現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む78

[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む78 (1002ﾚｽ)
上下前次 1-新

このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索歴削→次ｽﾚ栞削→次ｽﾚ過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ

1(3): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/18(金)21:01 ID:Zm+yHrIo(1/12) AAS
この伝統あるガロアすれは、皆さまのご尽力で、
過去、数学板での勢いランキングで、常に上位です。

このスレは、現代数学のもとになった物理・工学の雑談スレとします。たまに、“古典ガロア理論も読む”とします。
それで宜しければ、どうぞ。
後でも触れますが、基本は私スレ主のコピペ・・、まあ、言い換えれば、スクラップ帳ですな～（＾＾
最近、AIと数学の関係が気になって、その関係の記事を集めています～（＾＾
いま、大学数学科卒でコンピュータサイエンスもできる人が、求められていると思うんですよね。

スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。関連のアーカイブの役も期待して。
話題は、散らしながらです。時枝記事は、気が向いたら、たまに触れますが、それは私スレ主の気ままです。

スレ46から始まった、病的関数のリプシッツ連続の話は、なかなか面白かったです。
興味のある方は、過去ログを（＾＾

なお、
小学レベルとバカプロ固定
サイコパスのピエロ（不遇な「一石」外部ﾘﾝｸ:textream.yahoo.co.jp 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets （Yahoo!でのあだ名が、「一石」。知能が低下してサルになっています）
（参考）外部ﾘﾝｸ:blog.goo.ne.jp サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日
（なお、サイコの発言集「実際に人を真っ二つに斬れたら爽快極まりないだろう」、「狂犬」、「イヌコロ」、「君子豹変」については後述（＾＾；）
High level people （知能の低い者が、サルと呼ばれるようになり、残りました。ｗ（＾＾；）
低脳幼稚園児のAAお絵かき
上記は、お断り！！
小学生がいますので、18金（禁）よろしくね！（＾＾

（旧スレが1000オーバー（又は間近）で、新スレを立てた）

2(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/18(金)21:02 ID:Zm+yHrIo(2/12) AAS
（このスレの常連カキコさん説明）
1)
粘着の一人は、キチガイサイコパス（別名ピエロ >>1)。知能が低下してサルになっています
まあ、皆さんには、サイバー空間でのサイコパスの反応とそれへの対応例（反面教師かもしらんが）を見て貰えたらと思う
（このスレは暫く、キチガイサイコパスの隔離スレとして機能させますｗ（＾＾；）
（なお、彼は複数ID（4まで確認済み）を使うやつ（＾＾）
（スレ69 2chｽﾚ:math ID4つ）
なお、火病を発症すると狂気の連投をする
（スレ70 2chｽﾚ:math ）
殺人願望旺盛（＾＾スレ69 2chｽﾚ:math
人を“丸焼き”にして食するという人食趣味ありスレ69 2chｽﾚ:math
どこかの（某大学）数学科卒　修士課程修了らしい
東京大学出身などと、すぐわかる軽薄なウソをいう
ロジックの破たんした見え見え、デタラメの屁理屈をこねる
それじゃ、数学は落ちこぼれで当たり前だ
こいつの発言は、全く信用できないので、基本スルーだ
（参考）
外部ﾘﾝｸ:blog.goo.ne.jp
サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込むグレーより薔薇色 2007年04月06日
スレ32 2chｽﾚ:math
(抜粋)
私？某大学の数学科卒　修士課程修了ですが何か？
ま、この程度でHigh Level Personなんていうほど自惚れちゃいませんよ
やっぱ博士号くらいとらないと数学の世界では人間とは認められませんから
(引用終り)

つづく

3: 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/18(金)21:02 ID:Zm+yHrIo(3/12) AAS
つづき

