氏のシャレが
分かってないなｗ
1個の箱で、成り立つ
n個の箱で、成り立つ
省11
316(7): 2022/09/18(日)20:36 ID:3YOagFMY(9/9) AAS
やれやれ
>>306
>そこで、時枝記事では、
>「完全代表系 T を1つ固定する」と明言している。
時枝記事では、”明言している”に該当する記述ないよ
いま、手元に時枝記事のPDFがある
もし、明言しているというならば、何ページの何行目だ？
省16
334(4): 2022/09/19(月)11:34 ID:aLiBZfCJ(1/10) AAS
>>326-327
なんだ、落ちこぼれ同士でつるんだか？ｗ
>>326
>100列のいずれかをランダムに選ぶから。
>>326氏は、Sergiu Hart氏のシャレが分かってないなｗ>>304
Sergiu Hart氏は種明かししているよ>>289
iid＝独立同分布 を仮定したら
省19
353(3): 2022/09/19(月)16:27 ID:k+EEBfQ5(13/29) AAS
>>352
その点については>>297-300で反論済み。信託機械と同じノリで、
・ 可算無限個の対象をそのまま出力できる機械を想定する。
・ その機械はさらに、選択公理で記述される選択関数を実際に出力可能であるとする。
このような能力を持った機械を想定すればよい。
この機械を使役することで、 我々は時枝戦術の全てを「本当に実行可能」になる。
特に、時枝戦術を使って統計を取ることが可能になる。
省3
361(7): 2022/09/19(月)17:18 ID:aLiBZfCJ(6/10) AAS
>>344
>分かってないね。
>・「役満で上がる配牌」が "なぜか必ず生成されてしまう"
>ことが時枝戦術の肝の部分でしょｗ
完全に数学を外れて、
それってポエムだねｗ
いいかな
省22
362(4): 2022/09/19(月)17:32 ID:k+EEBfQ5(17/29) AAS
>>361
ナンセンス。以下で具体的に反論しよう。
閉区間[0,1]の中からランダムに1つ実数を選んで x とする。
x＞1/2 ならスレ主の勝ちで、x≦1/2 ならスレ主の負けとする。
このとき、「x」という一点を基準にする視点からは離れて、
「スレ主が勝つような x 全体の集合」
「スレ主が負けるような x 全体の集合」
省6
363(4): 2022/09/19(月)17:34 ID:k+EEBfQ5(18/29) AAS
ところが、スレ主が>>361で主張するところの
＞6）無限次元の空間から無作為抽出で一つ選べば、
＞ それは無限次元の点になるべき
と同じ思想を適用すると、次のようになる。
・ あくまでも x をランダムに選ぶのだから、x という一点を基準にして考えるべきである。
・ すなわち、[0,1/2] や (1/2,1] などといった、作為的な有限個の分類は基準とすべきではない。
・ さて、閉区間 [0,1] の中からどんな x を選んでも、その x という一点は閉区間 [0,1] の中で確率ゼロである。
省7
372(3): 2022/09/19(月)21:47 ID:aLiBZfCJ(7/10) AAS
>>362-363
>以下で具体的に反論しよう。
>閉区間[0,1]の中からランダムに1つ実数を選んで x とする。
> x＞1/2 ならスレ主の勝ちで、x≦1/2 ならスレ主の負けとする。
>[0,1/2], (1/2,1] という2つの対象のみである。つまりは、
>「有限個の対象による作為的な分類」
>だけで、スレ主の勝ち負けが記述できてしまう。そして、スレ主が勝つ方の集合は (1/2,1] なのだから、
省13
375(7): 2022/09/19(月)22:03 ID:aLiBZfCJ(8/10) AAS
>>369
(引用開始)
>多項式環を線形空間と考えると、無限次元になる
>無限次元の空間から無作為抽出で一つ選べば、それは無限次元の点になるべき
はい、ここ！w
中卒君は何も考えずに「無限次元の点」って云ってるけど
それって点を多項式と考えたとき、最高次の項が存在しない、って云ってる？
省29
385(3): 2022/09/19(月)23:45 ID:aLiBZfCJ(10/10) AAS
