[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む78 (1002ﾚｽ)
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1(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/18(金)21:01 ID:Zm+yHrIo(1/12) AAS
この伝統あるガロアすれは、皆さまのご尽力で、
過去、数学板での勢いランキングで、常に上位です。
このスレは、現代数学のもとになった物理・工学の雑談スレとします。たまに、“古典ガロア理論も読む”とします。
それで宜しければ、どうぞ。
後でも触れますが、基本は私スレ主のコピペ・・、まあ、言い換えれば、スクラップ帳ですな〜（＾＾
最近、AIと数学の関係が気になって、その関係の記事を集めています〜（＾＾
いま、大学数学科卒でコンピュータサイエンスもできる人が、求められていると思うんですよね。
スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。関連のアーカイブの役も期待して。
話題は、散らしながらです。時枝記事は、気が向いたら、たまに触れますが、それは私スレ主の気ままです。
スレ46から始まった、病的関数のリプシッツ連続の話は、なかなか面白かったです。
興味のある方は、過去ログを（＾＾
なお、
小学レベルとバカプロ固定
サイコパスのピエロ（不遇な「一石」外部ﾘﾝｸ:textream.yahoo.co.jp 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets （Yahoo!でのあだ名が、「一石」。知能が低下してサルになっています）
（参考）外部ﾘﾝｸ:blog.goo.ne.jp サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日
（なお、サイコの発言集「実際に人を真っ二つに斬れたら 爽快極まりないだろう」、「狂犬」、「イヌコロ」、「君子豹変」については後述（＾＾； ）
High level people （知能の低い者が、サルと呼ばれるようになり、残りました。ｗ（＾＾； ）
低脳幼稚園児のAAお絵かき
上記は、お断り！！
小学生がいますので、18金（禁）よろしくね！（＾＾
（旧スレが1000オーバー（又は間近）で、新スレを立てた）
8(4): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/18(金)21:05 ID:Zm+yHrIo(8/12) AAS
その他のテンプレは
スレ71 2chｽﾚ:math
をご参照ください
テンプレは以上です
（テンプレ改善は、今後の課題です（＾＾； ）
16(3): 2019/10/19(土)12:10 ID:S/ONPb/G(1/2) AAS
前スレの話の続き。
ζを1の原始5乗根とする。
Q上（Q(ζ)上としてもほぼ同じ）の可解5次方程式f(x)=0 は2項5次方程式に帰着するか？
位数20の場合を考える。
方程式の分解体をLとするとGal(L/Q)=F_20.
このとき Gal(M/Q)=C_4 なる中間体Mがある。C_4 同型 F_20/C_5.
f(x)の分解体が2項5次方程式の分解体と一致⇔M=Q(ζ).
つまりM=Q(ζ)は一般的なことなのか？ が問題となる。
Gal(F/Q)=C_4 をみたすFには一般的にどんなものがあるか？
ここで、「Q上のアーベル拡大はすべて円分体の部分体である」
というクロネッカー・ウェーバーの定理より
Fは円分体の部分体であることが分かる。
pを4n+1型の素数とするときQ(e^{2πi/p})の部分体として、p=5以外にも
無数に多くのFが存在することが分かる。
それゆえp≠5のとき、Fが実際に中間体Mとして実現する可解5次方程式f(x)=0の存在を示せば反例となる。
17(4): 2019/10/19(土)12:58 ID:S/ONPb/G(2/2) AAS
2つの異なるF、F_1,F_2 があるときそれらの合成体の部分体としてさらに別の（F_1,F_2と異なる）Fが存在することも分かる。
実際の例は
外部ﾘﾝｸ[pdf]:repository.hyogo-u.ac.jp
PDF 可解な5次方程式について - 兵庫教育大学 大迎規宏 著
を参照のこと。5乗根の中に√5が含まれてる例が多いのが気になっていたが
だからと言って中間体がQ(ζ)（及びその部分体）とは限らないんだな。
18(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/19(土)19:25 ID:ti2BclkQ(1/18) AAS
S5の位数20の部分群
外部ﾘﾝｸ:groupprops.subwiki.org
General affine group:GA(1,5)
(抜粋)
As GA(1,q), q = 5: q(q - 1) = 5(5 - 1) = 20
As holomorph of cyclic group:Z5: |Z5||Aut(Z5)| = 5・4 = 20
As Sz(q), q = 2: q^2(q^2 + 1)(q - 1) = 2^2(2^2 + 1)(2 - 1) = 4・5・1 = 20
Group properties
Function Value
abelian group No
nilpotent group No
metacyclic group Yes
supersolvable group Yes
solvable group Yes
Frobenius group Yes
Camina group Yes
外部ﾘﾝｸ:people.maths.bris.ac.uk
Tim Dokchitser Arithmetic/Algebraic Geometry University of Bristol
外部ﾘﾝｸ[html]:people.maths.bris.ac.uk
G = F5? order 20 = 2^2・5 Frobenius group Tim Dokchitser
外部ﾘﾝｸ:groupprops.subwiki.org
General affine group of degree one
GA(1,K) = K semix K^*
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
アフィン群
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Frobenius group
(抜粋)
In mathematics, a Frobenius group is a transitive permutation group on a finite set, such that no non-trivial element fixes more than one point and some non-trivial element fixes a point. They are named after F. G. Frobenius.
