[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 カントル 超限集合論 (1002ﾚｽ)
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8(1): 2019/10/05(土)10:31 ID:kZwmbLNI(1/44) AAS
1様、スレ立て ご苦労様です
ところで私は昨日のID:4Fu/lmU2氏とは別人です
私は「ガロアスレ」には書いたことはありません
なお、宜しければHNを変更していただけますでしょうか？
このスレッドはガロアスレではありませんので
「古典ガロア理論も読む」は削除してほしいのです
省1
9(3): 2019/10/05(土)10:44 ID:kZwmbLNI(2/44) AAS
>>4
＞１）正則性公理は、無限下降列である x∋x1∋x2∋・・・ を禁止する
＞ （が、無限上昇列を禁止するものではない）
ええ
＞なお、無限上昇列から、ノイマン構成により自然数N＝ωの構成が認められる
いいえ
無限上昇列だけでは、ノイマン構成によるN=ωの存在は云えません
省13
10(1): 2019/10/05(土)10:54 ID:kZwmbLNI(3/44) AAS
>>6
＞ノイマン構成の∈の2項関係の列
＞0∈1∈2∈3∈・・・∈n∈n+1・・・ ∈N＝ω
＞これは、正則性公理には反しない
>>9でも述べたとおり、「∈N」の左側に要素ｍを記入した列
0∈1∈2∈3∈・・・∈n∈n+1・・・m∈N＝ω （ｍは自然数）
は、正則性公理に反しません。
省18
12(1): 2019/10/05(土)10:59 ID:kZwmbLNI(4/44) AAS
>>7
＞「フォン・ノイマン宇宙、WFは0に冪集合の演算を有限回、
＞ あるいは超限回繰り返して得られる集合全体のクラス」
＞という存在を認めることにしましょう
上記を認めても、1の言われる
{{…{}…}}（{}が無限重）
がフォン・ノイマン宇宙に入っていないので
省1
13(1): 2019/10/05(土)11:02 ID:kZwmbLNI(5/44) AAS
>>11
ごもっともです。
今後ωは、無限公理で存在が認められる集合
{{},{{}},{{},{{}}},…}
を表すこととしましょう。
{{…{}…}}（{}が無限重）
については、1が主張していることなので
省1
15: 2019/10/05(土)11:04 ID:kZwmbLNI(6/44) AAS
>>13への付記
なお、>>9-10は、無限公理のωについて述べているので問題ないでしょう
16(2): 2019/10/05(土)11:12 ID:kZwmbLNI(7/44) AAS
>>14
＞フォン・ノイマン宇宙の
＞「0に冪集合の演算を有限回、あるいは超限回繰り返して得られる集合」
＞を認めると、空集合Φ={}に、ω回冪集合の演算を繰り返して
＞ツェルメロ構成で、集合 {{…{}…}}（{}の多重無限）が、出来ました
出来ません
Vωのことなら、その要素は遺伝的有限集合になりますが、すべて{}は有限重です
省8
19(1): 2019/10/05(土)11:16 ID:kZwmbLNI(8/44) AAS
ノイマン宇宙のV_ωには
{}、{{}}、{{{}}}、…
という{}の有限重の集合は全て存在する
しかし、{}の無限重の集合は存在しない
P(V_ω)=V_ω+1を作っても、その中には
{{}、{{}}、{{{}}}、…}
とかいう無限集合は存在するが
省1
21(1): 2019/10/05(土)11:22 ID:kZwmbLNI(9/44) AAS
>>18
＞{{…{}…}}（{}の多重無限）を現代数学での議論の範囲内で議論するつもりなら
＞現代数学でいうところの ‘well defined’ と呼べる定義を与えて下さい。
（注：原文で‘ツェルメロ構成のω’ とあるところを
{{…{}…}}（{}の多重無限）に置き換えました）
ごもっともです。
ただ、うまく書き表せるでしょうか？私には思いつきません
省1
22(1): 2019/10/05(土)11:30 ID:kZwmbLNI(10/44) AAS
>>20
＞私は、今話題のωと通常の数学のωとは、同じ意味で使っていますよ
それは認められませんね
あなたのいう集合は、無限公理の集合ωとは異なりますから、区別願います
＞その「1の言われる」とかいう表現やめてもらえますかね？
では、あなたが呼ばれたい名前を示してくださいますか
HNが長いので、そのままでは書きづらいのです
省2
24(2): 2019/10/05(土)11:35 ID:kZwmbLNI(11/44) AAS
>>22の追記
もし、あなた（◆e.a0E5TtKE 氏）が
