[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 カントル 超限集合論 (802ﾚｽ)
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4(7): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/05(土)10:05 ID:JrhjRl4x(4/46) AAS
さて、>>1に関連した議論の続きです
現代数学はインチキのデパート より
2chｽﾚ:math
どうも、ガロアスレのスレ主です（＾＾
昨日のID:4Fu/lmU2さん（>>21）と
今日のID:kZwmbLNIさん（>>25）と
が、同一人物かどうか？ それが分からない
省17
6(4): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/05(土)10:16 ID:JrhjRl4x(6/46) AAS
>>4
つづき
１）の論点の
「正則性公理(>>16)は、無限下降列である x∋x1∋x2∋・・・ を禁止する
が、無限上昇列を禁止するものではない」
について
ノイマン構成の∈の2項関係の列
省16
9(3): 2019/10/05(土)10:44 ID:kZwmbLNI(2/44) AAS
>>4
＞１）正則性公理は、無限下降列である x∋x1∋x2∋・・・ を禁止する
＞ （が、無限上昇列を禁止するものではない）
ええ
＞なお、無限上昇列から、ノイマン構成により自然数N＝ωの構成が認められる
いいえ
無限上昇列だけでは、ノイマン構成によるN=ωの存在は云えません
省13
11(3): 2019/10/05(土)10:58 ID:o3KPqddg(1/8) AAS
ますそもそもω使うのやめてよ。
この議論では必然的に通常の数学のωと、今話題のωが両方出てきてどっちの話してんのかわけわかめになる。
14(4): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/05(土)11:03 ID:JrhjRl4x(8/46) AAS
>>7
つづき
>「フォン・ノイマン宇宙、WFは0に冪集合の演算を有限回、あるいは超限回繰り返して得られる集合全体のクラス」
>という存在を認めることにしましょう
さて、この前提で
下記より、冪集合で P({a})={Φ,{a}}
つまり、 P({a})は{a}という一元集合の冪集合です
省23
18(8): 2019/10/05(土)11:14 ID:o3KPqddg(2/8) AAS
一部修正して再掲
ーωの定義ー
順序対<x,y>の定義
∀z <x,y>:⇔z=x ∨ (∀w w∈z ⇔ w=x ∨ w=y)
関数の定義
f:x→y:⇔∀z ∀a∈x ∃!b∈y <a,b>∈f
関数が単射の定義
省14
23(3): 2019/10/05(土)11:33 ID:o3KPqddg(3/8) AAS
兎にも角にも数学の話したいなら数学の論理式で表された定義与えないと何にも始まんないでしょ？
数学の話したいの？
数学っぽい与太話ができればそれで満足なん？
28(5): 2019/10/05(土)11:50 ID:yY/gQRZe(1/3) AAS
>>20
> 今話題のωと通常の数学のωとは、同じ意味で使っていますよ
{a}は記法上は{}をつけているだけだが意味はaを要素と持つ集合という意味
「通常の」ωは「全ての有限順序数(= 自然数)を要素に持つ集合」から定義される
「1の言う」ωは異なる定義なんでしょう？
つまりω = {?}と書くのなら何を要素に持っているの？ということを
書いてくれと他の人は言っているんですよ
省12
31(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/05(土)12:08 ID:JrhjRl4x(13/46) AAS
>>19
(引用開始)
ノイマン宇宙のV_ωには
{}、{{}}、{{{}}}、…
という{}の有限重の集合は全て存在する
しかし、{}の無限重の集合は存在しない
(引用終り)
省20
42(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/05(土)14:02 ID:JrhjRl4x(16/46) AAS
>>6
(引用開始)
ID:kZwmbLNIさん
現代数学はインチキのデパート
2chｽﾚ:math
(抜粋)
ｍ∈Nで、ｍは自然数であるなら
省37
53(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/05(土)15:26 ID:JrhjRl4x(23/46) AAS
>>4
（再録）
なお、議論の前提として、ある程度、標準的に認められている現代数学の成果
テキストや、ウェブサイトにある、現代数学の成果は認めるものとしましょう
（そうしないと、全てを公理からの構成や厳密な証明を求めるようなことをすると、余白が足りない（時間も足りない））
(引用終り)
これ思い出しておいてくださいね
省19
56(3): 2019/10/05(土)15:40 ID:o3FGv8uB(1/4) AAS
おっちゃんです。
>>52
>いえいえ
>極限ですよ
>
>有限の
>n：{Φ,{Φ},{Φ,{Φ}},・・}→{・・{Φ}・・}（一番右以外のΦを除くことを繰返す。{}はn重）
省6
61(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/05(土)15:58 ID:JrhjRl4x(25/46) AAS
>>54 追加
さて
・正則性公理では、「無限下降列である x∋x1∋x2∋・・・ は存在しない」と規定するが