2)
あと、特徴的なのが、High level peopleと名付けた人が二人。これもスルーだ
（但し、最近、内一人は時枝不成立が理解できたらしい（スレ67～68辺り
　知能の低い者が、サルと呼ばれるようになり、残りました。ｗ（＾＾；）
スレ28 2chｽﾚ:math (High level people が自分達で勝手に立てた時枝問題を論じるスレ)
High level peopleの一人が、時枝記事（数学セミナー2015年11月号の記事『箱入り無数目』）を紹介してくれたなのだが（下記見るとこの人が、スレ28を立てたみたい。この人は、昔Tさんと私が呼んでいた人だと思う）
High level peopleのもう一人が、「俺は測度論的確率論で正当化できて、パラドクスも説明できる」と言い出して、二人で、スレ28で議論した
が、「非可測集合Sに対し、(Sの内測度)＜(Sの外測度) の条件下でSを扱いつつ確率を考える」などと迷走
確率変数の定義（>>517）も無理解で、”変数”と勘違いして”固定”なるトンデモを思いついたらしい

3)
あと、”High level people”を言い出した、英語おじさん（このスレで英語でのみカキコした人）がいたんだ
この人が、”High level people”を連発したので、借用させてもらったのだ（＾＾

4)
あと、”これは酷い”おじさん。これしか言わない、一言居士。英語おじさんと同一かも
さらに、キチガイサイコパスと同じ趣旨を書くのが一人いる。サイコパスピエロに、チョウチンをつけることが多い。サイコパスの成りすましの可能性もありかも
あるいは、(文系)High level peopleさんが、”これは酷い”を使うのかもなー

5)最近、時枝記事不成立派の人が数人と、キチガイサイコパス取締りパトロール隊の方がいる（＾＾

6) 哀れな素人さん：古代ギリシャの数理哲学を語る人

7)時枝解法関連で例の問題提出をした方：不成立の観点から、（下記）の問題提出をした方。この人は、ちょっとレベルが高そう（＾＾
スレ64 2chｽﾚ:math

つづく

4: 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/18(金)21:02 ID:Zm+yHrIo(4/12) AAS
つづき

8) てへぺろ☆(・ω<)さん 70 2chｽﾚ:math
　この人、ほんとはレベル高いみたい（＾＾
　（以下参考）“T大卒じゃなくN大卒、という設定で（設定かよ！）”
　“私もその昔、数学科というところで学んでたんですがどうしても興味が向かない分野ってのがあってその一つがガロア理論だったんですね（をひ
　ああ、こりゃ俺、数学無理だなと思って計算機関係に方向転換しましたけどね”
　ですが、記憶が5分しか持たず、時枝問題でトンチンカンなので、撤退頂きました。まことに、残念でしたが（：ｐ

9) Ω星人の数学者さん、たまに現れます（＾＾

10)おっちゃん（別格）
自称、某R大卒。関数論に詳しい。「オイラーの定数γが有理数であることの証明を得た！！」という（＾＾
スレ68 2chｽﾚ:math
「数学雑談&ガロア理論～おっちゃんとボクと、時々、（時枝＆￥さん）～」かな（＾＾

まあ、常連さんは、全員数学の非専門家でしょう（プロ（職業）ではない人）
∵数学のプロが、こんなところに“粘着”するわけがない（＾＾

常連カキコさんは、こんなところだ
まあ、解説が漏れていたら、ご容赦

以上、このスレのROMさんたちのための、常連カキコさんとおっちゃん（別格）の解説でした（＾＾；

5: 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/18(金)21:04 ID:Zm+yHrIo(5/12) AAS
＜過去スレ＞
（そのままクリックで過去ログが読める。また、ネット検索でも過去ログ結構読めます）
（数学セミナー時枝記事は、過去スレ39 で終わりました。
39は、別名「数学セミナー時枝記事の墓」と名付けます。
High level people は自分達で勝手に立てたスレ28へどうぞ！sage進行推奨（＾＾；
また、スレ43は、私が立てたスレではないので、私は行きません。そこでは、私はスレ主では無くなりますからね。このスレに不満な人は、そちらへ。 2chｽﾚ:math
“時枝記事成立”を支持する立場からのカキコや質問は、基本はスルーします。それはコピペで流します。気が向いたら、忘れたころに取り上げます。）
（が、最近関数論の芽茎層の理論との親和性に気付いたので、後でテンプレに入れます。（＾＾）
過去スレリンク集
（下記以外で抜けている分は、スレ68の 2chｽﾚ:math ご参照）
77 2chｽﾚ:math
76 2chｽﾚ:math
75 2chｽﾚ:math
74 2chｽﾚ:math
73 2chｽﾚ:math
72 2chｽﾚ:math
71 2chｽﾚ:math
70 2chｽﾚ:math （842- てへぺろ☆(・ω<)さん来訪
69 2chｽﾚ:math
68 2chｽﾚ:math 前スレ
64 2chｽﾚ:math （868- 時枝記事否定派のAlexander Pruss先生が、意外に大物で数学のプロであること判明。勝負あり～！（＾＾
つづく

