[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 カントル 超限集合論 (802ﾚｽ)
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61(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/05(土)15:58 ID:JrhjRl4x(25/46) AAS
>>54 追加
さて
・正則性公理では、「無限下降列である x∋x1∋x2∋・・・ は存在しない」と規定するが
・順序数では、「順序数からなる空でない集合には必ず最小元が存在する」
一方
「0, 1, 2, 3, ............, ω」
「すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 ω である」
（ここでノイマン構成では
0∈1∈2∈ 3∈ ............∈ω となる順序が形成されている）
となる
・二つを比較すると、
正則性公理の無限下降列には、最小元が存在しない
順序数の無限下降列には、最小元が存在する
という違いがある
これ、大きなポイントでしょうね（＾＾
・あとは、これをどう解釈するのかだけです
１）順序数の無限下降列には、最小元が存在するから、もともと、正則性公理には反していない
２）無限列が、極限順序数ωなどを跨ぐ場合は、除外（ωは集積点ですから、跨げば必ず無限列を成す）
３）クラスの違いで考える。有限順序数の集合の属するクラスと、ωの集合の属するクラスとでは
クラスが別で、クラスを跨ぐ数列には、正則性公理は適用できないと考える（∵ 元々ZFCは、クラスを扱えない）
この１）〜３）のどれか（あるいは全て）
こんなところじゃないでしょうか
（参考）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
正則性公理
(抜粋)
以下の4つの主張はいずれも同値であり、どれを正則性の公理として採用しても差し支えない。
・任意の空でない集合xに対して、∃y∈x,x∩y=0
・∀xについて、∈がx上well-founded
・∀xについて、無限下降列である x∋x1∋x2∋・・・ は存在しない。
つづく
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