>>332
>「選択公理を上手く応用することで、完全代表系 T を1つ得ることが出来るので、そのような T を1つ決め打ちして」
あと、細かいが、いわゆる（フルパワー）選択公理は不必要
要するに、列は100個だから
使う同値類は100個にすぎない
100個の同値類から、代表を選ぶだけでよいから、有限個に対する選択公理で良い（可算選択公理である必要さえない）
だから、”ヴィタリが構成したような非可測集合”は、時枝では出現しない（この点でも時枝氏は勘違いしている。ここらはデリケートなので、下記の渕野をご参照）
省14
386(3): 2022/09/20(火)00:01 ID:haK70lZk(1/2) AAS
>>385
＞決定番号が確率論に使えないのは、決定番号が発散して、非正則分布になり、全事象が1とならないことにある
その認識は間違っている。写像 d：R^N → N は非可測なので、
「 d の取り扱いには細心の注意が必要だ」というだけのこと。
ちょっとでも凝った確率を計算しようとすると、
d のせいで非可測な事象 A が出てきてしまって、
「その事象 A には確率 P(A) が定義できず、そこで計算がストップする」
省6
393(3): 2022/09/20(火)23:58 ID:JCA2nGe5(2/2) AAS
>>386
>その認識は間違っている。写像 d：R^N → N は非可測なので、
意味わかんないけど？
R^N には、そのままでは、例えばベクトル空間と見ると、計量（例えばベクトルの長さ）が発散している
だから、ヒルベルト空間が必要になるんだよ（下記）
繰り返すが、R^Nそのままじゃ、計量が入らないので、まずいよ
だから、（確率を考えるような場合の）非可測には、大きく二種類あって、ヴィタリ集合のような非可測と、R^N のように発散して計量が入らない非可測とがある
省4
396(7): 2022/09/21(水)00:41 ID:d8bCuxEf(3/14) AAS
一応、具体的に書いておこう。
閉区間[0,1]上のルベーグ可測集合全体の族を F と置き、A∈F に対して
μ(A)＝(Aのルベーグ測度)と定義すると、([0,1],F,μ) は確率空間になる。この確率空間は、
「閉区間 [0,1] からランダムに実数を選ぶ(一様分布)」
という操作を表現した確率空間である。次に、この確率空間 ([0,1],F,μ) の
可算無限直積 確率空間を ([0,1]^N, F_N, μ_N) と書く。この確率空間は、
「各項が0以上1以下の実数であるような実数列 x＝(x_1,x_2,x_3,…)∈[0,1]^N を
省4
406(6): 2022/09/21(水)07:15 ID:KGqCTMVw(1/2) AAS
>>405
>「さて， 1～100 のいずれかをランダムに選ぶ. 例えばkが選ばれたとせよ. s^kの決定番号が他の列の決定番号どれよりも大きい確率は1/100に過ぎない.」
だから、その決定番号d1,・・d100を全て有限に選ぶことに、
作為が入っているってこと（ランダム性の否定）(>>375ご参照）
いいかな
1）出題された実数よりなる可算無限列に対して、その同値類は多項式環>>189を成す（>>361ご参照）
2）多項式環は、無限次元の線形空間である（都築 暢夫 広島大>>189）
省4
415(3): 2022/09/22(木)07:39 ID:n69lFtdc(1) AAS
>>406 補足
1）例えば、ある中学生が自由研究で、自然数から100個の数をコンピュータの乱数を使ってシミュレーションした
d1<・・<d100。この100個の数の平均値と標準偏差を計算して、レポートに纏めた
2）しかし、数学的には、これはおかしい。自然数全体は、非正則分布を成す>>51
自然数全体は、平均値は発散し、標準偏差も発散する
3）これを、時枝に見るに、d1<・・<d100 とすることが、既におかしい
本来、決定番号は、多項式環の多項式の次数とみるべきで>>406
省11
422(6): 2022/09/22(木)13:34 ID:gFsAOWo4(5/10) AAS
>>421
反論のレベルが低すぎる。そんな書き込みをするのなら、まずスレ主は