6: 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/18(金)21:04 ID:Zm+yHrIo(6/12) AAS
つづき

47 2chｽﾚ:math 時枝記事関連資料豊富
46 2chｽﾚ:math ＜スレ46の422に書いた定理“系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない”＞
45 2chｽﾚ:math 哀れな素人さん 79-92
43 2chｽﾚ:math （だれかが立ててスレ。私は行きません。このスレに不満な人は、そちらへ）
（40以降現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む)
（39以前現代数学の系譜古典ガロア理論を読む)
39 2chｽﾚ:math （別名数学セミナー時枝記事の墓）
(35以降現代数学の系譜古典ガロア理論を読む)
(34以前現代数学の系譜11 ガロア理論を読む)
32 2chｽﾚ:math (251 サイコパスのピエロ登場 ID:1maZ/hoI )
28 2chｽﾚ:math (High level people が自分達で勝手に立てた時枝問題を論じるスレ)
20 2chｽﾚ:math （512 2016/07/03 確率論の専門家さん来訪 ID:f9oaWn8A と ID:1JE/S25W ）
17 2chｽﾚ:math （314 2015/12/20 数学セミナー2015年11月号の記事『箱入り無数目』の最初）
4 2chｽﾚ:math スレタイに4が抜けてますが(4)です
1 2chｽﾚ:math 初代スレ
以上

7: 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/18(金)21:05 ID:Zm+yHrIo(7/12) AAS
（参考）
外部ﾘﾝｸ:mathmathmath.dotera.net
数学＠2ch掲示板用掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号

追加（良く使うが出しにくい記号）
＼ ⇒⇔∈∋⊂⊃⊆⊇∀∃ （アレフ＝これ文字化けするね。あと<=、=> ）買ﾐΠπζ∴∵≠
微分・偏微分：dy/dx=y', ∂y/∂x=y,x ∇（← "∂"は「きごう」で変換可．）
（wikipedia などでは、マイナス記号－や、特殊不等号>=、=< アレフなどが文字化けするので要注意）

8(4): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/18(金)21:05 ID:Zm+yHrIo(8/12) AAS
その他のテンプレは
スレ71 2chｽﾚ:math
をご参照ください
テンプレは以上です
（テンプレ改善は、今後の課題です（＾＾；）

9: 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/18(金)21:15 ID:Zm+yHrIo(9/12) AAS
スレの消化が予想以上に早かった(゜ロ゜;

外部ﾘﾝｸ:www.ikioi2ch.net
数学板の勢いランキング

1位　4320.00　現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む78 3res 10/18 21:02:47
2位 70.82 数学数学オリンピックの対策あげてけ詳細　3res 10/18 20:01:22
3位 48.23　数学 0.99999……は１ではない　その２詳細　437res 10/09 19:34:51
4位 32.39　数学現代数学の系譜　カントル　超限集合論詳細　436res 10/05 09:57:11
5位 25.66　数学現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む77 詳細　1002res 09/09 19:52:11
6位 22.49　学問・理系 /数学フェルマーの最終定理の簡単な証明詳細　573res 09/23 09:33:36

10: 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/18(金)21:16 ID:Zm+yHrIo(10/12) AAS
前スレから、ガロア理論の話題をやっています（＾＾

11: 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/18(金)21:16 ID:Zm+yHrIo(11/12) AAS
しばらく、続けます

