[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第４章 (706ﾚｽ)
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468(1): 2009/09/20(日)14:49 AAS
>>466
予想通り
469: 2009/09/20(日)22:46 AAS
>>468 = アホ

外部ﾘﾝｸ[html]:fc23.blog63.fc2.com
470: 463 2009/09/20(日)23:20 AAS
AA省
471: 2009/09/21(月)02:51 AAS
自民：ぶれている
民主：柔軟/現実路線

自民：独裁だ/まるでヒトラー
民主：豪腕だ/リーダーシップがある

自民：統率力がない
民主：開かれている

自民：強行採決
省9
472(4): 2009/09/21(月)06:25 AAS
同一直線上にn個の点A[k](1≦k≦n)がある
点Pが以下の位置にあるとき
ΣPA[k]が最小となるには点Pをどのようにとればよいか

(1)点Pが点A[k]と同一直線上にあるとき
(2)点Pが点A[k]と同一平面上にあるとき
(3)点Pが点A[k]と同一空間上にあるとき
473(4): 2009/09/21(月)15:16 AAS
正の実数 a ，b ，c に対し，不等式

3/2 < { ( 4a + b ) / ( a + 4b ) } + { ( 4b + c ) / ( b + 4c ) } + { ( 4c + a ) / ( c + 4a ) } < 9

が成り立つことを示せ．

凸六角形 ABCDEF の3本の対角線 AD ，BE ，CF はいずれの2本のなす角も60ﾟである．
このとき不等式

AB + BC + CD + DE + EF + FA ≧ AD + BE + CF
省1
474(2): 2009/09/21(月)16:52 AAS
0 ≦ x , y , z≦ 1 のとき

{( x + y + z ) / 3 } + √ { x ( 1 - x ) + y ( 1 - y ) + z ( 1 - z ) }

の最大値を求めよ

四面体の六辺の積を L , 体積を V とおくとき

L / V ^ 2
省1
475(3): 2009/09/21(月)21:28 AAS
AA省
476: 2009/09/21(月)23:00 AAS
>>473 (上)
　1/4 + (15/4)a/(a+4b) = (4a+b)/(a+4b),
と
　a/(a+4b) + b/(b+4c) + c/(c+4a) - 3/5 = (4/5){7(a^2･b+b^2･c+c^2･a -3abc) + 8(ab^2 + bc^2 +ca^2 -3abc)}/{(a+4b)(b+4c)(c+4a)} ≧0,
から
　3/4 + (15/4)(3/5) ≦ (与式),
　3 ≦ (与式),
省1
477: 2009/09/22(火)02:23 AAS
>>473　(下)
　ADとBEの交点をXとする。
　頂点A,Bから ∠AXB = 60ﾟ の二等分線に垂線をおろし、A-Ha, B-Hb とする。
　AHa = AXsin(30ﾟ), BHb = BX･sin(30ﾟ),
　AB > AHa + BHb = (AX + BX)sin(30ﾟ) = (AX + BX)/2　　･････････ (*)
同様に
　DE > (DX + EX)/2,
省8
478(6): 2009/09/22(火)02:57 AAS
区間 [ 0 , 1 ] 上の任意の連続関数 f ( x ) に対して , さらに f ( x ) > 0 を満たすとき

∫ [ 0 , 1 ] log f(x) dx と log ∫ [ 0 , 1 ] f ( x ) dx

の大小を比較せよ

実数上で定義され , 実数に値をとる , 2次までの連続な導関数をもつ関数 f ( x ) が条件

f ' ' ( x ) ≧ f ( x ) ( - ∞ < x < + ∞ )
省7
479: 2009/09/22(火)07:16 AAS
>>478
真中

{f’(x)＋f(x)}’≧f’(x)＋f(x)，{f’(x)－f(x)}’≧－{f’(x)－f(x)}
g(x)＝f’(x)＋f(x) ，h(x)＝f’(x)－f(x) とおくと
{e^(-x) g(x)}’＝e^(-x) {g’(x)－g(x)}≦0，{e^x h(x)}’＝e^x {h’(x)＋h(x)}≧0
x≧0 のとき
e^(-x) g(x)－g(0)≧0，e^x h(x)－h(0)≦0 ⇔ g(x)≧e^x g(0)，－h(x)≧－e^(-x) h(0)
省5
480(3): 2009/09/22(火)07:42 AAS
>>478
下