Structure
A subgroup H of a Frobenius group G fixing a point of the set X is called the Frobenius complement.
The identity element together with all elements not in any conjugate of H form a normal subgroup called the Frobenius kernel K.
(This is a theorem due to Frobenius (1901); there is still no proof of this theorem that does not use character theory, although see [1].)
The Frobenius group G is the semidirect product of K and H:
G=K semix H
つづく
24(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/19(土)20:47 ID:ti2BclkQ(7/18) AAS
>>23 つづき
もし、体 K に 1 の原始 n 乗根 ζが添加されていない場合は
単純に、「べき根拡大 ←→ 巡回群」は言えない
例えば、下記 元吉 文男
f(x)=x^5+x^4-4x^3-3x^2+3x+1
のガロア群は、巡回群になるそうです
（詳しくは下記）
（参考）
スレ77 2chｽﾚ:math
外部ﾘﾝｸ[pd]:repository.kulib.kyoto-u.ac.jp
巡回群をガロア群に持つ5次方程式の判別とその解法(数式処理と数学研究への応用)
元吉 文男
数理解析研究所講究録 (1990), 722: 17-20
(抜粋)
P17
§1. ガロア群が巡回群かどうかの判定
fのQ上の最小多項式はfであるのでfの 1 根をα としたとき にfを Q(α)で因数分解して、
根がすべて分離できれば巡回群である。
P18
§3. 例
f(x)=x^5+x^4-4x^3-3x^2+3x+1
を解くことにする。α をf(x)=0の根とする。
f(x)=(x-α)h(x,α)
=(x-α)(x-(α^4-4α^2+2))(x-(α^3-3α))(x-(α^2-2))(x-(-α^4-α^3+3α^2+2α-1))
となって因数分解ができ、 fのQでのガロア群が巡回群であることがわかる。
f(x) の代数的解法
上の因数分解から
θ(α)=α^2-2
とする。 これより
θ^2(α)=α^4-4α^2+2
θ^3(α)=α^3-3α
θ^4(α)=-α^5-α^4+3α^3+2α-1
となる。
略（原文を見よ）
(実はα はω_{11} を 1 の原始 n 乗根として
α=ω_{11}+ω_{11}^10
と表すことができる。)
38(4): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/20(日)01:05 ID:f+LcfVi/(3/25) AAS
>>19
補足
位数20から
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.isc.meiji.ac.jp
2004 年度卒業研究 位数 30 以下の群の分類
に書いてあるけど
P16
5-シロー部分群の数 n5 が存在して
これは、当然素数5の群だから巡回群C5だが
アーベルと、非アーベルに分けて
非アーベルの場合で
20＝5ｘ4 で、5で割った残りの位数4の群を場合分けして、S5の部分群の候補が出るけど
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.isc.meiji.ac.jp
2008 年度卒業研究 S_3, S_4, S_5 の部分群の分類
に書いてあるような手法で、絞り込んで
（非アーベル）の 「C5 semix C4」に決めることができるってことだね
45(9): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/20(日)07:56 ID:f+LcfVi/(5/25) AAS
>>40
>S_5の部分群を分類しても、それが実際に既約5次方程式のガロア群になりうるかはまた別の話。
"ガロアの逆問題" ですね
”All permutation groups of degree 16 or less are known to be realizable over Q [4]; the group PSL(2,16):2 of degree 17 may not be [5].”