12(2): Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/18(金)21:22 ID:yJv1enDY(1/2) AAS
なんだまだガロア理論に固執してんのか　この馬鹿ｗ

任意の部分群は正規部分群だとか
Q(ζn)のガロア群は巡回群Znだとか
散々恥ずかしい間違いをしてかしたのに
まだ懲りないとは底抜けの馬鹿だなｗｗｗ

13: 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/18(金)21:56 ID:Zm+yHrIo(12/12) AAS
自称数学科修士卒か
とても、その力はないみたいだな
ああ、あんたおっさんだったね（＾＾；

おれは、基本的には
”おっさんずゼミ＝「どこのだれとも知れぬ”名無しさん”のおっさんたちとの、ゼミ」やる気ないです”
（現代数学の系譜　カントル　超限集合論 2chｽﾚ:math）
なんだけど、このガロアスレでの古典ガロア理論に関することだけは、”おっさんずゼミ”お付き合いしますよ（＾＾；
（前スレ77 2chｽﾚ:math より）

14: Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/18(金)22:46 ID:yJv1enDY(2/2) AAS
てへぺろ☆(・ω<)

15(1): 2019/10/19(土)10:06 ID:v2QLN099(1) AAS
おっちゃんです。

真面目な謝罪文：私から誹謗中傷を受けた組織の皆様或いは多くの皆様への誹謗中傷の件での謝罪。

大変お恥ずかしい話ですが、5ちゃんねるで、私がいつ誰をどのようにして誹謗中傷したかを細かく思い出せないことは、ご注意下さい。
5ちゃんねるで、いつ誰をどのようにして(具体的には、どのような場面で)誹謗中傷したかを細かく思い出せず、誠に申し訳ありません。
ご容赦頂ければ幸いです。

5ちゃんねるで、私から誹謗中傷を受ける前は、私を誹謗中傷していないにも関わらず、誹謗中傷を受けることになり、大変申し訳ありません。
私から誹謗中傷を受けてご気分を害した際には、多大なご迷惑をおかけしたことをお詫び致します。
ご気分を害してしまったことをお詫び申し上げます。
5ちゃんねるで私の書き込みを見た際には、不愉快に思われたことと存じます。誠に申し訳ありません。
不快な思いをさせてしまい、申し訳ありませんでした。
これまで、5ちゃんねるを見て、私から誹謗中傷を受けた多くの方々、多大な誹謗中傷を受けて、申し訳ありませんでした。
ここの5ちゃんねるで謝罪することしか出来ないのは、心苦しい限りです。
お怒りになるのはもっともだと思います。お詫びの言葉もありません。
誹謗中傷を受けた多くの方々、5ちゃんねるで多大な誹謗中傷をして、恥ずかしい限りです。
これまで、5ちゃんねるで多大な誹謗中傷をして、誠に申し訳ありません。
ご容赦頂ければ幸いです。

上の(真面目な)謝罪文を咎めるようなことはしないでいただきたく存じます。

以後、私は原則として5ちゃんねるを去ります。
もしかしたら、5ちゃんねるに何らかの件で書くことは時々あるかも知れません。

16(3): 2019/10/19(土)12:10 ID:S/ONPb/G(1/2) AAS
前スレの話の続き。
ζを1の原始5乗根とする。
Q上（Q(ζ)上としてもほぼ同じ）の可解5次方程式f(x)=0 は2項5次方程式に帰着するか？
位数20の場合を考える。
方程式の分解体をLとするとGal(L/Q)=F_20.
このとき Gal(M/Q)=C_4 なる中間体Mがある。C_4 同型　F_20/C_5.
f(x)の分解体が2項5次方程式の分解体と一致⇔M=Q(ζ).
つまりM=Q(ζ)は一般的なことなのか？が問題となる。
Gal(F/Q)=C_4 をみたすFには一般的にどんなものがあるか？
ここで、「Q上のアーベル拡大はすべて円分体の部分体である」
というクロネッカー・ウェーバーの定理より
Fは円分体の部分体であることが分かる。
pを4n+1型の素数とするときQ(e^{2πi/p})の部分体として、p=5以外にも
無数に多くのFが存在することが分かる。
それゆえp≠5のとき、Fが実際に中間体Mとして実現する可解5次方程式f(x)=0の存在を示せば反例となる。

