[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 カントル 超限集合論 (1002ﾚｽ)
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189(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/07(月)06:37 ID:2lTTrhZd(2/3) AAS
まとめます
１）正則性公理は、無限降下列を禁止するが、その無限降下列の意味は、
”無限下降列である x∋x1∋x2∋・・・ ”は
底抜けの最小元を持たない無限単調減少列の意味です
ノイマンの自然数構成のような∈関係の無限上昇列を禁止するものではないのです
（>>159-160ご参照）
２）空集合から、後者関数を適用し、それに無限公理を適用して、自然数Nを構成する
このとき、無限公理を適用しただけでは、
我々の必要とする自然数N（全ての有限ｎたちのみを含む集合）より大きな集合が出来てしまう
それを、自然数Nに絞り込む操作を必要とする
つまり、無限公理により、全ての有限ｎたちを超える元が出来てしまう
そのような元たちは、１）で述べたように、正則性公理に反しないのです
（>>110-112）
３）ツェルメロ構成では、aの後者関数；suc(a) := {a} なので
この自然数構成で、全ての有限ｎたちを超える元が出来てしまう
そのような元たちを絞って、N＝{Φ, {Φ}, {{Φ}}, …}と、自然数の集合Nができる
そこで、全ての有限ｎたちを超える元たちの中で、最小の元が、ツェルメロ構成でのωに相当します（定義）
（>>110>>151）
４）ところで、正式な順序数ωの定義は、本来は、下記”整列集合 (A, <) に対して、A を定義域とする関数 G A,<を超限帰納法”による
ノイマン構成では、この定義がそのまま適用できる
ツェルメロ構成では、下記”順序数を上で述べたような仕方で定義した後、それを用いることによって順序型を正当な方法で定義できる”ので
その方法により、ωを定義した上で、３）のツェルメロ構成でのωを再定義すれば良い
QED
（参考）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
順序数
(抜粋)
定義
整列集合 (A, <) に対して、A を定義域とする関数 G A,<を超限帰納法によって
略
順序数の並び方を次のように図示することができる：
0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............
つづく
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