なので、S_5の場合は、答えは”Yes”ですね
（参考）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ガロア理論
(抜粋)
逆問題
与えられた方程式（あるいは体のガロア拡大）のガロア群を計算する問題を "ガロアの順問題"、与えられた群をガロア群にもつ方程式（あるいは体の拡大）を構成する問題を "ガロアの逆問題" と呼ぶことがある。
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Galois theory
(抜粋)
Contents
6 Inverse Galois problem
Inverse Galois problem
Main article: Inverse Galois problem
The inverse Galois problem is to find a field extension with a given Galois group
As long as one does not also specify the ground field, the problem is not very difficult, and all finite groups do occur as Galois groups. For showing this, one may proceed as follows.
つづく
46(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/20(日)07:57 ID:f+LcfVi/(6/25) AAS
>>45
つづき
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Inverse Galois problem
(抜粋)
Question, Web Fundamentals.svg Unsolved problem in mathematics:
Is every finite group the Galois group of a Galois extension of the rational numbers?
(more unsolved problems in mathematics)
Contents
1 Partial results
2 A simple example: cyclic groups
2.1 Worked example: the cyclic group of order three
3 Symmetric and alternating groups
3.1 Alternating groups
3.1.1 Odd Degree
3.1.2 Even Degree
4 Rigid groups
5 A construction with an elliptic modular function
Partial results
All permutation groups of degree 16 or less are known to be realizable over Q [4]; the group PSL(2,16):2 of degree 17 may not be [5].
All 13 non-Abelian simple groups smaller than PSL(2,25) (order 7800) are known to be realizable over Q. [6]
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Permutation group
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
置換 (数学)
以上
51(5): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/20(日)09:29 ID:f+LcfVi/(8/25) AAS
>>47
無理しなくていいぞ
>位数はｐ（ｐ−１）で非可換群
位数がｐ（ｐ−１）だから非可換とは言えないだろう？
例えば、P=7で、ｐ（ｐ−１）＝42＝7x3x2
と分解して、各巡回群の直積
C7xC3xC2 を考えたら
明らかに、位数42で、アーベルだから
じゃ、位数42で非可換という条件なら？
下記、脇克志 フリーソフトのGAP使えば、すぐ出るらしい（＾＾
そのうちやってみるかｗ
でな
下記wiki”For every finite field Fq with q (> 2) elements, the group of invertible affine transformations x→ ax+b, a≠ 0 acting naturally on Fq is a Frobenius group. ”ってことよ
「 x→ ax+b」が、ガロア第一論文に出てくる
ガロア第一論文読んでないやつには、分からん話だよ
（参考）
外部ﾘﾝｸ:fe.math.kobe-u.ac.jp
外部ﾘﾝｸ:fe.math.kobe-u.ac.jp
外部ﾘﾝｸ[html]:www.math.kobe-u.ac.jp
計算による数理科学の展開 (外部ﾘﾝｸ:www.math.kobe-u.ac.jp
外部ﾘﾝｸ[html]:www.math.kobe-u.ac.jp
講義, 講演等のビデオを公開するプロジェクト
外部ﾘﾝｸ[html]:fe.math.kobe-u.ac.jp
- 計算による数理科学の展開, Video Archives -
講演: 脇克志
内容: GAPを利用した有限群論
予備知識: 代数の初歩
ソース: 数学ソフトウェアとフリードキュメント 5 , 2007年9月20日（木), 東北大学
要約: KNOPPIX/MATH にも収録されている 代数計算ソフト GAPを使った有限群論を教える試みを紹介します。GAPを利用して有限群を実感させる講義を行った時の成功と失敗を通して、教育ツールとしてのGAPの利用方法を考えて行きます。
外部ﾘﾝｸ[pdf]:fe.math.kobe-u.ac.jp
- 計算による数理科学の展開, Video Archives -
講演: 脇克志 数学ソフトウェアとフリードキュメント 5 , 2007年9月20日（木), 東北大学
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Frobenius group
(抜粋)
Examples
・For every finite field Fq with q (> 2) elements, the group of invertible affine transformations x→ ax+b, a≠ 0 acting naturally on Fq is a Frobenius group.