{{…{}…}}（{}の多重無限）をωと呼びつづけるなら
誠意がないものとして、「議論」を打ち切ります
少なくとも呼び名の問題よりもはるかに本質的なことですから
25(2): 2019/10/05(土)11:41 ID:kZwmbLNI(12/44) AAS
>>23
{{…{}…}}（{}の多重無限）を数学の論理式で表そうとすると
ω(＝{{},{{}},{{},{{}}},…})や、ω’(＝{{},{{}},{{{}}},…})とは
根本的に異なる困難に突き当たることに気づけますね。
29(1): 2019/10/05(土)11:52 ID:kZwmbLNI(13/44) AAS
ω(＝{{},{{}},{{},{{}}},…})
∃ω.{}∈ω∧(∀x.x∈ω⇒x∪{x}∈ω)
ω’(＝{{},{{}},{{{}}},…})
∃ω’.{}∈ω’∧(∀x.x∈ω’⇒{x}∈ω’)
さて{{…{}…}}（{}の多重無限）はどう表せるのか？
そもそも、{}は上記の集合の要素か？ {{}}は？ {{{}}}は？
33(1): 2019/10/05(土)12:20 ID:kZwmbLNI(14/44) AAS
>>28
＞(1)有限集合をただ1つ要素に持つのならば
＞ω = {ある1つの有限集合} : 順序数は有限
＞(2)無限集合をただ1つ要素に持つのならば
＞ω = {ある1つの無限集合} : 順序数はω+1以上
：の後の「順序数は…」はどういう意味？
35(1): 2019/10/05(土)12:23 ID:kZwmbLNI(15/44) AAS
>>30
＞あなたのω（{{…{}…}}（{}の多重無限））を仮にΩと書くなら、
＞このΩは数学の世界では全くコンセンサスは取れてません。
少なくとも、ZFCにおける集合ではないですね
◆e.a0E5TtKE氏は{{…{}…}}（{}の多重無限）を
別の記号であらわすことを拒否したので、
我々が決めましょう Ωとあらわすことでもいいですか？
36(1): 2019/10/05(土)12:34 ID:kZwmbLNI(16/44) AAS
>>31
＞公理的集合論では、どんな奇妙な集合でも、禁止されていない集合は存在しうる
「Vωでは」と書いているので、
フォンノイマン宇宙の定義を読んで確認しましょう
確認なしの「感想」は無意味ですから
フォン・ノイマン宇宙
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
省18
38: 2019/10/05(土)12:37 ID:kZwmbLNI(17/44) AAS
>>31
＞ノイマンの自然数構成N＝ω
＞0∈1∈2∈3∈・・・∈n∈n+1・・・ ∈N＝ω
相変わらず「 ∈N」の左側を・・・と書いていますが
そういうことをしている限り、あなたは間違いに気づけませんよ
ｍ∈N で、ｍは自然数です
したがって
省2
39: 2019/10/05(土)12:46 ID:kZwmbLNI(18/44) AAS
>>34
＞{・・{}・・}と、多重かつ可算無限（厳密には最小のω）に{}が重なった集合
＞が存在しうるかどうか？私は、存在しうると考えています
１．「存在しうる」が「ZFCで証明できる」の意味なら、
ZFCでの証明を示しましょう。
２．「存在しうる」が「ZFCと矛盾しない」の意味なら
最低でも上記の証明の存在を示す公理となる論理式を示しましょう
省7
40: 2019/10/05(土)12:51 ID:kZwmbLNI(19/44) AAS
>>37
はっきりいって、いい定義が見つかるなら
とっくに数学者が見つけて研究しているでしょうね
「要素が分からない」というのは、決して横道ではなく本質ですよね
Ω＝{・・{}・・}で、
{}∈Ωでない
{{}}∈Ωでない
省5
41: 2019/10/05(土)12:55 ID:kZwmbLNI(20/44) AAS
>>32
＞定義も、準備が必要なんです
>>34
＞そうあせらないで
ろくに定義もせずに、あせって
{{…{}…}}（{}の多重無限）
と書いたのは◆e.a0E5TtKEさん、あなたです
省3
46(1): 2019/10/05(土)14:19 ID:kZwmbLNI(21/44) AAS
>>43
>あなたの上記証明は、「ωは、極限点」という性質を反映していませんね
ええ
まず、位相は考えていません 集合論ですから
次に、極限順序数というのは、そもそもωが最初ですが
ωは無限公理によってはじめて定められるものです
ωには最大の要素というものはありません
省7
47: 2019/10/05(土)14:32 ID:kZwmbLNI(22/44) AAS
ツェルメロの自然数
0={},1={{}},2={{{}}},…