f(x)＝x^4－x^3＋x^2－x＋21/64 とおく
f'(x)＝4x^3 - 3x^2 + 2x - 1，f''(x)＝12x^2－6x＋2＞0
より f(x) の極値は 極小値 1個のみ
x＝a で極小値をとるとすると
f'(0.6)＜0＜f'(0.61) より 0.6＜a＜0.61
省3
481(1): 2009/09/22(火)08:57 AAS
>>478 (上)
(略証)
　(k-1)/n ≦ x_k ≦ k/n とする。
相乗･相加平均より
　　{Π[k=1,n] f(x_k)}^(1/n) ≦ (1/n)∑[k=1,n] f(x_k),
⊿x = 1/n として、
∴　∑[k=1,n] log{f(x_k)}⊿x ≦ log{∑[k=1,n] f(x_k)⊿x},
省7
482(1): 2009/09/22(火)09:53 AAS
AA省
483: 2009/09/22(火)22:40 AAS
AA省
484: 2009/09/23(水)00:31 AAS
>>480

f(x) の最小値は
　f(a) = g(a) = 0.001678223476410008900477133721940･･･
485(1): 2009/09/23(水)01:59 AAS
x を正の実数 , n を正の整数とするとき

[ nx ] > Σ [ k = 1 , n ] ( [ kx ] / k )

となることを示せ
ただし , [ x ] は x を超えない最大の整数を表す
486: 2009/09/23(水)03:32 AAS
>>472
(2)は某所に答えあった
487: だいすけ ◆jcXETTeIVg 2009/09/23(水)05:19 AAS
>>485

n=1のとき、
左辺も右辺も両方とも、[x]になって、

[x] > [x] ・・・＞ありえない。

になってしまうんだけど・・・自分の勘違い？
488: だいすけ ◆jcXETTeIVg 2009/09/23(水)05:29 AAS
>>472

(3)って、かんたんに(2)に帰結できるきが。。。
489(2): 2009/09/23(水)19:31 AAS
四面体の六辺の積を L , 体積を V とおくとき

L / V ^ 2

の最小値を求めよ

x を正の実数 , n を正の整数とするとき

[ nx ] ≧ Σ [ k = 1 , n ] ( [ kx ] / k )
省2
490(1): 2009/09/23(水)22:31 AAS
>>489
前半は入試問題
491(1): 2009/09/24(木)18:31 AAS
実数x,yが x≧0, y≧0, x^6+y^5≦x^5+y^4
を満たすとき、x^5+y^5≦2を示せ。
492: 2009/09/26(土)23:10 AAS
I＝[0，1]，f(x) ∈ C^2 (I) とするとき，次の不等式が成り立つことを示せ．

( max [I] | f’(x) | )^2 ≦ M ( max [I] | f(x) | ) ( max [I] | f(x) | ＋ max [I] | f”(x) | )

ただし，M は f に無関係な定数とする．
493: 2009/09/27(日)05:41 AAS
>>490
大数の宿題

宮川ダイスケ ◆jcXETTeIVg…Ｆランク。自称30歳東大文学部中退の理Ⅰ志望。
空気の読めなさならお前がナンバーワンだっ!!
494: 猫は珍獣 ◆ghclfYsc82 2009/09/27(日)09:52 AAS
空気の読めなさやったらワシの方が上じゃろうなァ
何でかっちゅうとやねェ、ワシは空気を読むんを
わざと放擲してるからや。

空気を読むっちゅうんはオリジナリティの最大の
敵やからな。

猫
495(1): 2009/09/27(日)19:45 AAS
>>491

相加･相乗平均より {あるいは >>1 と <1 で場合分けして}
　1 +5x^6 -6x^5 = (1-x)^2 (1+2x +3x^2 +4x^3 +5x^4) ≧ 0,
　1 +4y^5 -5y^4 = (1-y)^2 (1+2y +3y^2 +4y^3) ≧ 0,
よって
　x^5 = 1 + (x-1)(x^4 + x^3 + x^2 +x +1) ≦ 1 + 5(x-1)x^5 = 1 + 5(x^6 -x^5),
　y^5 = 1 + (y-1)(y^4 + y^3 + y^2 +y +1) ≦ 1 + 5(y-1)y^4 = 1 + 5(y^5 -y^4),
省2
496(1): 2009/09/28(月)05:26 AAS
>>495