60(4): {} ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/20(日)15:23 ID:n9MZ9SCV(7/14) AAS
>>57
＞”無理しなくていいぞ”
円分体の同型変換も分かってなかったくせに
ガロアの第一論文を理解してるつもりの
無理無理馬鹿に質問だｗ
対称群S7の部分群である位数7*6の群は
２つの生成元から生成される
その１つは(1234567)だ
ではもう1つの生成元は？
注：生成元となりうる元は複数あるが、どれか１つ挙げればよしとしてやろうｗ
80(3): 2019/10/20(日)19:50 ID:1gpHuTQE(8/8) AAS
>>77
何を言っているのか分かりません。
ヒント：
Q上S_nをガロア群として持つガロア拡大が存在することは比較的簡単に証明される。
一般方程式（係数が不定元）ではなく、数字方程式としてです。
これはガロア逆問題で最も基本的な結果です。
この事実を使ってよいものとします。
81(3): {} ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/20(日)20:12 ID:n9MZ9SCV(11/14) AAS
スレ主はx→ ax+bという情報があっても
>>60の問題に答えられないｗ
答えは(243756)
要するに(Z/7Z)×の生成元を見つければいい
で、それは3
1→3→2(=9)→6→4(=18)→5(=12)→1(=15)
で、置換は1〜7の元だったから、1足せば(243756)
ついでにいうとa(x+b)とax+bは等しくないから非可換だね
1234567
↓+1
2345671
↓×3
4736251
1234567
↓×3
1473625
↓+1
2514736
99(3): {} ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/21(月)19:51 ID:fwDtM7dP(4/13) AAS
馬鹿がめんどくさがる計算ｗ
1,ζ,ζ^2,ζ^3,ζ^4,ζ^5,ζ^6
↓^3
1,ζ^3,ζ^6,ζ^2,ζ^5,ζ,ζ^4
↓^3
1,ζ^2,ζ^4,ζ^6,ζ,ζ^3,ζ^5
↓^3
1,ζ^6,ζ^5,ζ^4,ζ^3,ζ^2,ζ
↓^3
1,ζ^4,ζ,ζ^5,ζ^2,ζ^6,ζ^3
↓^3
1,ζ^5.ζ^3,ζ,ζ^6,ζ^4,ζ^2
↓
1,ζ,ζ^2,ζ^3,ζ^4,ζ^5,ζ^6
これで1を先頭とする６個の順列ができたから
あとはそれぞれぐるぐる回しすれば
６×７＝４２個の順列が出来上がりｗｗｗ
107(3): 2019/10/21(月)21:16 ID:qT2QtwAU(3/3) AAS
それで任意の有限群が実際にあるガロア拡大K/kのガロア群となることは証明できましたか？
スレ主は検索で引っかからないような「自明すぎるから誰も問題にしていない
でも暗黙にはその分野のひとは皆当然分かってる」ような話に弱いですねｗ
117(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/21(月)23:57 ID:P3acsak1(9/9) AAS
>>107
>それで任意の有限群が実際にあるガロア拡大K/kのガロア群となることは証明できましたか？
>スレ主は検索で引っかからないような「自明すぎるから誰も問題にしていない
>でも暗黙にはその分野のひとは皆当然分かってる」ような話に弱いですねｗ
「自明すぎるから誰も問題にしていない
でも暗黙にはその分野のひとは皆当然分かってる」
ええ、>>87
「ガロア対応の基本中の基本ですよ。
基礎体を特に定めなくてもいいなら
任意の有限群Gを持つガロア拡大K/kの存在が示せる。」
でしたね
そういうのは、一般に”存在定理”とかいうそうですよ
どぞ、証明を（＾＾
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
存在定理
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Existence theorem
(抜粋)
In mathematics, an existence theorem is a theorem with a statement beginning 'there exist(s) ..', or more generally 'for all x, y, ... there exist(s) ...'. That is, in more formal terms of symbolic logic, it is a theorem with a prenex normal form involving the existential quantifier.