・順序数では、「順序数からなる空でない集合には必ず最小元が存在する」
一方
「0, 1, 2, 3, ............, ω」
「すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 ω である」
省24
70(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/05(土)16:20 ID:JrhjRl4x(29/46) AAS
>>65
>順序数の順序の列と∈列は異なります
ノイマン構成では、順序数の順序の列と∈列は一致するのでは？（＾＾
下記より
”集合 x について以下はZFで同値である。
・x は順序数である。
・x は推移的集合であり帰属関係 ∈ に関する整列集合である。 (ジョン・フォン・ノイマンの定義)[3][4]”
省21
77(5): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/05(土)16:57 ID:JrhjRl4x(32/46) AAS
>>49
(引用開始)
＞つまり、ノイマン構成とツェルメロ構成とは、一対一に対応していますよ。当たり前ですが
自然数の範囲では一対一に対応しますが、
Nに対する{・・・{Φ}・・・}は存在しません
(引用終り)
あなたのやろうとしていること、そもそも無理ゲーですよ
省22
83(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/05(土)18:24 ID:JrhjRl4x(37/46) AAS
>>14
(引用開始)
冪集合で P({a})={Φ,{a}}
つまり、 P({a})は{a}という一元集合の冪集合です
ここで、{Φ,{a}}から、{{a}}という集合を作ることができるということを認めることにしましょう
（注：{Φ,{a}}から、元Φを取り除くだけですけど（多分、分出公理を使う）
あるいは、 P({Φ,{a}})={Φ,{Φ},{{a}},{Φ,{a}}}としても、{{a}}は作ることができる ）
省22
91(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/05(土)21:31 ID:JrhjRl4x(40/46) AAS
>>77
ツェルメロ構成
批判はされているけれど（＾＾
外部ﾘﾝｸ:plato.stanford.edu
Stanford Encyclopedia of Philosophy
Zermelo’s Axiomatization of Set Theory
First published Tue Jul 2, 2013
省13
92(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/05(土)21:35 ID:JrhjRl4x(41/46) AAS
>>91 補足
”The natural numbers are represented by Zermelo as by Φ, {Φ}, {{Φ}}, …, and the Axiom of Infinity gives us a set of these.
Moreover, it seems that, since both the set of natural numbers and the power set axiom are available, there are enough sets to represent the rationals and the reals, functions on reals etc.
What are missing, though, are the details: how exactly does one represent the right equivalence classes, sequences etc.?”
ツェルメロ自然数構成
批判はされているけれど（＾＾
・by Φ, {Φ}, {{Φ}}, …, and the Axiom of Infinity gives us a set of these
省4
95(3): 2019/10/05(土)21:51 ID:kZwmbLNI(39/44) AAS
>>91-92
英語読めませんか？
Infinity
This final axiom asserts the existence of an infinitely large set which contains the empty set, and for each set a that it contains, also contains the set {a}. (Thus, this infinite set must contain ∅, {∅}, {{∅}}, ….)
つまり>>29で述べたω’(＝{{},{{}},{{{}}},…})
∃ω’.{}∈ω’∧(∀x.x∈ω’⇒{x}∈ω’)
だといってます
省1
110(5): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/06(日)07:57 ID:d8OQiN+r(1/27) AAS
>>95 追加
>Infinity
>This final axiom asserts the existence of an infinitely large set which contains the empty set, and for each set a that it contains, also contains the set {a}.
> (Thus, this infinite set must contain Φ, {Φ}, {{Φ}}, ….)