同じことだが、
　x-1 ≦ (x-1)x ≦ (x-1)x^2 ≦ (x-1)x^3 ≦ (x-1)x^4 ≦ (x-1)x^5,
　y-1 ≦ (y-1)y ≦ (y-1)y^2 ≦ (y-1)y^3 ≦ (y-1)y^4,
よって
　x^5 ≦ 1 + 5(x^6 -x^5),
　y^5 ≦ 1 + 5(y^5 -y^4),
省1
497(1): 2009/09/28(月)14:27 AAS
>>489 (下)

S_k = [kx] - (2/(k+1))･([x] + [2x] + …… + [kx])
　　= (1/(k+1))･Σ(j=0,k) ([kx] - [jx] - [(k-j)x])
　　≧ 0,
とおくと

(左辺) - (右辺) = [nx] - Σ(k=1,n) [kx] /k
　　= … …
省4
498: 2009/09/28(月)18:02 AAS
>>497
【補題】
　[y+z] ≧ [y] + [z],

(略証)
　y = [y] + {y},
　z = [z] + {z},
∴　[y+z] = [y] + [z] + [{y}+{z}] = [y] + [z] + (0 or 1),
499: 2009/09/29(火)23:03 AAS
>>496
　x^5 = (x-1)x^4 + (x-1)x^3 + (x-1)x^2 + (x-1)x + (x-1) + 1 ≦ 1 + 5(x-1)x^5,
　y^5 = (y-1)y^4 + (y-1)y^3 + (y-1)y^2 + (y-1)y + (y-1) + 1 ≦ 1 + 5(y-1)y^4,
だな。
500(1): 2009/09/30(水)00:03 AAS
R上の任意の2数x,yについて,x>yならばx≦yとなり得ない事を示せ

って宿題が出ました
どこをどう示せばいいか分かりません
501: 2009/09/30(水)00:51 AAS
>>500
x>yである順序対(x,y)全体の集合をA、x≦yである順序対(x,y)全体の
集合をBとおいて、A∩B=空集合を示せばいいのでは
502(6): 未解決？ 2009/09/30(水)07:08 AAS
I＝[0，1]，f(x) ∈ C^2 (I) とするとき，次の不等式が成り立つことを示せ．
( max [I] | f’(x) | )^2 ≦ M ( max [I] | f(x) | ) ( max [I] | f(x) | ＋ max [I] | f”(x) | )
ただし，M は f に無関係な定数とする．

四面体の六辺の積を L , 体積を V とおくとき L / V ^ 2 の最小値を求めよ

同一直線上にn個の点A[k](1≦k≦n)がある
点Pが以下の位置にあるとき
ΣPA[k]が最小となるには点Pをどのようにとればよいか
省16
503(1): 2009/09/30(水)13:39 AAS
＞F,Gを[0,1]→[0,1]を満たす実連続関数であるとし、Fを単調増加関数であるとする。
＞∫[0,1] F(G(x))dx ≦ ∫[0,1] F(x) dx + ∫[0,1] G(x) dxを示せ

0≦x≦1とする。t∈[x,1]のときF(x)≦F(t)だから、両辺をxから1までtで積分して

(1－x)F(x)≦∫[x,1]F(t)dt

が成り立つ。変形してF(x)≦xF(x)＋∫[x,1]F(t)dt となる。F≧0だから
∫[x,1]F(t)dt≦∫[0,1]F(t)dtであり、また、x≧0，F(x)≦1よりxF(x)≦x
である。これらを用いて
省5
504(2): 2009/09/30(水)14:23 AAS
＞I＝[0，1]，f (x) ∈ C^2 (I) とするとき，次の不等式が成り立つことを示せ．
＞( max [I] | f’(x) | )^2 ≦ M ( max [I] | f (x) | ) ( max [I] | f (x) | ＋ max [I] | f”(x) | )
＞ただし，M は f に無関係な定数とする．