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
カラテオドリの存在定理
122(4): 2019/10/22(火)06:15 ID:t2rCNfO0(1/7) AAS
>>117
1.Q上対称群S_n（nは2以上の任意整数）をガロア群としてもつガロア拡大K/Q が存在する。
2.任意の有限群Gはあるnに対してS_nの部分群と同型。（つまりGは忠実な置換表現を持つ。）
3.ガロア対応。S_nの任意の部分群Gに対してGの不変体をkとするとK/kはガロア拡大でGal(K/k)=G。
1.は>>80のヒントに書いた。決して自明ではなく、証明されるべきこと。
2.,3. は代数の常識。
129(7): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/22(火)07:51 ID:u309yKT7(5/15) AAS
>>122-123
> 2.任意の有限群Gはあるnに対してS_nの部分群と同型。（つまりGは忠実な置換表現を持つ。）
それって、ケーリー（Cayley）の定理でしょ？
いま問題にしているのは "ガロアの逆問題"（下記）で、与えられた群をガロア群にもつ方程式（あるいは体の拡大）を構成する問題ですよ
ちょっと違うんじゃない？
つまり"ガロアの逆問題"は、与えられた群Gを含む大きなガロア群（例えば大きなSn）を見つける問題ではなく、「群Gそのものがガロア群になる体の拡大が存在するかどうか」という問題でしょ？
参考
外部ﾘﾝｸ[html]:okwave.jp
任意の有限群は、適当な置換群 Sn(N) の部分群？ loboskobay OKWAVE 2009/09/05 質問No.5264057
(抜粋)
「任意の有限群は適当な置換群 Sn(N) の部分群である」
ベストアンサー zk43 2009/09/05
定理の名前でいえば、
ケーリー（Cayley）の定理といいます。
証明の概略としては、Gを位数nの有限群として、
a∈Gを一つ取り、x→ax（x∈G）で写像fa:G→G
を定めると、これは全単射であり、Gの置換を
引き起こします。Gの置換全体の集合をSGとすると、
明らかにSGとSnは同型です。
そして、a→faによって写像φ：G→SGを定めると、
これは単射準同型になるので、GはSGに埋め込まれる、
すなわち、GはSnの部分群と同型となる、といえます。
（>>45より）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ガロア理論
(抜粋)
逆問題
与えられた方程式（あるいは体のガロア拡大）のガロア群を計算する問題を "ガロアの順問題"、与えられた群をガロア群にもつ方程式（あるいは体の拡大）を構成する問題を "ガロアの逆問題" と呼ぶことがある。
つづく
139(3): 2019/10/22(火)09:14 ID:wdQutmDL(1) AAS
>>129
3年もガロア理論勉強してコレだもん。
ほとんど何もわかってないなとしか見えない。
ヨコなのであんまり詳しくは書かないけど、とにかく話を数式に起こしてキッチリ考えてみなよ？
問題は
1)
∀G finite gp. ∃ K/k fileds s.t.
・K/k galois ext.
・Gal(K/k) ≅ G
だよ？
で自分で証明できるかどうかはともかくとして
2)
∀n natural num. ∃ K/k fileds s.t.
・K/k galois ext.
・Gal(K/k) ≅ S_n
は知ってるんだよね？
コレはわかる？
3)
∀G finite gp. ∃n natural number ∃H ⊂ S_n sub gp. s.t.
・G ≅ H。
2) と3)が証明できるなら1)も証明できるハズだけど？
どっちかできないの？
149(4): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/22(火)10:53 ID:u309yKT7(13/15) AAS
>>138-139
？
ケーリー（Cayley）の定理（>>129）より
任意の群Gは、置換群による表現を持ち、ある大きな対称群Snに含まれる
そして、ある体E上で、対称群Snをもつ一般方程式（それはn次になる）が存在して、代数拡大F/Eが得られる
これは、Q上でも同じ
それで良いなら、
ガロア逆問題
”All permutation groups of degree 16 or less are known to be realizable over Q [4]; the group PSL(2,16):2 of degree 17 may not be [5].”
なんてことにはならないでしょ？ なんで、”the group PSL(2,16):2 of degree 17 may not be [5].”なの？
ある体E上で、PSL(2,16)を使って、拡大体Fがどうなるか？
どぞ、PSL(2,16)の拡大体Fを示してください
>>46
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Inverse Galois problem
(抜粋)
( unsolved problems in mathematics)
Partial results
All permutation groups of degree 16 or less are known to be realizable over Q [4]; the group PSL(2,16):2 of degree 17 may not be [5].