「現実世界で可算無限個の箱を実際に用意してみせよ。」
ほら、やってみろ。可算無限個の箱を、現実世界の中で実際に用意してみせろ。
そんな芸当、スレ主にできるか？有限個じゃないんだぞ？本当に「可算無限個」用意するんだぞ？
できないだろ？そんなこと「本当はできない」のに、
「頭の中ではそれができるものとする」
省2
423(6): 2022/09/22(木)13:40 ID:gFsAOWo4(6/10) AAS
時枝戦術も同じこと。時枝戦術を頭の中でシミュレーションするには、
単に>>353の機械を頭の中で想定すればいい。
そうすれば、頭の中では時枝戦術が実際に実行可能になる。
我々には、その機械の具体的な動作原理は(頭の中ですら)知りようがない。
しかし、知る必要はない。ただ単に、実行可能でありさえすればよい。
より厳密に書けば、それが「頭の中で」実行可能でありさえすればよい。
現実世界に具体的に出力可能である必要はない。
省6
424(3): 2022/09/22(木)13:59 ID:gFsAOWo4(7/10) AAS
スレ主が言うところの「実行可能性」については、
>>422-423によって完全に論破したわけだが、スレ主はそれでも
「そのような統計結果を、頭の中だけでなく、現実世界において本当に出力してほしい」
と思うだろう。たとえば、最初の5回分の統計結果を出力してほしいと、
スレ主は以前からそのように述べていたわけだ。言い換えれば、
「 回答者の勝利 回答者の勝利 回答者の勝利 回答者の勝利 回答者の勝利 」(← 最初の5回分の出力結果)
のような、こういう具体的な "出力結果" が欲しいと、スレ主はこのように述べていたわけだ。
省1
425(3): 2022/09/22(木)14:02 ID:gFsAOWo4(8/10) AAS
具体的にはどうすればいいのか？まず、>>422-423で書いたように、
ベースとなるのはあくまでも「頭の中でのシミュレーション」である。
なんたって、可算無限個の箱を用意する時点で現実世界では不可能なのだから、
ベースが「頭の中でのシミュレーション」なのは当然である。
では実際に、>>353の機械のもとで、時枝戦術を「頭の中でシミュレーション」してみよう。
すると、出題が固定なので、出力される100個の決定番号も固定である。
そして、その100個の中でハズレは高々1つで、どれがハズレなのかすら毎回固定である。すなわち、
省7
426(3): 2022/09/22(木)14:05 ID:gFsAOWo4(9/10) AAS
まあ実際には、100面サイコロよりもPCでプログラムを組んだ方が早いだろう。
というわけで、手元で(*)と同等なプログラムを組んで、最初の5回分を走らせてみた。
結果は以下のとおり。
「 回答者の勝利 回答者の勝利 回答者の勝利 回答者の勝利 回答者の勝利 」(← 最初の5回分の出力結果)
はい、スレ主の望み通り、具体的な "出力結果" が得られました。
スレ主はこういう "出力結果" を望んでいただけなのだから、これで何の文句もないね。
427(3): 2022/09/22(木)14:06 ID:gFsAOWo4(10/10) AAS
というわけで、
・ いちいち こんなことしなくても、>>422-423で既に論破できている
・ 敢えてスレ主の要望を聞き入れてやっても、スレ主の望み通りの
具体的な "出力結果" が提示できている
のであるから、この話題については、もうスレ主は何も言い返せないね。
436(7): 2022/09/23(金)18:39 ID:0pVZljyN(2/3) AAS
>>428
(引用開始)
無限次元というのは、
「その中の要素である多項式の最高次数に上限がない」
というだけであって
「最高次数が存在しない多項式がある」
ということではないｗ
省27
446(5): 2022/09/23(金)20:57 ID:0pVZljyN(3/3) AAS
>>436 補足
＞都築 暢夫 広島大
＞多項式環 F[x]. F 係数多項式全体の集合 F[x] は F 線形空間になる
＞F 線形空間 F[x] は任意の自然数より大きい次元の部分空間を持つから無限次元である。