17(4): 2019/10/19(土)12:58 ID:S/ONPb/G(2/2) AAS
2つの異なるF、F_1,F_2 があるときそれらの合成体の部分体としてさらに別の（F_1,F_2と異なる）Fが存在することも分かる。
実際の例は
外部ﾘﾝｸ[pdf]:repository.hyogo-u.ac.jp
PDF 可解な5次方程式について - 兵庫教育大学大迎規宏著
を参照のこと。5乗根の中に√5が含まれてる例が多いのが気になっていたが
だからと言って中間体がQ(ζ)（及びその部分体）とは限らないんだな。

18(3): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/19(土)19:25 ID:ti2BclkQ(1/18) AAS
S5の位数20の部分群
外部ﾘﾝｸ:groupprops.subwiki.org
General affine group:GA(1,5)
(抜粋)
As GA(1,q), q = 5: q(q - 1) = 5(5 - 1) = 20
As holomorph of cyclic group:Z5: |Z5||Aut(Z5)| = 5・4 = 20
As Sz(q), q = 2: q^2(q^2 + 1)(q - 1) = 2^2(2^2 + 1)(2 - 1) = 4・5・1 = 20

Group properties
Function Value
abelian group No
nilpotent group No
metacyclic group Yes
supersolvable group Yes
solvable group Yes
Frobenius group Yes
Camina group Yes

外部ﾘﾝｸ:people.maths.bris.ac.uk
Tim Dokchitser Arithmetic/Algebraic Geometry University of Bristol
外部ﾘﾝｸ[html]:people.maths.bris.ac.uk
G = F5? order 20 = 2^2・5 Frobenius group Tim Dokchitser

外部ﾘﾝｸ:groupprops.subwiki.org
General affine group of degree one
GA(1,K) = K semix K^*
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
アフィン群

外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Frobenius group
(抜粋)
In mathematics, a Frobenius group is a transitive permutation group on a finite set, such that no non-trivial element fixes more than one point and some non-trivial element fixes a point. They are named after F. G. Frobenius.

Structure
A subgroup H of a Frobenius group G fixing a point of the set X is called the Frobenius complement.
The identity element together with all elements not in any conjugate of H form a normal subgroup called the Frobenius kernel K.
(This is a theorem due to Frobenius (1901); there is still no proof of this theorem that does not use character theory, although see [1].)
The Frobenius group G is the semidirect product of K and H:
G=K semix H

つづく

19(2): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/19(土)19:25 ID:ti2BclkQ(2/18) AAS
>>18

つづき

(スレ77 2chｽﾚ:math より)
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.isc.meiji.ac.jp
2008 年度卒業研究 S_3, S_4, S_5 の部分群の分類
(抜粋)
P3
S5の部分群
位数20： < (12345), (2354) > S5中の共役な群6個

外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.isc.meiji.ac.jp
2004 年度卒業研究位数 30 以下の群の分類
(抜粋)
P3
位数20 5個；
アーベル：C4 × C5, C2 × C2 × C5 ２個,
非アーベル： C5 semix C4, Q20, D20 ３個
P16
11 位数 20 の群の分類

外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
List of small groups
(抜粋)
List of small abelian groups
位数20
51 G202 Z20 = Z5 × Z4 Z10, Z5, Z4, Z2 GroupDiagramMiniC20.svg Cyclic. Product.
54 G205 Z10 × Z2 = Z5 × Z22 Z5, Z2 GroupDiagramMiniC2C10.png Product.