参考
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
代数拡大
(抜粋)
抽象代数学において、体の拡大 L/K は次を満たすときに代数的（英: algebraic）であると言う。
L のすべての元は K 上代数的である、すなわち、L のすべての元は K 係数のある 0 でない多項式の根である。代数的でない体の拡大、すなわち超越元を含む場合は、超越的 (transcendental) と言う。
例えば、体の拡大 R/Q, すなわち有理数体の拡大としての実数体は、超越的であるのに対し、体の拡大 C/R や Q(√2)/Q は代数的である。ここで C は複素数体である。
すべての超越拡大は無限次元の拡大である。言い換えるとすべての有限次拡大は代数的ということになる[1]。しかしながら逆は正しくない。無限次代数拡大が存在する。例えば、代数的数体は有理数体の無限次代数拡大である。
a が K 上代数的であれば、K 係数の a による多項式全体の集合 K[a] は環であるだけでなく体である：K 上有限次の K の代数拡大である。逆もまた正しく、K[a] が体ならば a は K 上代数的である。特別な場合として、K = Q が有理数体のときは、Q[a] は代数体の例である。
176(7): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/24(木)17:13 ID:zndIMm6S(2/3) AAS
>>173
ID:V4UM6AG2さん、どうもスレ主です。
あなたは、かなり勉強されているみたいだから、もう少し教えてもらえますか？
少し、記号を整備しましょう。
下記、ガロア理論の基本定理にならいます。
基礎体F、拡大体E、中間体K、有理数体Q
体の有限次ガロア拡大 E/Fのガロア群 Gal(E/F)
基礎体F上、F係数の一般ｎ次方程式による体の拡大を考えて、拡大体Eが得られたとする
（簡単のために、FはQ上の代数拡大体とする）
Gal(E/F) ＝Sn （n次対称群）
体：Q ⊆ F ⊆ K ⊆ E
↓↑（ガロア対応）
群：S'⊇ Sn⊇ G ⊇{e}
ここに、GはSnの部分群で、S'はSnを含む群、 {e}は単位元からなる自明な群
（そして、ケーリー（Cayley）の定理（>>129）から、Snを十分大きく取れば、任意の群Gに対して、”Sn⊇ G”成立）
で、あなたは、
体：F ⊆ K ⊆ E
↓↑（ガロア対応）
群：Sn⊇ G ⊇{e}
なら、作れるといったわけですよね（>>80）
（体 F、K、E を自由に選んで良いなら、自由度が上がっている？ ）
でも、ガロア逆問題は
体：Q ⊆ K
↓↑（ガロア対応）
群：G ⊇{e}
となる体：Q ⊆ K （Q上の拡大体K）が存在するかどうか（あるいは見つける）ですよね（あなたの言葉を借りれば）
そういう理解で良いですかね？
なるほど
しかし、Qに限らないのでは？ 自由度の問題では？
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ガロア理論の基本定理
(抜粋)
定理の最も基本的な主張は「体の有限次ガロア拡大 E/F が与えられると、その中間体とガロア群 Gal(E/F) の部分群の間に一対一対応が存在する」ことである。
（中間体とは、F ⊆ K ⊆ E を満たす体のことを言う、それらを E/F の部分拡大と言う。）
つづく
190(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/25(金)18:50 ID:xcx18NtP(1/7) AAS
>>176
なるほど なるほど
分かりました 分かりました
"ガロアの逆問題"：
「ある基礎体Eに対して、群Gを与えたとき、拡大体Fを求めよ」という問題ですね
で、この視点から、これを広く解釈すれば、類体論もこの類の問題になる（後述）
１）可換の場合
・基礎体Q、1 の冪根（円関数）で、クロネッカー?ヴェーバーの定理
・有理数体の虚二次拡大体の場合、高木類体論（楕円曲線の虚数乗法）
・一般の基礎体Fなら、ノイキルヒの本らしい
２）非可換の場合
・ラングランズ対応
３）これ以外で、数論幾何における高次局所体および高次大域体のアーベル拡大
・A. パーシン、加藤和也、イヴァン・フェセンコ、スペンサー・ブロック、斎藤秀司ら
とか書かれていますね（下記）
イヴァン・フェセンコ先生は、例のIUTで望月先生を支持している方かな？
ではまた（＾＾
（参考）
（>>45-46）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ガロア理論
(抜粋)
逆問題
与えられた方程式（あるいは体のガロア拡大）のガロア群を計算する問題を "ガロアの順問題"、与えられた群をガロア群にもつ方程式（あるいは体の拡大）を構成する問題を "ガロアの逆問題" と呼ぶことがある。
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Inverse Galois problem
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
イヴァン・フェセンコ（Ivan Fesenko）は、数論および現代数学での他分野との（数論の）相互作用を研究している、ロシアの数学者である。
(抜粋)
フェセンコは、望月新一の宇宙際タイヒミューラー理論（英語版）(Inter-universal Teichmuller theory、IUT)の研究を整頓するうえで積極的な役割を果たした。
つづく
198(3): 2019/10/25(金)19:45 ID:QC0xCFfP(1/3) AAS
スレ主は>>117の問題は自明だということは分かりましたか？
そんな簡単な問題にさえ自答できない
古典的ガロア理論も全然身に付いてないのに
そんな難しい話をコピペしても無意味でしょう
自分でおかしいと思わないんですか？
215(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/26(土)11:03 ID:fHUQGPHQ(2/24) AAS
>>190
Fesenko先生、下記 渡邉崇
”高次元局所類体論の諸定理を I.B.Fesenko([F2]) の方法で示した”か
で、ところで、下記はOpenなのか
”今のところ素体 (有理数体 Q および有限体) に関係する体において、扱いやすい形で
Abel 拡大における Galois 群を近似する方法・すなわち類体論がいくつか知られているわ
けだが、素体によらない体で、類体論が構成され得るのか? また１世紀以上過ぎても依然
として Hilbert23 の問題の未解決問題として残っている類体の構成問題は、類体論が証明
されているすべての体上で解決できる問題なのか? など代数体の類体論が完成して、一世
紀弱が経過しているが、類体論について考えるべき問題が依然として多く残されている.”