簡単のためA＝max [I] | f (x) |，B＝max [I] | f ' ' (x) |とおく。
A＝0のときはf≡0だから、既に成り立っている。以下、A≠0とする。

a∈[0,1]を任意に取り、固定する。各x∈[0,1]に対して、適当なθ＝θ(x)があって
f (x)＝f (a)＋f ' (a)(x－a)＋f ' ' (θ)(x－a)^2/2
省14
505(2): 2009/09/30(水)14:30 AAS
AA省
506(1): 2009/10/01(木)16:52 AAS
>>504-505
流石にこのスレはレベルが高いですね．
t＝(1/4)*√{A/(A＋B)} 辺りが肝だと思いますが，
どうやって思いついたのですか？
とりあえず 2A/|x－a|＋B|x－a|/2 のうちどちらを const.√{A(A＋B)}
の形にするかで，前者を選んだと言うことでしょうか？
507(2): 2009/10/01(木)19:00 AAS
>>504-505 さんの解答をほとんど同じですが，より平易に書いて見ました．
文字は>>504-505 さんのものを使用します．

x，a∈[0，1]，a を固定し x≠a とする．

{f(x)－f(a)}/(x－a)＝f’(c) となる c が x と a の間に存在
|f’(c)|≦( |f(x)|＋|f(a)| )/|x－a|≦2A/|x－a|．．．①

f’(c)－f’(a)＝∫[a，c]f”(t)dt より
|f’(a)|≦|f’(c)|＋|∫[a，c]f”(t)dt|≦|f’(c)|＋|c－a| B≦|f’(c)|＋B|x－a| ．．．②
省6
508(1): 2009/10/02(金)19:14 AAS
>>506
＞どうやって思いついたのですか？
この問題は、以前読んだ数学書に書いてあった不等式そのもので、
証明も載ってた。それを引っ張ってきただけ(＾o＾)
ただし、その本では(偶然にも)>>507と全く同じやり方で
やっていて、個人的にはこのやり方は気に食わない。
何で気に食わないかと言うと、(*)の不等式への道筋が
省9
509: 2009/10/02(金)19:33 AAS
もし(*)の不等式でtが実数全体を動けるなら、t＝√(A/B) と置けば

||f ' ||^2≦ 4||f ||*||f ' ' ||　…(★)

という(より強い)不等式が示せる。t＝√(A/B)と置く理由は、
相加相乗平均から。
あるいは、(*)の不等式の両辺にtをかけて整理すれば

Bt^2－|f ' (a)|t＋A≧0

と変形できるので、tが実数全体を動けるなら、(判別式)≦0 を計算して
省9
510: 2009/10/02(金)19:50 AAS
で、一応
＞(*)まで行ければ何をしたって証明できる。(>>508)
の詳細も書いておく。

今回問題となるのは、tは実数全体を動けるわけでは無いということ。
ならば、普通に(*)の右辺の最小値を泥臭く計算すればいい。

g(t)＝A/t＋Bt と置くと、(*)の不等式は|f ' (a)|≦g(t) と書ける。
以下、簡単のためB≠0とする。
省13
511(3): 2009/10/02(金)21:59 AAS
質問です

任意の実数ｘ、ｙ、ｚに対してつねに　ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２－２ｐｘｙ－２ｑｙｚ－２ｒｚｘ≧０
となるための、ｐ、ｑ、ｒについての条件を求める

ｐ、ｑ、ｒは与えられた正数とする。任意の実数ｘ、ｙ、ｚに対してつねに
ｐ√（ｘ＾２＋ｙ＾２）＋ｑ√（ｙ＾２＋ｚ＾２）＋ｒ√（ｚ＾２＋ｘ＾２）≦Ｋ√（ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２）
が成立する定数Ｋの最小値を求める（コ－シー・シュワルツの不等式を使わずに）