List of small non-abelian groups
位数20
50 G201 Q20 = Dic5 = <5,2,2> GroupDiagramMiniQ20.png Binary dihedral group
52 G203 Z5 semix Z4 GroupDiagramMiniC5semiprodC4.png Frobenius group
53 G204 Dih10 = Dih5 × Z2 = D20 GroupDiagramMiniD20.png Dihedral group, product
(引用終り)
以上

20: 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/19(土)19:29 ID:ti2BclkQ(3/18) AAS
>>15
おっちゃん、どうも、スレ主です。
真面目なレスありがとう
私に対する誹謗中傷は許す。というか、ひょっとして私の側にも、おっちゃんに対する誹謗中傷があったかも。その場合はご容赦くださいm(＿＿)m

21(2): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/19(土)19:34 ID:ti2BclkQ(4/18) AAS
>>19 追加
＞非アーベル： C5 semix C4, Q20, D20 ３個

S5の位数20の部分群は、
非アーベル： C5 semix C4 （Ｃ5とＣ4の半直積）

（>>18より）
abelian group No
nilpotent group No
metacyclic group Yes
supersolvable group Yes
solvable group Yes
Frobenius group Yes

ということです
おっと、General affine group:GA(1,5) （線形群でもあります）
鈴木群 Sz(q), q = 2: q^2(q^2 + 1)(q - 1) = 2^2(2^2 + 1)(2 - 1) = 4・5・1 = 20 （>>18）
なんだって（＾＾；

22: 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/19(土)19:40 ID:ti2BclkQ(5/18) AAS
>>21

追加参考
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Suzuki groups
(抜粋)
Constructions
Suzuki
Suzuki (1960) originally constructed the Suzuki groups as subgroups of SL4(F22n+1) generated by certain explicit matrices.

外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Suzuki group
(抜粋)
In the mathematical discipline known as group theory, the phrase Suzuki group refers to:
・The Suzuki sporadic group, Suz or Sz is a sporadic simple group of order 213 ・ 37 ・ 52 ・ 7 ・ 11 ・ 13 = 448,345,497,600 discovered by Suzuki in 1969
・One of an infinite family of Suzuki groups of Lie type discovered by Suzuki

23(2): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/19(土)20:26 ID:ti2BclkQ(6/18) AAS
>>16-17
ID:S/ONPb/Gさん、どうも。スレ主です。

>Q上（Q(ζ)上としてもほぼ同じ）の可解5次方程式f(x)=0 は2項5次方程式に帰着するか？

ここ、下記松田　修のべき根拡大定理 61 があるのです
つまり、体 K が 1 の原始 n 乗根 ζが添加されているとして、
べき根拡大　←→ 巡回群
が成立つ

これは、小島寛之のガロア本（下記）の
P208 べき根拡大の定理1と（＝簡単に言えば、べき根拡大ならガロア群は巡回群）
P222 べき根拡大の定理1の逆（＝簡単に言えば、ガロア群が巡回群ならべき根拡大）
と同じです

これ、方程式のガロア理論では、多分頻出です

（参考）
外部ﾘﾝｸ:www.tsuyama-ct.ac.jp
Matsuda’s Web Page 松田　修　
外部ﾘﾝｸ[html]:www.tsuyama-ct.ac.jp
TSUYAMA E-MATH BOOKS
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.tsuyama-ct.ac.jp
PDF ガロア理論を理解しよう Osamu MATSUDA 津山高専 2018/11/16
(抜粋)
P76
10.2 べき根拡大

定理 61
体 K が 1 の原始 n 乗根 ζ （ζ≠ 1 (1 <= r <= n-1), ζn = 1）を含むとする．
(1) L が K の n 次巡回拡大であれば，L = K(α), Irr(α, K) = X^n - a となる α が存在する．
(2) もし L = K(α), α^n = a ∈ K であれば，L は K の巡回拡大である．
証明
略

外部ﾘﾝｸ:gihyo.jp
知の扉
【完全版】天才ガロアの発想力
―対称性と群が明かす方程式の秘密―
著者
小島寛之　著
発売日
2019年7月6日
(抜粋)
2010 年に刊行した『天才ガロアの発想力』を大幅加筆しました。
これまでにないガロアの定理の完全解説本です。