で、N＝{Φ, {Φ}, {{Φ}}, …}で、自然数の集合Nができるけど
無限公理で最初は、Nよりも大きな集合ができるんですよね、確か（下記wiki）
それを、最小の無限集合に絞って小さくする操作が必要です
省16
112(5): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/06(日)08:39 ID:d8OQiN+r(3/27) AAS
>>77 追加
下記、定理 93ですけど、ここに集積点を含まないことは明白ですね（＾＾
外部ﾘﾝｸ:www.math.tsukuba.ac.jp
坪井明人 筑波大
外部ﾘﾝｸ[pdf]:math.tsukuba.ac.jp
坪井明人
11 整列集合
省37
127(3): 2019/10/06(日)09:49 ID:Gc2q5hFd(1/4) AAS
>>110
> で、N＝{Φ, {Φ}, {{Φ}}, …}で、自然数の集合Nができるけど
> 無限公理で最初は、Nよりも大きな集合ができるんですよね、確か（下記wiki）
>
> それを、最小の無限集合に絞って小さくする操作が必要です
> 最小の無限集合に絞った結果、Nには有限の元ｎしか含まれないものができる
>
省17
128(3): 第六天魔王 ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/06(日)09:49 ID:zyaquwkF(7/9) AAS
>>123
＞いい年してベビーメタルの大ファンで、
安達、いいタイミングでいってくれたな
10/11にBABYMETALの3rd Album"Metal Galaxy"が出るぞ
聴きやがれｗ
＞乃木坂とかAKBグループのファンでもある
悪いが、そっちはそれほど興味ないｗｗｗ
省6
151(6): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/06(日)11:23 ID:d8OQiN+r(5/27) AAS
>>110 補足
>Infinity
>This final axiom asserts the existence of an infinitely large set which contains the empty set, and for each set a that it contains, also contains the set {a}.
> (Thus, this infinite set must contain Φ, {Φ}, {{Φ}}, ….)
で、N＝{Φ, {Φ}, {{Φ}}, …}で、自然数の集合Nができるけど
無限公理で最初は、Nよりも大きな集合ができるんですよね、確か（下記wiki）
(引用終り)
省25
154(6): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/06(日)12:48 ID:d8OQiN+r(6/27) AAS
>>151 追加
von Neumannで、自然数Nが構成できる（下記）
無限降下列
0∈1∈2・・∈N
が出来る
無限公理によりできる集合N’には、自然数N以上の無限大の後者が含まれている
そこから、不要元をそぎ落として、自然数Nにする
省24
159(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/06(日)13:21 ID:d8OQiN+r(9/27) AAS
>>155 補足
>この用語が適切かどうか不明だが
>「濃度と順序数 fujidig」では、最小元を持たない無限単調減少列という意味でしょう
>（文学的表現では、底抜けってことですね）
そういう目で見ると
>>112 坪井明人 筑波大 11 整列集合
”定理 93 (X, <) を順序集合とする．このとき次は同値である：
省9
160(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/06(日)13:26 ID:d8OQiN+r(10/27) AAS
>>159 つづき
なので、正則性公理にいう
”無限下降列である x∋x1∋x2∋・・・ ”は
底抜けの最小元を持たない無限単調減少列の意味ですね（＾＾
これを、取り違えて
最小元を持つ、順序数の無限列に適用して、
「正則性公理に反する」とかは、いけませんね（＾＾
省9
162(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/06(日)13:38 ID:d8OQiN+r(11/27) AAS
>>151 補足
ツェルメロの自然数構成で
0：Φ
1：{Φ}
2：{{Φ}}
・
・
省26
163(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/06(日)13:42 ID:d8OQiN+r(12/27) AAS
>>161
＞ωから始まる∈無限降下列が存在すると言いたいなら、その列の第2項（ωの次の項）を示して下さい
その質問は、哀れな素人さんの無限に関する質問に類似
ノイマン構成が理解でていませんね
どうぞ、大学教員に質問願います
高校教員でもいいかもね（>>154 平成26年度教員免許状更新講習テキスト 「数の体系」講師：牧野 哲）
164(6): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/06(日)13:53 ID:d8OQiN+r(13/27) AAS
>>163 補足
＞ωから始まる∈無限降下列が存在すると言いたいなら、その列の第2項（ωの次の項）を示して下さい
(>>154より）
von Neumannで、自然数Nが構成できる（下記）
無限降下列
0∈1∈2・・∈N
ノイマン構成では、N＝ωです
省28
175(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/06(日)16:07 ID:d8OQiN+r(20/27) AAS
>>102 追加
＞(b) the existence, for any object a, of the singleton set {a} which has a as its sole member; and
この”for any object a, of the singleton set {a}”
は、ZFCでは、対の公理だね
a → {a}が言える
（参考）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
