[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 カントル 超限集合論 (1002ﾚｽ)
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127(3): 2019/10/06(日)09:49 ID:Gc2q5hFd(1/4) AAS
>>110
> で、N＝{Φ, {Φ}, {{Φ}}, …}で、自然数の集合Nができるけど
> 無限公理で最初は、Nよりも大きな集合ができるんですよね、確か（下記wiki）
>
> それを、最小の無限集合に絞って小さくする操作が必要です
> 最小の無限集合に絞った結果、Nには有限の元ｎしか含まれないものができる
>
そうです。
ωの存在を公理としても良いけど公理はなるべく簡潔である方が好まれるのでそのようにしています。
そうしないといけないわけではありませんが。
具体的には例えば
ω' を
0∈ω' 、n∈ω' ⇒ n+1∈ω'
を満たすものに取れる。(∵無限公理)
ωを
ω={x∈ω' | xは有限集合かつ順序数}
と置くとωは自然数全体からなる集合となる。(∵分出公理)
QED.
のように証明できます。
ZFはBGより対象の範囲が狭く公理も弱いのでこのような構成になります。
BGなら>>18のようにもっと直接的に行けます。
(無限公理ももっと弱く取れる)
もしΩの存在も示せるというなら示してください。
それ以前にまずΩを定義して下さい。
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