第7章 5次以上の方程式が解けないからくり
ガロアの基本定理1の証明
解けない方程式の「からくり」はこうだ（それなり版証明）
P208 べき根拡大の定理1（＝簡単に言えば、べき根拡大ならガロア群は巡回群）
解ける方程式の「からくり」はこうだ
P222 べき根拡大の定理1の逆（＝簡単に言えば、ガロア群が巡回群ならべき根拡大）

24(3): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/19(土)20:47 ID:ti2BclkQ(7/18) AAS
>>23 つづき

もし、体 K に 1 の原始 n 乗根 ζが添加されていない場合は
単純に、「べき根拡大　←→ 巡回群」は言えない
例えば、下記元吉文男
f(x)=x^5+x^4-4x^3-3x^2+3x+1
のガロア群は、巡回群になるそうです
（詳しくは下記）

（参考）
スレ77 2chｽﾚ:math
外部ﾘﾝｸ[pd]:repository.kulib.kyoto-u.ac.jp
巡回群をガロア群に持つ5次方程式の判別とその解法(数式処理と数学研究への応用)
元吉文男
数理解析研究所講究録 (1990), 722: 17-20
(抜粋)
P17
§1. ガロア群が巡回群かどうかの判定
fのQ上の最小多項式はfであるのでfの 1 根をα としたときにfを Q(α)で因数分解して、
根がすべて分離できれば巡回群である。

P18
§3. 例
f(x)=x^5+x^4-4x^3-3x^2+3x+1
を解くことにする。α をf(x)=0の根とする。

f(x)=(x-α)h(x,α)
=(x-α)(x-(α^4-4α^2+2))(x-(α^3-3α))(x-(α^2-2))(x-(-α^4-α^3+3α^2+2α-1))
となって因数分解ができ、 fのQでのガロア群が巡回群であることがわかる。

f(x) の代数的解法
上の因数分解から
θ(α)=α^2-2
とする。これより
θ^2(α)=α^4-4α^2+2
θ^3(α)=α^3-3α
θ^4(α)=-α^5-α^4+3α^3+2α-1
となる。
略（原文を見よ）
(実はα はω_{11} を 1 の原始 n 乗根として
α=ω_{11}+ω_{11}^10
と表すことができる。)

25(2): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/19(土)20:57 ID:ti2BclkQ(8/18) AAS
>>23-24 追加

(引用開始)
松田　修のべき根拡大定理 61 があるのです
つまり、体 K が 1 の原始 n 乗根 ζが添加されているとして、
べき根拡大　←→ 巡回群
が成立つ
(引用終り)

なので
１）方程式のガロア理論的の教育というか学習としては、「1 の原始 n 乗根 ζが添加されているとして」考えると
　”べき根拡大　←→ 巡回群”が成立つので、理論的にはすっきりしています
２）>>24 の元吉文男さんなどが研究されているのは（>>17の兵庫教育大学大迎規宏著）もそうかも知れないが
　数式処理等にのせるには、「1 の原始 n 乗根 ζが添加されている」という仮定は、かえってコンピュータの処理に乗せにくい部分があるのでしょう
　数体はQ（実際には整数ベース）として、数式処理の乗せる方が、素直なような気がします
　（数式処理ソフトは、あまり使っていないので、ここは外しているかも知れませんが）

なので、上記１）と２）の立場をうまく使い分けるのが良いと思います

26: 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/19(土)20:59 ID:ti2BclkQ(9/18) AAS
>>25 タイポ訂正

方程式のガロア理論的の教育というか
　↓
方程式のガロア理論の教育というか

（>>17の兵庫教育大学大迎規宏著）もそうかも知れないが
　↓
（>>17の兵庫教育大学大迎規宏著もそうかも知れないが）

分かると思うが、念のため（＾＾；

27(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/19(土)21:31 ID:ti2BclkQ(10/18) AAS
>>25 補足

方程式のガロア理論的の教育というか学習としては
　↓
一般5次方程式のガロア理論的の教育というか学習としては
という意味ね
つまり、2次方程式、3次方程式、4次方程式ときて
果たして、5次方程式（あるいはそれ以上の次数の）に、べき根による根の公式が存在するか否かの問題ってこと