省19
185(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/06(日)20:32 ID:d8OQiN+r(26/27) AAS
>>172
>>ええ、上記いずれの場合も、第1項 a1＝ω はありますよ
>私が聞いてるのは第2項ですｗ
質問に対して、質問を返して悪いが（＾＾
１）下記の、順序数の列
0, 1, 2, 3, . . . , ω を認めますか？ Y/N
２）もし、Yesの場合
省14
189(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/07(月)06:37 ID:2lTTrhZd(2/3) AAS
まとめます
１）正則性公理は、無限降下列を禁止するが、その無限降下列の意味は、
”無限下降列である x∋x1∋x2∋・・・ ”は
底抜けの最小元を持たない無限単調減少列の意味です
ノイマンの自然数構成のような∈関係の無限上昇列を禁止するものではないのです
（>>159-160ご参照）
２）空集合から、後者関数を適用し、それに無限公理を適用して、自然数Nを構成する
省26
192(3): 2019/10/07(月)08:54 ID:3bkiY8iJ(2/3) AAS
もう少し具体的に聞きましょう。
確かに順序数とは整列順序集合の同値類の完全代表系の一つであります。
まず通常のノイマンの構成による順序数全体をOrdとします。
Ordの元xに対しツェルメロ構成によるx番目の順序数をZ(x)としてこれを定めるなら、
Z(0)=0,
Z(x+1)={Z(x)}
としてx<ωまではいいでしょう。
省3
193(4): 現代数学の系譜?雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/07(月)14:21 ID:ez50Rnmf(1/3) AAS
>191-192
（>>189に関連して）
１）ツェルメロ構成での任意aの後者関数；suc(a) := {a}による構成は、正則性公理に反しない
たとえ、それで無限上昇列が出来ても、ということは認めますか？ Y/N
２）ツェルメロ構成での任意aの後者関数；suc(a) := {a}による構成で、
無限公理を適用して、自然数ｎをすべて含む無限集合が出来たとき、
それはいわゆる自然数Nよりも、余計な元、
省2
210(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/08(火)07:22 ID:3SQHWkr4(2/5) AAS
>>207
>> つまり、Nは全ての有限の元を含むので、
>Nが全ての有限集合を含むわけないでしょ？
？
あなたは、>>127で
(引用開始)
ω' を
省23
211(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/08(火)07:23 ID:3SQHWkr4(3/5) AAS
>>210
つづき
ここで、現代数学の順序同型（下記）を借用しましょう
”整列順序型N’：0,1,2,・・,n,・・” は、ちょうど自然数N全体を渡り、自然数Nと順序同型です
これを認めれば、ツェルメロの整列順序型E’とノイマンの整列順序型Eとは、順序同型
全単射で、ツェルメロのΩが、ノイマンのωに対応する
よろしいでしょうか？
省16
216(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/09(水)11:48 ID:nHmzRvjt(1/5) AAS
>>214
”ここから分出公理で
{x∈E | x: finite, x: ordered inthe sence of Neumann}
という集合がとれますがコレでいらないもが削ぎ落とされて
求めるωがとれたのでした。”
↓
E''＝E'＼N ＝ { x∈E' | x: transfinite, x: ordered in the sence of Zermelo }
省15
224(6): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/09(水)23:51 ID:2o5RsZjT(1/3) AAS
>>221
議論の前提として、ある程度、標準的に認められている現代数学の成果は、認めることにしましょうね（＾＾
ツェルメロから、ノイマンへ至道、それは幾人もの希代の天才たちが、十年以上の歳月をかけた思考の結晶だ
こんなバカ板のバカスレで、１からの数学ゼミやったら、100年かかっても少しも進みませんぜｗ(゜ロ゜;
ツェルメロ構成は、順序数（3.2.2 Ordinality）については、モストフスキー崩壊理論で、一応成立（OKってこと）
但し、基数（3.2.3 Cardinality）については、これじゃだめということですよ
それ、下記の”Zermelo’s Axiomatization of Set Theory Michael Hallett”に書いてあるよ
省15
230(3): 2019/10/10(木)03:44 ID:64e05J/b(1/5) AAS
>>324
違います。
Zermelo ordinal number なるものが何かまだ誰も定義していません。
Z(0)=0, Z(1)={0}, Z(2)={{}},‥‥
はいいでしょう。
そのように定義したいなら定義してもいいでしょう。
ただしコレもキチンと論理式で定義しないとだめなんですよ。
省19
235(3): 2019/10/10(木)11:35 ID:64e05J/b(4/5) AAS
>>233
結構ですよ。
証明はわからないがこんな結果はあるというなら使っていただいて結構です。
少なくとも私は順序数に符合付ける方法
Z(0),Z(1),‥,Z(ω),Z(ω+1),‥
で
Z(0)=0
省9
236(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/10(木)18:39 ID:K6AlmfoH(3/5) AAS
>>233 補足
（参考）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
デデキント無限
(抜粋)
数学において、集合A がデデキント無限（Dedekind-infinite）である、またはデデキント無限集合であるとは、A と同数（equinumerous）であるようなA の真部分集合B が存在することである。つまり、A とA の真部分集合B の間に全単射が存在するということである。集合 A がデデキント無限でないとき、デデキント有限であるいう。