無限次元 線形空間
任意の有限自然数より大きい次元の空間で良いよ
ここから、100個の点を選ぶとする
省8
459(7): 2022/09/24(土)10:01 ID:sY2IMk68(1/2) AAS
>>436
>>375より再録
多項式環 F[x]：任意の自然数より大きい次元の部分空間を持つから無限次元である（都築 暢夫 広島大）
外部ﾘﾝｸ[html]:www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp
2006年度 代数学1:講義ノート
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp
代数学 I (第2回) 都築 暢夫 広島大 4 月 21 日
省19
460(6): 2022/09/24(土)10:04 ID:sY2IMk68(2/2) AAS
>>459
つづき
2）
・二つの多項式 g(x)とf(x)で差を作る、式g(x)-f(x)の次数は基本的にg(x)より小さくならない
g(x)の次数ｍ、f(x)の次数ｎとする。式g(x)-f(x)の次数は、一般にmax(m,n)である
例外としてm＝nの場合のみ、次数が下がる可能性がある。つまり、m＝nの最高次の係数が等しいときのみ、最高時の項が消えて次数が下がる
・つまり、決定番号は、基本的にf(x)の無作為な選び方で下げることはできないことを意味する（後述）
省23
472(4): 2022/09/25(日)22:05 ID:wwAon/et(1/3) AAS
>>459 補足
>例 3.2. 多項式環 F[x]. F[x]n は 1, x, ・ ・ ・ , x^n を基底に持つ n + 1 次元線形空間である。
>F 線形空間 F[x] は任意の自然数より大きい次元の部分空間を持つから無限次元である。
>外部ﾘﾝｸ[html]:pisan-dub.jp
>一変数多項式と形式的冪級数 著者:梅谷 武 2021-03-17
>R上の形式的冪級数環をR[[X]]、多項式環をR[X]と書きます。このときR ⊂ R[X] ⊂ R[[X]]という包含関係があります。また、{ X^i | i ∈N }はR[X]の基底であり、したがってR[X]はR-自由加群になっています。
ここらは、なかなかデリケートな話だ
省15
480(4): 2022/09/26(月)00:47 ID:hj+GqWOH(4/6) AAS
たとえば、ここに1枚の封筒があって、確率 1/2^n で 4^n ドルが入っているとする(n≧1)。
従って、封筒の中身の平均値(＝期待値)は ＋∞ に発散する。ここでスレ主は、
・ 封筒の中身自体が確率1で「＋∞ドル」である
と勘違いしているわけだ。残念ながら、この例では、封筒の中身は常に有限値である。
486(4): 2022/09/29(木)07:32 ID:XaGDq0h2(1/3) AAS
>>474 補足
>多項式環 F[x]は、無限次元 線形空間だが、それは可能無限であって、
>形式的冪級数環R[[X]]には、多項式環 F[x]には含まれない実無限の冪級数が含まれている
多項式環の完備化が形式冪級数環
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
多項式環
冪級数
省17
487(3): 2022/09/29(木)07:33 ID:XaGDq0h2(2/3) AAS
>>486
つづき
外部ﾘﾝｸ:webcache.googleusercontent.com
maspy
多項式環 k[X] → 極大イデアル(X)で完備化 → 形式的べき級数環 k[[X]] → 商体 → 形式的Laurent級数体 k((X)) Sep 27, 2019
maspy
Sep 27, 2019
省12
489(6): 2022/09/29(木)21:18 ID:XaGDq0h2(3/3) AAS
>>487 補足
レーヴェンハイム?スコーレムの定理で
"定理の上方部分の証明は、いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならないことをも示す"
多項式環において、その元の各多項式は有限次だが、