類体論を、ガロアの逆問題（>>45）として見たとき
ガロア群がアーベルの場合は、類体論が役に立つ
では、
・ガロア群がアーベルの場合には、類体論で全て尽くされているのかどうか？
・ガロア群が非アーベルの場合は、どこまで解明されたのか？
外部ﾘﾝｸ:www.math.kyoto-u.ac.jp
雪江明彦のホームページ
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.kyoto-u.ac.jp
Parshin による高次元局所類体論の構成について M2 渡邉 崇 2007年修士卒業 東北大学
目次
2 高次元局所体 7
2.1 諸定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 高次元局所体の位相 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1 序文
1.1 概略
本修士論文は A.N.Parshin([P1]) による高次元局所類体論の主定理の証明の紹介と、そ
の論文の中で示されていない高次元局所類体論の諸定理を I.B.Fesenko([F2]) の方法で示
した、標数 p (> 0) の高次元局所類体論の証明である. 主にこの論文通じて示したいこと
は次の主定理と類体論の諸定理である.
定理 1.1 (高次元局所類体論の主定理). F を標数 p (> 0) が n 次元局所体. Ktop
n (F) を
位相的 n 次 Milnor K-group とするとき
ψF : Ktopn(F) → Gal(Fab/F)
単射連続な準同型 ψF でその image が dense となるものが存在する.
つづく
272(4): 2019/10/27(日)12:44 ID:ek6S6+eD(3/9) AAS
スレ主さんは貼りまくってるけど
「正規部分群を理解していない」「円分体のガロア群を誤解している」
「ガロアの基本定理さえ理解していない」という話が出てますね。
まずは基礎からでしょう。それをやらずに高度な話を試みても虚しいでしょ？
>>243では4大トンデモスレの一つに認定されちゃってますよ。
305(4): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/29(火)10:59 ID:wEoW+rwB(2/9) AAS
コテハンが抜けたか（＾＾
>>300 追加
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Partial results
(抜粋)
All permutation groups of degree 16 or less are known to be realizable over Q [4]; the group PSL(2,16):2 of degree 17 may not be [5].
All 13 non-Abelian simple groups smaller than PSL(2,25) (order 7800) are known to be realizable over Q. [6]
(引用終り)
なので、
” the group PSL(2,16):2 of degree 17 may not be be realizable over Q.”が素直な解釈では？
なお、PSL(2,16):2の何がそんなに難しいのか、さっぱり理解できませんが（＾＾；
[5] PSL(2,16)下記「not solvable, primitive, simple, irreducible, 」か
外部ﾘﾝｸ:galoisdb.math.upb.de A Database for Number Fields
Technische Universitat Kaiserslautern
外部ﾘﾝｸ:galoisdb.math.upb.de
Transitive Groups of degree 17
(抜粋)
G Name |G| |G| fact. |Z(G)| Properties of G #fields
17T6 L(17)=PSL(2,16) 4080 24 ・ 3 ・ 5 ・ 17 1 not solvable, primitive, simple, irreducible, even 3
さらに「"PSL(2,16)" math group」で検索すると
約 77 件 （0.47 秒）ヒットで
TOPが下記
外部ﾘﾝｸ:www.researchgate.net
ResearchGate
A New Characterization of PSL(2, q) for Some q
Article (PDF Available)?in?Ukrainian Mathematical Journal 67(9) ・ March 2016?with?163 Reads?
Alireza Khalili Asboei
15.16University of Farhangian
seyed sadegh Salehi
10Islamic Azad University - Babol
Ali Iranmanesh
35.9Tarbiat Modares University
Download full-text PDF
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.researchgate.net
(抜粋)
3.1. Characterizability of the Group PSL(2, 16) by NSE. Let G be a group such that
nse (G) = nse (PSL(2, 16)) = {1, 255, 272, 544, 1088, 1920}.