デデキント無限は、自然数を用いないような最初の無限の定義である。選択公理を除いたツェルメロ・フレンケルの公理系は、任意のデデキント有限集合は有限個の元を持つという意味での有限である、ということを証明するだけの強さを持たない[1]。デデキント無限以外にも、選択公理を用いない有限集合や無限集合の定義が存在する。
省15
237(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/10(木)18:40 ID:K6AlmfoH(4/5) AAS
>>236
つづき
一般化
圏論的な言葉で表現すれば、集合 A は集合の圏においてすべてのモノ射 f: A → A が同型射であるときにデデキント有限である。フォン・ノイマン正則環 R が（左あるいは右）R-加群の圏において同様の性質を持つことと、R において xy = 1 ならば yx = 1 が成り立つことは同値である。
より一般に、デデキント有限環 (Dedekind-finite ring) は、この条件（xy = 1 ならば yx = 1）を満たす環のことである。台集合がデデキント無限であっても環はデデキント有限となりうることに注意。例えば整数環。正則加群 RR がホップ的（すなわち任意の全射自己準同型が同型）であることと R がデデキント有限であることは同値である。
外部ﾘﾝｸ[pdf]:ring-theory-japan.com
VON NEUMANN REGULAR RINGS WITH COMPARABILITY MAMORU KUTAMI Yamaguchi University 久田見 守（山口大学）第３９回環論および表現論シンポジウム（２００６年）
省13
251(6): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/11(金)06:49 ID:aKfhohl9(1/4) AAS
>>242
メモ：現代数学の”無限”のランドスケープ
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
レーヴェンハイム?スコーレムの定理
(抜粋)
レーヴェンハイム?スコーレムの定理（英: Lowenheim?Skolem theorem）とは、可算な一階の理論が無限モデルを持つとき、全ての無限濃度 κ について大きさ κ のモデルを持つ、という数理論理学の定理である。
そこから、一階の理論はその無限モデルの濃度を制御できない、そして無限モデルを持つ一階の理論は同型の違いを除いてちょうど1つのモデルを持つようなことはない、という結論が得られる。
省14
252(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/11(金)06:50 ID:aKfhohl9(2/4) AAS
>>251
つづき
理論が範疇的 categorical であるとは、同型の違いを除いて唯一のモデルを持つことを意味する。
この用語は1904年、オズワルド・ヴェブレンが考案したもの[1]で、その後しばらくの間、数学者らは集合論を範疇的な一階の理論で記述することで、数学の堅固な基盤を築けると考えていた。
レーヴェンハイム-スコーレムの定理はこの希望への最初の打撃となった。
なぜなら、その定理によれば無限のモデルを持つ一階の理論は範疇的にはなり得ないからである。
さらに1931年、ゲーデルの不完全性定理によって希望は完全に打ち砕かれた。
省12
266(4): 2019/10/11(金)16:13 ID:YULRpgNc(2/2) AAS
そもそも
X={…{∅}…}
なんて集合を考えたら
F(X)={Y|∃x1∈ x2∈ x3∈‥xn Y=x1, X=xn}
とおくときF(X)には単元集合(singleton)しか許してもらえないんでは？
表記的に？
どこまで行っても単元集合しか出てこないとしか解釈できない希ガス。
269(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)06:41 ID:0oc9Ztsl(1/28) AAS
>>112 補足
∈の無限降下列と従属選択公理の話（下記）
ゼルプスト殿下 @tenapyonは、藤田博司先生愛媛大
外部ﾘﾝｸ:togetter.com
「従属選択公理」の検索結果 Togetter
外部ﾘﾝｸ:togetter.com
2014年12月23日 Togetter
省20
272(6): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)07:50 ID:0oc9Ztsl(4/28) AAS
>>266
ども、レスありがとう
>どこまで行っても単元集合しか出てこないとしか解釈できない希ガス。
同意です
補足説明します
普通の自然数N+ω：1,2,3,・・n,・・,ω
に対して（ωは極限順序数で>>164ご参照）
省25
275(8): 2019/10/12(土)08:10 ID:Ty9mG3gK(1/4) AAS
>>272
では
{n | ∃xn‥∈ x3∈ x2∈x1, Ω=x1}
には最大値が存在してしまうのでは？
∵) 最大値がないとする。
任意にmをとるとき長さmの列
xmn‥∈ xm3∈ xm2∈xm1, Ω=xm1
省7
276(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)09:18 ID:0oc9Ztsl(7/28) AAS
>>275
どうも。レスありがとう
>{n | ∃xn‥∈ x3∈ x2∈x1, Ω=x1}
>には最大値が存在してしまうのでは？
別に言い訳するつもりはないけど
>>272で同意したのは、
ツェルメロ構成では、「どこまで行っても単元集合しか出てこない」ということなのです
省31
287(3): 2019/10/12(土)10:30 ID:zrApsl4A(1) AAS
>>275みたいに全部数式だと無理なのかな？
長さに上限がないとすると各自然数に対して
Ω=x11
Ω=x21∋x22
Ω=x32∋x32∋x33
Ω=x41∋x42∋x43∋x44
‥‥
省6
293(4): 2019/10/12(土)14:01 ID:Ty9mG3gK(3/4) AAS
ではもう少し詳しく書きます。
仮定は
Ω=x1∋x2∋‥‥∋xm
