美しい整数の世界 (780ﾚｽ)
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570: 2024/05/07(火)16:41 ID:Oym0l5WF(1/5) AAS
[定理]
平方数と立方数にはさまれた
唯一の数は26である

[証明]
k,l,m,n,xは自然数，klmnx≠0とする

x^3-(x+k)^2=2…‥①
x^3-x^2-k^2-2kx=2
省13

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571: 2024/05/07(火)16:43 ID:Oym0l5WF(2/5) AAS
◆kは偶数なので，kx+1は奇数

x^2(x-1)/2-(k^2)/2=kx+1…‥③

③より、(k^2)/2は偶数

kx+1は奇数なので，
x^2(x-1)/2は奇数
x^2は奇数，(x-1)/2も奇数
x^2は奇数なのでxは奇数
省8

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572: 2024/05/07(火)16:46 ID:Oym0l5WF(3/5) AAS
◆x=4n-1，k=2mとおく

x^3-(x+k)^2=2…‥① に代入

(4n-1)^3-(4n-1+2m)^2=2 から、
m^2+m(4n-1)-16n^3+16n^2-5n=-1
m^2+m(4n-1)=16n^2(n-1)+5n-1
m(m+4n-1)=16n^2(n-1)+5n-1…‥④
(※wolfram出力)
省13

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573: 2024/05/07(火)16:47 ID:Oym0l5WF(4/5) AAS
◆x=8l-5，k=2mとおく

x^2(x-1)/2-(k^2)/2=kx+1…‥③ に代入

(8l-5)^2(4l-3)-2m^2=2m(8l-5)+1
(8l-5)^2(4l-3)=2m^2+2m(8l-5)+1
(8l-5)^2(4l-3)=2m(m+8l-5)+1
(8l-5)^2={2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)
64l^2-80l+25={2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)
省7

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574: 2024/05/07(火)16:51 ID:Oym0l5WF(5/5) AAS
{2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)+16l(5-4l)=25…‥⑤

l=m=1のとき、
{2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)と16l(5-4l)は，
ともに平方数である

l=m=1のとき⑤は
原始ピタゴラス数の等式である

⑤は
省9

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