310(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/29(火)17:11 ID:wEoW+rwB(7/9) AAS
>>309 補足
degree 18、19のリストから下記抜粋
リストを眺めていたが、確かに、#fieldsの規則性を見つけることができなかった
でも、なにか規則があるかもしれない
確かに、17T7の#fields＝0は例外で
degree 18、19には、”#fields＝0”になる例は無かった
そして、おそらくこの表は、コンピュータの計算結果でしょう（数字の桁が大きいから）
多分、「17T7の#fields＝0」も、”コンピュータの計算結果では”という注釈付きで、証明がないのでは？（＾＾；
外部ﾘﾝｸ:galoisdb.math.upb.de
Transitive Groups
Groups are ordered by their degree. Click on one of the boxes below to choose the displayed degree.
外部ﾘﾝｸ:galoisdb.math.upb.de
Transitive Groups of degree 18
(抜粋)
G Name |G| |G| fact. |Z(G)| Properties of G #fields
18T377 PSL(2, 17) 2448 24 ・ 32 ・ 17 1 not solvable, primitive, simple, irreducible, even 1
18T897 t18n897 508032 27 ・ 34 ・ 72 1 not solvable, irreducible 1
18T938 t18n938 1524096 27 ・ 35 ・ 72 1 not solvable, irreducible 2
18T952 t18n952 4572288 27 ・ 36 ・ 72 1 not solvable, irreducible 2
18T982 Alt(18) 3201186852864000 215 ・ 38 ・ 53 ・ 72 ・ 11 ・ 13 ・ 17 1 not solvable, primitive, simple, irreducible, even 3
18T983 Sym(18) 6402373705728000 216 ・ 38 ・ 53 ・ 72 ・ 11 ・ 13 ・ 17 1 not solvable, primitive, irreducible 55
外部ﾘﾝｸ:galoisdb.math.upb.de
Transitive Groups of degree 19
(抜粋)
G Name |G| |G| fact. |Z(G)| Properties of G #fields
19T5 F171(19)=19:9 171 32 ・ 19 1 solvable, primitive, semiabelian, even 1
19T7 A19 60822550204416000 215 ・ 38 ・ 53 ・ 72 ・ 11 ・ 13 ・ 17 ・ 19 1 not solvable, primitive, simple, irreducible, even 8
19T8 S19 121645100408832000 216 ・ 38 ・ 53 ・ 72 ・ 11 ・ 13 ・ 17 ・ 19 1 not solvable, primitive, irreducible 42
317(5): 2019/10/30(水)16:56 ID:7Ir4b7+H(1/5) AAS
スレ主はPSL(2,16)の意味は分かってる？
これは射影特殊線形群というやつだね。
モジュラー群 PSL(2,Z)とかと同じく
(az+b)/(cz+d)の形で作用する。
16は位数16の有限体F_16を意味する。
なんでPSL(2,16)が対称群S_17の
部分群として現れるか分かる？
16+1=17なんだけど、+1の意味分かる？
自分は分かったｗ
319(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/30(水)17:20 ID:xePUfid4(2/5) AAS
>>317
ID:7Ir4b7+Hさん、どうもスレ主です。
>スレ主はPSL(2,16)の意味は分かってる？
自慢じゃないが、深いところは分かっていない（＾＾；
>これは射影特殊線形群というやつだね。
>モジュラー群 PSL(2,Z)とかと同じく
>(az+b)/(cz+d)の形で作用する。
なんか聞いたことがあるような無いような
高木先生の本に書いてなかったかな？
ガウスが、楕円関数論で、モジュラーに気付いていたとか
> 16は位数16の有限体F_16を意味する。
>なんでPSL(2,16)が対称群S_17の
>部分群として現れるか分かる？
> 16+1=17なんだけど、+1の意味分かる？
>自分は分かったｗ
そこらの深いところは分からないが
直感的には、17が素数であって
対称群S_17に、交代群A17が正規部分群として入っていて
それとの関係かなー？
324(4): 2019/10/30(水)20:13 ID:fouiZRdR(1/2) AAS
>>317
>なんでPSL(2,16)が対称群S_17の部分群として現れるか分かる？
>16+1=17なんだけど、+1の意味分かる？
射影直線の位数
２次射影線形群は、１次元射影空間（＝射影直線）に作用する
16元からなる有限体 F16 上の射影直線は 16 + 1 点からなる。
＋１の分は無限遠点
>>319
＞そこらの深いところは分からないが
全然深くねぇよ、馬鹿ｗｗｗ
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