なる形の列の長さに上限がないですね。
この仮定の元に自然数mに対して
X[m]={(x1,x2,‥,xm) | x1=Ω, x[i]∋x[i+1]}
がいずれも空集合にならない事は理解できますか？
省3
295(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)15:04 ID:0oc9Ztsl(18/28) AAS
>>293
(引用開始)
仮定は
Ω=x1∋x2∋‥‥∋xm
なる形の列の長さに上限がないですね。
(引用終り)
その記法は、混乱の元と思います
省25
308(3): 2019/10/12(土)18:13 ID:Vy+smElV(6/8) AAS
もしかしてxnのnが動いてるところのNとxnが動いてるF(Ω)を混同してるのかな？
Nは通常のωを想定して書いてます。
ホントは自然数と対応付くものならなんでもいいんですが混乱するのでN=ωにします。
それともう議論が発散するだけなので数列の順は降鎖でいきます。
もうそこで議論が発散するのは避けましょう。
とりあえず
--- claim(※) ---
省18
313(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)22:33 ID:0oc9Ztsl(27/28) AAS
>>293
(引用開始)
Ω=x1∋x2∋‥‥∋xm
X[m]={(x1,x2,‥,xm) | x1=Ω, x[i]∋x[i+1]}
(引用終り)
？
xmをいくらでも小さく取れるということですか？
省17
322(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/13(日)07:11 ID:sXrN/kYa(2/5) AAS
>>318
>無限公理によるωは、ノイマンのsuc(a)=a∪{a}の超限回繰り返しではない
>なぜなら
>ω=suc(a)=a∪{a}となるようなa（つまりωの一番右の元！）
>が存在しないから
そう！ その指摘は正しいね
ωは、下記の通り、”任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数 ω”で、「 0 でも後続順序数でもない順序数」だ
省26
327(8): 2019/10/13(日)08:46 ID:m8dyiQfg(2/2) AAS
とりあえず、私が得てる結論だけ書きます。
prop
(1) 集合XにおいてF(X)が
x∈F(X)⇔∃(x1,‥xn) x=xn, X=x1, x1∋x2∋‥‥∋xn
を満たすものが構成できる。
省3
333(5): Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/13(日)17:44 ID:2pwdGOo0(6/24) AAS
デビッド・グレーバーの”Bullshit Jobs”では
次に挙げる5つの仕事は全く無意味であると
こき下ろしている
① ”Flunkies（太鼓持ち）”
受付係、秘書、ドアマンなど、自分が重要な人物だと思わせるために存在する仕事
② ”Goons（用心棒）”
ロビイスト、企業弁護士、テレマーケター、広報など、雇い主のために相手を攻撃する仕事
省9
338(3): Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/13(日)17:53 ID:2pwdGOo0(7/24) AAS
>>334
オレは会社人間じゃないし
資本主義なんてクソだとおもってるから
終わるならさっさと終わってほしいもんだｗ
＞俺もキチガイだから仲間入りだな
ここでいう「キチガイ」とは
>>333のBullshit Jobsに従事する者
省8
357(3): Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/13(日)18:15 ID:2pwdGOo0(13/24) AAS
>>352
＞”代格者”
聞いたことない言葉だな
君はどうも統合失調症らしいな
いや、別に侮るつもりなんかないぞ
病気だからな
ここのリコウぶった馬鹿の書き込みに比べたら全然マシだ
420(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/14(月)10:45 ID:w6tqRMw5(5/8) AAS
>>419
つづき
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
自然数
(抜粋)
形式的な定義
自然数の公理
省16
457(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/22(火)09:28 ID:u309yKT7(3/3) AAS
>>453
ホントにわかってないな
（>>452）
・空集合から出発して、φ＝{}→{φ}→{{φ}}→{{{φ}}}→・・・
・可算無限から出発して、N→{N}→{{N}}→{{{N}}}→・・・
・連続無限から出発して、R→{R}→{{R}}→{{{R}}}→・・・
のように、ある元から、シングルトンの生成を繰返して、無限の上昇列を構成することは可能だ
省17
476(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/11/26(火)07:52 ID:oYs7jyeH(1/4) AAS
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む79 より
2chｽﾚ:math
169 自分：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 投稿日：2019/11/26(火) 00:26:15.90 ID:oYs7jyeH [3/5]
(抜粋)
シングルトンの可算多重カッコ（ {{{・・・{{{ }}}・・・}}} ←{ }が多重になったもの)
が理解できない落ちこぼれさんたち多数居たなｗｗ（＾＾；
(引用終り)
省22
485(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/11/26(火)21:20 ID:oYs7jyeH(4/4) AAS
>>481-484
おまえら、あたま腐っているのか？
公理的に禁止や矛盾が生じない限り、数学的には存在しうるぜ
491(5): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/11/27(水)20:58 ID:qnEhNItW(1/12) AAS