その次数はいくらでも大きくとることができる
従って、多項式環は無限次元線形空間を成す>>459 (代数学 I (第2回) 都築 暢夫 広島大)
無限次元線形空間においては、無限次元ベクトルが取れる
省11
493(5): 2022/09/29(木)22:13 ID:Vbe/WZxQ(5/6) AAS
そもそも、スレ主は安易に
・ 多項式環 R[x] から「ランダム」に多項式を選んだ場合、〜〜〜
といった表現を使っているが、R[x] におけるランダム性には標準的なものが存在しないんだよな。
従って、R[x] におけるランダム性を定義するには、(R[x], F, P) が確率空間になるような
任意のσ集合体 F と、任意の確率測度 P を、任意に設定してから議論することになる。
では、そのような確率空間 (R[x], F, P) を任意に取る。この確率空間に基づいて、
R[x] から多項式をランダムに選ぶことにする。すると、
省6
494(4): 2022/09/29(木)22:39 ID:Vbe/WZxQ(6/6) AAS
>>493により、スレ主が言うところの
「基本は無限大」
は絶対に成り立たないことが分かる。
なんたって、(R[x], F, P) が確率空間になるような任意の確率空間で>>493が成立するからだ。
レーヴェンハイム・スコーレムの定理を使えば「基本は無限大」が示せると思ったら大間違い。
・ ちゃんと確率空間(R[x], F, P)を設定して丁寧に記述すれば、
「多項式 f(x) をランダムに選ぶと、確率1 で f(x) の次数は有限値である」
省2
496(3): 2022/09/30(金)10:17 ID:Zr93ztAB(1/2) AAS
>>490-495
だから、多項式環の多項式の次数の大小を使って
確率計算しようという時枝記事>>1の魂胆が、矛盾を起こしているってことでしょ？ｗ
１）多項式環から、作為（有意）にn次多項式を取り出すことは可能
代数学ではこれ。ここは何の問題もない！ｗ
２）では、多項式環から、無作為（ランダム）にn次多項式を取り出すことは可能か？
（そもそも、ランダム性の定義が問題だが、そこはいまはツッコミなしとして）
省9
499(3): 2022/09/30(金)10:54 ID:psVftveJ(3/14) AAS
>>480に沿って、具体例を1つ挙げる。
ここに封筒1〜封筒100の100枚の封筒があって、
どの封筒にも、確率 1/2^n で 4^n ドルが入っているとする(n≧1)。
回答者は、100枚の封筒の中からランダムに1枚の封筒を選んで、
その封筒の表面に「＊」という印をつける。そして、100枚の封筒を一斉に開封する。
(＊がついた封筒の中身) ＞ (それ以外の封筒の中身の最大値)
が成り立つ場合には、回答者は何も貰えない(このケースは回答者の「負け」とする)。
省6
501(3): 2022/09/30(金)11:13 ID:psVftveJ(5/14) AAS
あるいは、次のような言い方をしてもよい。
とにかく100個の決定番号 d1〜d100 が有限値でありさえすれば、時枝戦術は正しく機能する。
よって、少なくともサンプリングの1回目に関しては、時枝戦術は正しく機能する。
なぜなら、サンプリングの1回目は、必ず100個の有限値が出力されるからだ。
では、2回目のサンプリングはどうか？
1回目よりもd1〜d100の値が大きくなっているかもしれない。しかし、それでもd1〜d100は有限値である。
ただ単に、1回目より大きいかもしれないというだけの話であって、結局は有限値である。
省7
504(6): 2022/09/30(金)13:37 ID:Zr93ztAB(2/2) AAS
>>501
>では、2回目のサンプリングはどうか？
> 1回目よりもd1～d100の値が大きくなっているかもしれない。しかし、それでもd1～d100は有限値である。
>ただ単に、1回目より大きいかもしれないというだけの話であって、結局は有限値である。
>よって、2回目のサンプリングでも、時枝戦術は正しく機能する。
だから、それって”ランダム”って言えるのか？ｗ
１回、２回、・・ｎ回、・・
省11