ｐ、ｑ、ｒは与えられた実数で、ｐｑ＋ｑｒ＋ｒｐ＞０かつ（ｐ＋ｑ）（ｑ＋ｒ）（ｒ＋ｐ）≠０とする
省4
512(1): 507 2009/10/03(土)00:11 AAS
「より平易に」と書いてあるように，高校の範囲で解けるようにという意図がありました．
平均値もテーラー展開も本質的には同じで，みえやすさにそれほど大差はないと思います．
|f ' (a)|≦A/t＋tB　の評価が肝だとも書かれていますが，これは，平均値やテーラー展開を
使う限り自ずと出てくるものだと思います．
|f ' (a)|≦A/t＋tB　がでて来ればおっしゃるとおり泥臭くやれば，2次関数の問題に帰着され
結果的に解けます．
僕が興味を持ったのは，それらの事を踏まえた上で，何故唐突に t＝(1/4)*√{A/(A＋B)}
省4
513: 507 2009/10/03(土)00:22 AAS
僕個人では，A/t＋tB≦C√{A(A＋B)} を示すのに，t は上限があり，
いくらでも小さくなれるので，
A/t を まず C√{A(A＋B)} で上から評価するために，t＝p√{A/(A＋B)} といて
（p は後から調整） という発想からでたものかと思っていました．
514(1): 2009/10/03(土)00:51 AAS
>>512
＞「より平易に」と書いてあるように，高校の範囲で解けるようにという意図がありました.
個人的には、それは平易とは思わない。使われているツールは
原始的(＝平易)かもしれないが、それが証明の見通しのよさに
繋がるとは限らない。

＞|f ' (a)|≦A/t＋tB の時点で評価が甘くなっているリスクがまったくないとは言えないとも思いますが．
それは俺の書き方が悪かったかもしれない。
省3
515(1): 2009/10/04(日)09:41 AAS
>>376 >>502(7)
　1/(t^p + 1) = x　とおくと、
　t = (1/x - 1)^(1/p),
　p･dt = (-1/x^2)(1/x - 1)^(1/p - 1) dx,

　(左辺) = ∫[0,1] (1/x)(1/x -1)^(1/p -1) dx
　　= ∫[0,1] x^((1 -1/p)-1) (1-x)^(1/p -1) dx
　　= Ｂ(1 -1/p, 1/p)
省3
516(2): 2009/10/04(日)10:08 AAS
>>406 , >>502(5)

　x_0 =a, x_n =b, x_i - x_(i-1) = ⊿x_i >>0 ととる。
f "(x) ≧ 0 だから、Jensenの不等式より
　Σ[i=1,n] f(x_i)⊿x_i /(b-a) ≧ f( Σ[i=1,n] f(x_i)⊿x_i /(b-a) ),
ここで Max{|⊿_i|; 1≦i≦n} → 0　を満たすように n→∞ とする。

(応用例)
　>>478 (上), >>481
517(1): 2009/10/04(日)10:18 AAS
>>516　訂正…

　Σ[i=1,n] f(g(x_i))⊿x_i /(b-a) ≧ f( Σ[i=1,n] g(x_i)⊿x_i /(b-a) ),
518(1): 2009/10/04(日)11:53 AAS
>>472 , >>502 [3]

点Pが問題の直線の外にあるときは、最小にならない希ガス。
∵　点Pからこの直線に下ろした垂線をPQとすれば、 PA[k] > QA[k] となるから。

∴　(2),(3) も結局 (1) に帰着され、>>475 と思われまする。
519(4): 2009/10/04(日)20:34 AAS
x,y≧0,x+y=1のとき

(x^5+y^5)/(x^3+y^3)の最大値最小値を求めよ。
520: 2009/10/04(日)22:32 AAS
>>514
いきなりの t＝(1/4)*√{A/(A＋B)} のびっくりしましたが，熊ノ郷先生の発案でしたか。
521(1): 2009/10/05(月)01:05 AAS
>>519
　4(x^5 +y^5) = 2(x^2 +y^2)(x^3 +y^3) + 2(x^2 -y^2)(x^3 -y^3)
　　≧ 2(x^2 +y^2)(x^3 +y^3)
　　= (x+y)^2･(x^3 +y^3) + (x-y)^2･(x^3 +y^3)
　　≧ (x+y)^2･(x^3 +y^3),
最小値 1/4,　等号成立は x=y のとき。

　(x+y)^2･(x^3 +y^3) - (x^5 + y^5) = xy(2x^3 +x^2･y +x･y^2 +2y^3) ≧ 0,
省1
522: 2009/10/05(月)20:10 AAS
>>519