>>485
どこかで読んだのだが、厳密性とは、所詮その時代の水準のものでしかないとか言われていた
昔（20世紀前半）は、一階述語論理が重視されたが
20世紀後半からは、一階述語論理偏重を見直す動きがある
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
有限集合
(抜粋)
省9
501(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/11/27(水)21:17 ID:qnEhNItW(6/12) AAS
>>491 補足
すでに、このスレの>>91に示したように、
天才Zermeloが、シングルトンによる自然数の構成を与えた（1908年）
（”The natural numbers are represented by Zermelo as by Φ, {Φ}, {{Φ}}, …, and the Axiom of Infinity gives us a set of these.”）
そして、確かに、Zermeloの構成は批判され、その後ノイマン構成が採用された
だが、天才Zermeloのシングルトンによる自然数の構成が決して間違っていた訳では無い
無数の超準モデルの1つだよ。（レーヴェンハイム＝スコーレムの定理）
省11
508(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/11/28(木)00:22 ID:QdpmOFrx(1/7) AAS
>>504 追加
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Finite set
(抜粋)
Necessary and sufficient conditions for finiteness
In Zermelo?Fraenkel set theory without the axiom of choice (ZF), the following conditions are all equivalent:[citation needed]
2.(Kazimierz Kuratowski) S has all properties which can be proved by mathematical induction beginning with the empty set and adding one new element at a time. (See below for the set-theoretical formulation of Kuratowski finiteness.)
省4
510(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/11/28(木)00:30 ID:QdpmOFrx(3/7) AAS
>>508-509
＞ 2.(Kazimierz Kuratowski) S has all properties which can be proved by mathematical induction beginning with the empty set and adding one new element at a time. (See below for the set-theoretical formulation of Kuratowski finiteness.)
＞Kuratowski finite means S lies in the set K(S), constructed as follows. Write M for the set of all subsets X of P(S) such that:
＞X contains the empty set;
＞For every set T in P(S), if X contains T then X also contains the union of T with any singleton.
＞Then K(S) may be defined as the intersection of M.
なるほど
省5
519(5): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/11/28(木)21:01 ID:QdpmOFrx(5/7) AAS
>>501-502 補足
(引用開始)
天才Zermeloが、シングルトンによる自然数の構成を与えた（1908年）
（”The natural numbers are represented by Zermelo as by Φ, {Φ}, {{Φ}}, …, and the Axiom of Infinity gives us a set of these.”）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
自然数
例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
省27
540(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/11/30(土)20:55 ID:4Ujjq2jv(5/17) AAS
>>537 機械英訳してみた（＾＾
（Google 仏→英訳）
On the notion of finite set.
Through
Casimir Kuratowski (Warszawa).
Mr. W.Sierpinski gave in his book The axiom of Mr. Zermelo and his role in the Theory of Ensembles and Analysis 1) a new definition of the finite set.
This definition is essentially distinguished by the fact that it does not depend either on the notion of natural number or on the general notion of function, which usually enters into the definitions that make use of the notion of correspondence.