において
1の要素は0のみ
2の要素は1のみ
…
ｎの要素はｎ-1のみ
省14
49(2): 2019/10/05(土)14:57 ID:kZwmbLNI(23/44) AAS
>>48
＞ω：N＝{Φ,{Φ},{Φ,{Φ}},・・・}→{・・・{Φ}・・・}（一番右以外のΦを除くことを繰返す。{}はω重）
◆e.a0E5TtKEさん、あなたの躓いた石を見つけましたよ
N={Φ,{Φ},{Φ,{Φ}},・・・}に一番右の要素は存在しません
したがって、そのやり方では
{・・・{Φ}・・・}
はできません
省5
55: 2019/10/05(土)15:37 ID:kZwmbLNI(24/44) AAS
>>51
＞＞>N={Φ,{Φ},{Φ,{Φ}},・・・}に一番右の要素は存在しません
＞いえいえ、極限ですよ
極限は、N自体であって、Nの要素の中にはありませんよ
無限公理の式
∃ω．{}∈ω∧∀x.x∈ω⇒x∪{x}∈ω
とくにx∈ω⇒x∪{x}∈ωのところ
省4
57(1): 2019/10/05(土)15:40 ID:kZwmbLNI(25/44) AAS
>>53
＞議論の前提として、ある程度、標準的に認められている
＞現代数学の成果は認めるものとしましょう
あなたは無限公理の式を読みましたか？理解しましたか？
わたしにはとてもそうは思えません
もし一度でも読んで理解したなら
「ωの一番右の元」なんて存在しないものを
省3
59: 2019/10/05(土)15:46 ID:kZwmbLNI(26/44) AAS
>>53
＞外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
＞極限順序数
”極限順序数は他にもいろいろなやり方で定義できる”のところで
引用するならまずここでしょう。読みましたか？
・最大元を持たない非零順序数。
「最大元を持たない」と書かれていますね
省5
60(1): 2019/10/05(土)15:53 ID:kZwmbLNI(27/44) AAS
>>54
＞最小の超限順序数 ωから、下の有限順序数ｎの世界へ行くのに
＞無限上昇列を逆に辿れば、無限に降下する列になる
いつまで、その嘘を書き続けるおつもりですか？
まず
0,1,2,…
という無限列にはωは現れません
省19
63(1): 2019/10/05(土)15:58 ID:kZwmbLNI(28/44) AAS
>>56
＞可算無限集合Nの存在性の保証はペアノの公理で済む。
これ、誤りですね
自然数全体の集合は可算無限集合ですから
そしてまさにその集合の存在を認めるのが無限公理
ペアノの公理は、集合論の公理ではなく自然数論の公理です
つまり自然数論では対象は自然数しかないのですが
省1
65(1): 2019/10/05(土)16:02 ID:kZwmbLNI(29/44) AAS
>>61
＞一方
＞「0, 1, 2, 3, ............, ω」
＞「すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 ω である」
＞（ここでノイマン構成では
＞0∈1∈2∈ 3∈ ............∈ω となる順序が形成されている）
＞となる
省7
66: 2019/10/05(土)16:06 ID:kZwmbLNI(30/44) AAS
>>61
＞ 正則性公理の無限下降列には、最小元が存在しない
＞ 順序数の無限下降列には、最小元が存在する
あなたのいう「順序数の無限下降列」が
0∈1∈2∈ 3∈ ............∈ω
のことなら、そもそも無限下降列ではないので嘘です
通常であれば「誤り」というところですが、
省6
69: 2019/10/05(土)16:14 ID:kZwmbLNI(31/44) AAS
>>61
＞１）順序数の無限下降列には、最小元が存在するから、
＞ もともと、正則性公理には反していない
そもそもあなたのいう
0∈1∈2∈ 3∈ ............∈ω
は「∈ω」の左側の元を記載した瞬間、
有限列になるので、無限下降列にはなりません。
省16
71: 2019/10/05(土)16:22 ID:kZwmbLNI(32/44) AAS
>>68
HN「哀れな素人」氏の主張の全てが
誤っているわけではありませんよ
彼の主張で誤っているところがあるとすれば、それは
「無限集合が存在するならば矛盾する」という点でしょうか
（矛盾しない、と断言できるわけではないが、
少なくとも矛盾の証明がないのに矛盾するというのは誤り）
省12
74(1): 2019/10/05(土)16:25 ID:kZwmbLNI(33/44) AAS
>>70
＞ノイマン構成では、順序数の順序の列と∈列は一致するのでは？