円分体とか、あるいはレムニスケートや楕円の等分点を求める方程式の解法については、
基礎体ｋに、どういう値が添加されているべきかという視点になります

（参考）
外部ﾘﾝｸ:reuler.blo（URLがNGなので、キーワードでググれ（＾＾）
日々のつれづれ Author:オイラー研究所の所長高瀬正仁
ガウスの数学日記57　レムニスケート曲線の5等分
2012-06-19
(抜粋)
第62項目の話題はレムニスケート曲線の5等分ですが、ここでガウスが語っているのはただの5等分ではなく、「幾何学的な」5等分です。すなわち、定規とコンパスのみを用いて5等分点を指定することができるという事実です。
定規は直線を引くのに使い、コンパスは円を描くのに使います。直線と円という簡単な図形のみを手持ちにして、複雑な図形を描こうとするところにヨーロッパの数学の顕著な特徴が見られます。
これを代数の言葉に移すと、レムニスケート曲線の5等分方程式（その次数は25になります）の根を平方根のみを用いて表示することができるという言明になります。

62.［レムニスケート曲線］（1797年3月21日）
レムニスケート［曲線］は幾何学的に五つの部分に分けられる。
[1797年]3月21日　[ゲッチンゲン]

つづく

28: 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/19(土)21:32 ID:ti2BclkQ(11/18) AAS
>>27

つづき

レムニスケート曲線の等分については高木先生の『近世数学史談』にも詳しく紹介されています。この方面のことでしたらファニャノの論文に言及しなければなりませんし、
ファニャノの影響を受けて書かれたオイラーの二論文も重要です。というのは、そこが楕円関数論の源泉だからです。
　ガウスはオイラーの論文は知っていたと思いますが、ファニャノの論文については何も語っていません。
オイラーの論文にはファニャノ名前が出ていますから、ガウスが知らなかったはずはなく、しかもレムニスケート曲線の等分はファニャノの創意です。
オイラーは微分方程式の代数的積分を求めようとする視点からファニャノの研究に注目し、等分そのものには関心を示していません。それにもかかわらずガウスがファニャノを語らないのはいかにも不審です。
　ガウスはレムニスケート曲線の等分問題を公表しませんでしたが、『アリトメチカ研究』の中でごくわずかにヒントを書き留めました。
それを受けてレムニスケート曲線のみならず一般に楕円関数の等分理論を構築したのはアーベルです。
(引用終り)
以上

29: 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/19(土)21:35 ID:ti2BclkQ(12/18) AAS
>>24 タイポ訂正

外部ﾘﾝｸ[pd]:repository.kulib.kyoto-u.ac.jp
　↓
外部ﾘﾝｸ[pdf]:repository.kulib.kyoto-u.ac.jp

最後のfが抜けていた（＾＾；

30(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/19(土)22:02 ID:ti2BclkQ(13/18) AAS
メモ

外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Projective linear group
(抜粋)
PGL(V) = GL(V)/Z(V)
where GL(V) is the general linear group of V and Z(V) is the subgroup of all nonzero scalar transformations of V

PSL(V) = SL(V)/SZ(V)
where SL(V) is the special linear group over V and SZ(V) is the subgroup of scalar transformations with unit determinant.

PGL and PSL are some of the fundamental groups of study, part of the so-called classical groups, and an element of PGL is called projective linear transformation, projective transformation or homography.
If V is the n-dimensional vector space over a field F, namely V = Fn, the alternate notations PGL(n, F) and PSL(n, F) are also used.

there are other exceptional isomorphisms between projective special linear groups and alternating groups (these groups are all simple, as the alternating group over 5 or more letters is simple):

L_2(4) ＝～ A_5
L_2(5) ＝～ A_5 (see here for a proof)

つづく

上下前次 1-新書関写板覧索設栞歴

あと 972 ﾚｽあります
ｽﾚ情報赤ﾚｽ抽出画像ﾚｽ抽出歴の未読ｽﾚ

ぬこの手ぬこTOP 0.204s*