省8
549(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/11/30(土)21:49 ID:4Ujjq2jv(14/17) AAS
>>536
>・Kuratowski, Kazimierz (1920), "Sur la notion d'ensemble fini" (PDF), Fundamenta Mathematicae, 1: 129?131
1920は、2019から見れば、ほぼ100年前
>>544 補足
＞W.Sierpinski氏は彼の著書「Zermeloの公理とアンサンブルと分析の理論における彼の役割」1）有限集合の新しい定義を与えました。
Kuratowskiは、Sierpinski氏の著書「Zermeloの公理とアンサンブルと分析の理論における彼の役割」の有限集合の新しい定義を改良したわけです
1920年当時、（20世紀初頭までの）数学を公理的に扱えるようにするというのが、最先端の研究だった時代
省15
554(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/01(日)07:53 ID:id6ENHqe(1/6) AAS
>>503 補足
>一階述語論理か
>それ以上の高階述語論理なのかに無自覚ならば
>所詮、有限と無限とをきちんと区別できない
>それを知らずに議論するあわれな落ちこぼれたち
>あわれな”なんとかさん”と同類じゃね！？ｗ（＾＾；
（まとめ引用）ｗ（＾＾
省18
563(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/01(日)09:03 ID:id6ENHqe(4/6) AAS
>>552 補足
下記順序数”0, 1, 2, 3, ............, ω， S(ω)（＝ω+1）”を数直線に埋め込んでみよう
数直線の区間[0,2]で
n→1-(1/(1+n))＝n/(1+n)
と変換すると
0→1-1/1＝0
1→1-1/2＝1/2
省26
568(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/01(日)14:40 ID:id6ENHqe(6/6) AAS
>>563 補足
>下記順序数”0, 1, 2, 3, ............, ω， S(ω)（＝ω+1）”を数直線に埋め込んでみよう
順序数”0, 1, 2, 3, ............, ω， S(ω)（＝ω+1）”に対応する点列を数直線上に構成した
0,1/2,2/3,3/4,・・,1（←ω）,1+1/2（←ω+1）
さて、これらの点列に合わせて、縦棒｜を配置する
|,|,|,|,・・,|,|
上記を左右反転する
省13
574(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/03(火)00:04 ID:BRqy0upZ(1/4) AAS
>>568 補足
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
自然数
より
Zermelo 構成（0 := {}, suc(a) := {a} と定義）
0 := {}
1 := {0} = {{}}
省42
596(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/04(水)14:19 ID:vhgyVZ6r(5/7) AAS
超限帰納法なんて難しい話はしていない
可算無限の箱の列が存在する（例えば、数学的には形式的冪級数の係数とか、x^nの∞の項とかね。これは否定できないだろ。（時枝の記事の箱もそうだが））
で、箱の列があるなら、可算無限の棒｜の列もあるだろう
棒｜の列があるなら、カッコ”｝”の可算無限の列もあるだろう。例えば、｝｝・・・｝
カッコ”｛”の可算無限の列もあるだろう。上記の列を左右反転して、例えば、｛・・・｛｛ とする
これらを左右に配置すれば
｛・・・｛｛ Φ ｝｝・・・｝
省3
613(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/06(金)07:58 ID:eTcHIROk(3/3) AAS
>>609
超限帰納法は関係ないよ
だって、公理（無限公理で与件）だもの（＾＾；
629(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/07(土)15:01 ID:H2e5WMAT(9/14) AAS
>>622
「集合Z0には要素0、{0}、{{0}}などが含まれ、
それらの要素が数字の位置を表すことができるため、
「一連の数字」と呼ばれる場合があります。
これは、「無数の無限」集合の最も単純な例です」
↓
（>>621より英文）
省9
636(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/07(土)15:37 ID:H2e5WMAT(10/14) AAS
>>622
おサル＝ID:uZFmzNJe は、恥かきだなｗ（＾＾；
正則性公理のそこでつまずいているのかｗ
（参考）
Inter-universal geometry と ABC予想 42
2chｽﾚ:math
701 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2019/12/07(土) 09:59:15.64 ID:uZFmzNJe [3/3]
省22
644(6): 2019/12/07(土)15:58 ID:xYeMsbxM(3/3) AAS
前に集合Xに対し集合Ｆを
X∈F
Y∈F､Ｚ∈Ｙ⇒Z∈F
を満たす最小のクラスとしたとき、
Fの任意の元がシングルトン⇒Fは有限集合
の証明を書いたんだけど、まるで理解できなかったらしい。
証明書く能力はおろか、人が書いた証明を読む能力がまるでない。
省2
654(3): 2019/12/07(土)16:40 ID:r8l5YtX/(6/21) AAS
ちなみにスレ主は彼の主張するΩが(3)の仮定を満たす事は認めるそうです。
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