ωについていえば、一致しません
ｎ∈ω （ｎは自然数）しかいえませんから
あなたの主張は整礎性の否定であり、超限帰納法の否定です
つまり集合論の根幹を全面的に否定する暴挙です
76: 2019/10/05(土)16:31 ID:kZwmbLNI(34/44) AAS
>>70
＞一方、ツェルメロ構成では、(順序数の順序の列と∈列は)一致しない。
すでに、>>74にてノイマン構成でも、ωで一致しないと述べたので
不一致が問題ということではありません
問題は
「無限公理のωでは、ｎ∈ωはいえるが
あなたのいうΩでは、ｎ∈Ωがいえない」
省7
87: 2019/10/05(土)19:11 ID:kZwmbLNI(35/44) AAS
>>77
＞空集合Φに冪集合の演算を超限回繰り返して得られる」
＞集合 {・・・{Φ}・・・}（{}が無限重になっている集合）
＞は存在します
嘘をいくら書かれても真実にはなりませんね
証明できますか？できませんよ
88: 2019/10/05(土)19:13 ID:kZwmbLNI(36/44) AAS
>>80
＞列
＞Φ＝0∈1∈2∈3・・・∈n・・・∈N
＞の長さが有限？
ええ
あなたがいつまでも「・・・∈N」と∈の左側を書かないから
自分の誤りに気づけないのです
省2
89: 2019/10/05(土)19:20 ID:kZwmbLNI(37/44) AAS
>>83
＞フォン・ノイマン宇宙の
＞「0に冪集合の演算を超限回繰り返して得られる集合」
＞を認める
＞空集合Φに、ω回冪集合の演算を繰り返した集合として、ω重集合
＞ω回P({・・・{Φ}・・・})={Φ,{・・・{Φ}・・・}}→{{・・・{Φ}・・・}}（ω重集合）
＞”{{・・・{Φ}・・・}}（ω重集合）”を定義します
省13
90: 2019/10/05(土)19:22 ID:kZwmbLNI(38/44) AAS
>>86
◆e.a0E5TtKE氏は
wikiのフォンノイマン宇宙の記述を読まずに
フォンノイマン宇宙に関する嘘をつき続けるとか
知的誠実さに著しく欠けていると言わざるを得ませんね
95(3): 2019/10/05(土)21:51 ID:kZwmbLNI(39/44) AAS
>>91-92
英語読めませんか？
Infinity
This final axiom asserts the existence of an infinitely large set which contains the empty set, and for each set a that it contains, also contains the set {a}. (Thus, this infinite set must contain ∅, {∅}, {{∅}}, ….)
つまり>>29で述べたω’(＝{{},{{}},{{{}}},…})
∃ω’.{}∈ω’∧(∀x.x∈ω’⇒{x}∈ω’)
だといってます
省1
97: 2019/10/05(土)21:56 ID:kZwmbLNI(40/44) AAS
ついでにいうと{{},{{}},{{{}}},…}の
左から順に元を削除していって、
最後の１個を残す、というやり方で
{・・・{Φ}・・・}を作ることはできません
なぜなら最後の１個が存在しないからです
98(1): 2019/10/05(土)21:58 ID:kZwmbLNI(41/44) AAS
>>96
＞小さい元を左に大きい元を右に並べて、一番右の数字は何か？答えられないならなに？
＞ノイマン構成の無限集合が存在できないとでも？
一番右の要素が存在しなくても集合として存在します
99(1): 2019/10/05(土)22:01 ID:kZwmbLNI(42/44) AAS
集合について要素の数を「横方向」、{}の深さを「縦方向」と呼ぶことにすると
横方向は可算無限だろうが、非可算無限だろうが、いくらでも広がりますが
縦方向は必ず有限です
107(1): 2019/10/05(土)23:07 ID:kZwmbLNI(43/44) AAS
>>106
＞ω = {ある1つの有限集合}であればその順序数は有限であり
＞ω = {ある1つの無限集合}であればその順序数はω+1以上となる
その説明では全然分からないが
もしかして上記の集合がフォンノイマン宇宙Vαで初めて現れるとして
その順序数αのこと？
108: 2019/10/05(土)23:09 ID:kZwmbLNI(44/44) AAS
>>107
ついでにいうと{ある1つの有限集合}というだけでは
Vｎ（ｎは自然数）で現れる、とはいえない
遺伝的有限集合である必要がある
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