[過去ﾛｸﾞ] スレタイ 箱入り無数目を語る部屋3 (1002ﾚｽ)
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170(4): 2022/09/07(水)20:57 ID:HNz4ykyw(2/2) AAS
>>169 つづき
先に書いておくが、もちろん、この話は時枝トリックを暴くことにある

さて、形式的冪級数として、下記の指数関数 exp(x)＝e^x を考える
べき級数展開で、その係数は
1,1,1/2!,1/3!,・・1/n!,・・ となることはよく知られている

いま、多項式環(>>169)で、係数は実数Rとして、その記号を借用すれば、R[X]で実係数多項式環を表すとして
また、下記の同値類の記号[a]を借用して、指数関数をしっぽとする同値類は[e^x]と書ける
[e^x]＝{e^x+f(x)｜f(x)∈R[X] }
（くどいが、補足すると、f(x)は実係数多項式で多項式環R[X]の元。e^x+f(x)の冪級数のしっぽがe^xと一致することは自明（∵f(x)は有限次数の多項式））

これで、わかりのいい人は、もう見えているだろうが
時枝の可算無限個の数列およびしっぽの同値類と、その数列を係数とする形式的冪級数環および多項式環との関係がついた

なお、念のため注意しておくが、多項式環はその元は有限次数多項式だが、この式の次数には上限がない
（∵ｎ次とｍ次の積から、n+ｍ次式が出来て、それも環の元だから）

つまり、個々の元は有限次だが、集合としての環は無限次（上限が無い）なのです（ちょうど自然数が元は有限でも、集合は無限集合になるが如し）
ここも押えておきたい

今回はここまで。今後を、請うご期待

(参考)
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
指数関数
exp(x)＝e^x＝1+x+1/2!x^2+1/3!x^3・・+1/n!x^n+・・＝Σn=0～∞ 1/n!x^n

外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
同値類
記法と定義
元 a の同値類は [a] と書き，a と ? によって関係づけられる元全体の集合
[a]={x∈ X ｜a ～ x}
として定義される．
(引用終り)
以上

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