513(4): 2022/09/30(金)22:03 ID:juJctAJ6(1) AAS
>>504 補足
1）県全体の模試があったとする。
「おれ、合計100点で、おれのクラスの多くは80点から90点が多く、おれ勝ったんだ」
それを聞いたある人曰く
「おいおい、模試は科目数が多く、満点は1000点で平均値500点だぞ。点数低すぎ！ おかしいぞ、このクラス！」ｗ
2）さて、0からｍまでの一様分布とする。平均値はｍ/2だ
ｍ→∞とすると、平均値 ｍ/2→∞
省12
519(3): 2022/10/02(日)06:57 ID:7ceUIlDx(1/5) AAS
>>513 補足
1）結論としては、時枝氏の非正則分布>>51を使っていて、そこがアウトだってことだろう
2）非正則分布の代表例として、自然数Ｎ＝{0,1,2・・}を考える
3）時枝さんの記事>>1では、決定番号d1,d2,・・d100を使う。この最大値をDmaxとする
4）区間[0,Dmax]の自然数は、有限でしかない
5）自然数（可算無限）全体から見ると、区間[0,Dmax]は無限小と同じでほとんど0
（自然数（可算無限）全体を1としたらってこと。（無限の）全体を1とすることは、実際にはできないが。まあ 有限/無限＝～0とでも考えて下さい）
省3
531(8): 2022/10/02(日)11:39 ID:7ceUIlDx(3/5) AAS
アホが、多項式環は無限次元線形空間を成す>>459 (代数学 I (第2回) 都築 暢夫 広島大)
理解できないようだねｗ
1）代数学なら問題ない。作為で100個選んで
その次数が、d1,d2,・・d100 その最大値 Dmaxは有限
2）だけど、無限次元線形空間を使って、確率計算しようとしたら、無作為性（ランダム性）が求められる
・無限次元線形空間の点を、無作為性に選べば、当然それは無限次元ベクトルで
(a0,a1,・・an,・・)となるべき
省12
550(7): 2022/10/02(日)21:54 ID:7ceUIlDx(5/5) AAS
>>547 補足
整理しておこう
１）時枝記事の無限列
2chｽﾚ:math >>1
時枝問題（数学セミナー201511月号の記事）
実数列の集合 R^Nを考える.
s = (s0，s1，s2，s3 ，・・・)∈R^N (都合でs0からスタートする)
省11
560(3): 2022/10/05(水)21:13 ID:oBMJzSNW(3/4) AAS
>>550 補足
”数学セミナー 2022年10月号
特集＝ ランダムウォークの進む道”
ランダムウォークは、確率過程論の典型例
無限のランダムウォークも可能
時枝記事が正しければ、
無限のランダムウォーク中にひとつ
省15
576(9): 2022/10/07(金)08:03 ID:JooN1fem(1/2) AAS
>>560 補足
>時枝記事が正しければ、
>無限のランダムウォーク中にひとつ
>ランダムウォークのしっぽ同値類を使って、確率99/100で的中できる
>というアホな話になるｗ
まあ、現代確率論、確率過程論で
時枝記事がデタラメということは、すぐ分かる
省33
581(32): 2022/10/07(金)13:23 ID:CDCifW8/(3/7) AAS
以下では、>>579の設定を厳密に書き下しておく。
・ まず、R[x]^100 が確率空間になるような任意のσ集合体Fと、任意の確率測度Pを取る。
この時点で、確率空間(R[x]^100, F, P)が得られる。
・ 出題者は s∈[0,1]^N を一様分布(>>396)に従ってランダムに選び、可算無限個の箱の中に詰める。
・ 続いて、出題者は可算無限個の箱を100列に分解する。i 列目に入っている実数列を s^{i}∈ [0,1]^N としておく。
よって、s は100個の s^{1}, s^{2}, …. s^{100} ∈ [0,1]^N に分解される。
・ 次に、出題者は確率空間(R[x]^100, F, P)においてランダムに(f_1(x),f_2(x),…,f_100(x)) ∈ R[x]^100 を選ぶ。
省2
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