〔類題〕
x,y≧0、0≦m≦n のとき

　{(x+y)/2}^(n-m) ≦ (x^n + y^n)/(x^m + y^m) ≦ (x+y)^(n-m),

　{1/(x+y)}^(n-m) ≦ (x^m + y^m)/(x^n + y^n) ≦ {2/(x+y)}^(n-m),
523(3): 2009/10/08(木)03:20 AAS
鋭角三角形ABCについて次の不等式を示せ

2(sinA+sinB+sinC)＞3(cosA+cosB+cosC)

sinA+sinB+sinC＞2+min{A/4,B/4,C/4}

外部ﾘﾝｸ:www.casphy.com
より
524: 2009/10/08(木)09:25 AAS
>>519

>>521 で答えでてるけど、別解。

丁寧というか、馬鹿正直に長ったらしく書いたけど、やりかたは、高校生チックで素直？
（てか、>>521 の回答、いきなり４かけたりよくそんなの思いつくなぁ）

x^5 + y^5
= (x^3+y^3)(x^2+y^2) -{(xy)^2}(x+y)
= (x^3+y^3)(x^2+y^2) - (xy)^2
省14
525(1): 524 2009/10/08(木)09:26 AAS
このとき、aの増減と、2a, a^2 の増減は一致する。
また、aの増減と、1-3a の増減は反対となる。

ゆえに、 aの増減と≪２≫、つまり与式の増減は反対となる。

よって、≪２≫より、
与式の最小値は、a=1/4のとき（※）、1/4
（※ つまり、a=xy=1/4 ∧ x+y=1ゆえ、x=y=1/2のとき）
与式の最大値は、a=0のとき（※）、1
省3
526: 2009/10/08(木)23:00 AAS
>>519

〔類題〕
x,y≧0、0≦m≦n のとき

　(n/m){(x+y)/2}^(n-m) ≦ (x^n - y^n)/(x^m - y^m) ≦ (x+y)^(n-m),

　{1/(x+y)}^(n-m) ≦ (x^m - y^m)/(x^n - y^n) ≦ (m/n){2/(x+y)}^(n-m),

・参考
　>>136 , [初代スレ.128, 132-135] 　Ingleby不等式
527: 2009/10/09(金)04:01 AAS
>>525
宮川ダイスケ ◆jcXETTeIVg…Ｆランク。自称30歳東大文学部中退の理Ⅰ志望。
空気の読めなさならお前がナンバーワンだっ!!
528(1): 2009/10/09(金)11:46 AAS
>>502 (4)
　β^α - α^β、β^(1/β) - α^(1/α) 、(1/β)log(β) - (1/α)log(α) は符号が同じ。

便宜上 (2) を先に解く。
　0<x，α=ex，β=e/x のとき
　(1/α)log(α) = (1/ex){1 + log(x)} = (1/e){1 + ∫[x,1] log(t)/(t^2) dt,
　(1/β)log(β) = (x/e) {1 - log(x)} = (1/e){1 + ∫[x,1] log(t) dt,
辺々引いて
省7
529(1): 2009/10/09(金)15:37 AAS
>>389 , >>502 (6)
　f(x) = (1/x)log(x),
は x=e に極大をもち、両側で単調だから
　f(x) ≦ f(e) = 1/e,
　f(π) < 1/e,
∴　π^(1/π) < e^(1/e),
∴　α = e^π > π^e = β,
省11
530: 2009/10/09(金)15:47 AAS
ふぅ・・・
531(2): 2009/10/09(金)18:00 AAS
>>511
(上)
・問題の２次形式が半正値。
・行列
　[ 1, -p, -r ]
　[-p,　1, -q ]
　[-r, -q,　1 ]
省21
532(1): 2009/10/10(土)17:35 AAS
>>511 (上), >>531 (上)

　0 ≦ 1 -p^2 -q^2 -r^2 -2pqr　　　　>>531
　　= (1-p^2)(1-q^2) - (pq+r)^2
　　= (1-q^2)(1-r^2) - (qr+p)^2
　　= (1-r^2)(1-p^2) - (rp+q)^2,
から
　(1-p^2)(1-q^2) ≧ 0,
省8
533: 2009/10/11(日)10:54 AAS
AA省
534: 2009/10/11(日)10:57 AAS
>>523

〔補題〕
　A,B,C が鋭角△のとき、cos((A-B)/2) > cos(C/2),

(略証)
　A-B < (π-A) - B = C,
　B-A < (π-B) - A = C,
∴　|A-B| < C,　　　　　(終)
535(1): 2009/10/12(月)01:34 AAS
(1)
θが0≦θ＜2πの範囲を動くとき

　　15(sinθ)^2+12sinθcosθ+16(cosθ)^2

の最大値を求めよ。

(2)
θが0≦θ＜2πの範囲を動くとき

　　15sinθ+12sinθcosθ+16(cosθ)^2
省3
536(1): 2009/10/12(月)02:59 AAS
>>438
外部ﾘﾝｸ:www.casphy.com
らしい
537(2): 2009/10/12(月)05:41 AAS
>>523 の〔類題〕

・1≦K≦√3 のとき
　sin(A) + sin(B) + sin(C) > K{cos(A)+cos(B)+cos(C)} + 1 - (√2)(K-1),

・0≦K≦1のとき
　sin(A) + sin(B) + sin(C) > K{cos(A)+cos(B)+cos(C)} + (2-K) + (1-K)(1/3)C,

(略証)
　0≦K≦√3 と C≦π/3 より
省6
538(1): 2009/10/13(火)21:14 AAS
AA省
539(5): 2009/10/16(金)03:13 AAS
△ ABC の周の長さを L とし , 角 A , B , C の二等分線の長さを x , y , z とすると
不等式

x + y + z ≦ { ( √ 3 ) / 2 } L

が成立する . さらに , 外接円と内接円の半径をそれぞれ R , r とすると

9 r ≦ x + y + z ≦ ( 9 / 2 ) R

が成立する
省4
540: 2009/10/16(金)03:15 AAS
フェラチオ＞シックスナイン
541: 2009/10/16(金)16:16 AAS
フェラチオという行為は女性から男性、または男性から男性に行うことのできる写像であるとすると、
この写像は男性という集合への単射である。また、シックスナインは同じ考えに基づき全単射の写像である。
いずれも、任意の性的快感を得る写像であることから、このふたつは同じ集合の元であると考えると、
単射э全単射といえることから
フェラチオ э シックスナイン
であると言える。
542: 2009/10/16(金)16:17 AAS
ｗ
543: [age] 2009/10/17(土)02:14 AAS
age
544: 2009/10/17(土)04:22 AAS
>>539

(上)　>>394-395　

(下)　実変数のときは、　(与式) ≦ 0.397747488･･･,
　　等号成立は α:β:γ = -0.3590････ : 0.3204･･･ : 1
かな？
545: 2009/10/17(土)10:03 AAS
△ABCにおいて内心をI, 内接円の半径をr, 外接円の半径をRとするとき、

√(1+5r/(2R))≦sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2)≦√(2+r/(2R))

を示せ。
546: 2009/10/17(土)15:16 AAS
AA省
547: 546 2009/10/18(日)06:00 AAS
>>539 (下)　(546の続き)

・複素変数のとき
　3{|α|^2 + |β|^2 + |γ|^2} = 3(αα† + ββ† + γγ†)
　　= |α-β|^2 + |β-γ|^2 + |γ-α|^2 + |α+β+γ|^2
　　≧ 4 |(α-β)(β-γ)(γ-α)(α+β+γ)|^(1/2),　　(← 相加･相乗平均)
∴　(与式) ≦ (3/4)^2 = 9/16,
　等号成立は、|α-β| = |β-γ| = |γ-α| = |α+β+γ| のとき(正三角形)。
省11
548(1): 547 2009/10/18(日)06:50 AAS
>>539 (下)　(547の続き)

・非負変数のとき
　min{α,β,γ} = m ≧0,　{α,β,γ} = {m,m+x,m+x+y}, x≧0, y≧0 とする。
　|⊿| = xy(x+y),
　α+β+γ = 3m +2x +y,
　|α|^2 + |β|^2 + |γ|^2 = 3m^2 + 2m(2x+y) + (2x^2 +2xy +y^2),
　(1/4)(|α|^2 + |β|^2 + |γ|^2)^2 ≧ m(2x+y)(2x^2 +2xy +y^2) + (1/4)(2x^2 +2xy +y^2)^2
省4
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