[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第４章 (706ﾚｽ)
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1(13): 2009/06/15(月)19:00 AAS
AA省
2(5): 2009/06/15(月)19:03 AAS
不等式の本
[1] 不等式，ハーディ・リトルウッド・ポリヤ，シュプリンガー，2003年
外部ﾘﾝｸ:amazon.co.jp
[2] 不等式，大関信雄・青木雅計，槇書店，1967年（絶版）
[3] 不等式への招待，大関信雄・大関清太，近代科学社，1987年（絶版）
[4] 不等式入門，渡部隆一，森北出版，2005年
外部ﾘﾝｸ:amazon.co.jp
省13
6(3): 【転載】 2009/06/16(火)02:49 AAS
979 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 2009/06/15(月) 23:24:53
nは自然数とする
(sinx)^n+(cosx)^n
の最大値、最小値を求めよ
Kを非負の定数とする
区間[t1,t2]で定義された負でない連続関数f(t),g(t)が
f(t)≦K+∫[t1→t]g(s)f(s)ds （t1≦t≦t2）
省3
26(7): 2009/06/22(月)09:11 AAS
負の実数 x,y,z が x+y+z<-3 および x^2+y^2+z^2+2xyz=1 を満たすとき，
(1) (x+1)(y+1)(z+1)≦0 が成り立つことを示せ。
(2) x,y,z が全て無理数である x,y,z の例を１組挙げよ。
（2006年 旭川医科大学）
58(3): 2009/06/26(金)22:40 AAS
素朴な疑問ですけど
簡単のため、x,f(x),g(x)>>0として
f(x)-g(x)やf(x)/g(x)の最小値を求める問題で
f(x)≧g(x)+Kを導き出して
f(x)-g(x)の最小値はKといったり
（ex：f(x)=x^3,g(x)=3x,K=-2）
f(x)≧Kg(x)を導き出して
省3
67(6): 2009/06/29(月)02:56 AAS
p_iをi番目に大きい素数とする。
p_(n+1)と1+Π[i=1→n]の大小関係を答えよ。
(0.99)^99 と (1.01)^(-101) の大小関係を答えよ。
sin44°とsin46°の大小関係を答えよ。
n≧2の時
1^n×2^(n-1)×…×n^1＞(n・n!/2^n)^((n+1)/2)
を示せ。
省7
91(4): 2009/07/02(木)22:23 AAS
問1
1辺が1の正方形の各辺上に4点をとる
この4点を頂点とする四角形の周の長さは2√2以上であることを示せ
問2
∠A=20ﾟ，AB=ACの二等辺三角形がある
2AB<AC<3ABを示せ
問3
省15
102(3): 2009/07/04(土)00:08 AAS
いびつなサイコロがあり、1から6までのそれぞれの目が出る確率が1/6とは限らないとする。
このさいころを2回ふったとき同じ目が出る確率をPとし、
1回目に奇数、2回目に偶数の目が出る確率をQとする。
(1) P≧1/6であることを示せ。また、等号が成立するための必要十分条件を求めよ。
(2) 1/4≧Q≧(1/2)-(3/2)Pであることを示せ。
A=1/(21･1009)，B=[{1+(1/2009)}^(1/21)]-1，C=1-[{1-(1/2009)}^(1/21)]とする。
これらの中で最大のものと、最小のものを答えよ。
112(3): 2009/07/05(日)01:38 AAS
『x^2+y^2+z^2=1のとき、2x+2y+2zの最大値を求めよ』
A君はこの問題を次のように解いた
「x,y,z≧0のとき考えれば十分である
4
=(x^2+1)+(y^2+1)+(z^2+1)
≧2x+2y+2z
等号成立条件よりx=y=z=1のとき最大値4」
省1
139(7): 2009/07/10(金)01:29 AAS
拾い
a,b,c≧0、ab+bc+ca+abc=4のとき
a+b+c≧ab+bc+caを示せ
143(3): 2009/07/11(土)17:55 AAS
>>139
a,b,c < 1 と仮定すると、ab+bc+ca + abc < 4,
a,b,c > 1 と仮定すると、ab+bc+ca + abc > 4,
いずれも題意と矛盾する。a≦b≦c とすれば、
0 < a ≦ 1 ≦ c,
題意により、
b = (4-ac)/(a+c+ac),
省2
152(3): 2009/07/12(日)07:16 AAS
>>150
こんなのよく思い付くな。
見た目は綺麗だけど、証明にはイマイチだな〜。
171(3): 2009/07/14(火)17:05 AAS
x,y,zは実数とする
√ ( x ^ 2 + y ^ 2 ) + 2 √ ( y ^ 2 + z ^ 2 ) + 3 √ ( z ^ 2 + x ^ 2 )
≦ M √ ( x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 )
を満たす正の定数Mの最小値を求めよ
183(4): 2009/07/15(水)04:30 AAS
a , b , c ≧ 0
a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + abc = 4
のとき
0 ≦ ab + bc + ca - abc ≦ 2
| x | ≦ 1 のとき
| 4 x ^ 3 + a x ^ 2 + b x + c |
の最大値は1以上であることを示せ
187(3): 2009/07/15(水)16:19 AAS
有名サイトかもしれないが一応
つ外部ﾘﾝｸ:jp.mathnori.com
197(4): 2009/07/17(金)03:59 AAS
拾い
( a + b + c ) ( x + y + z ) = 3
( a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 ) ( x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 ) = 4
のとき
a x + b y + c z > 0
250(3): 2009/07/23(木)23:15 AAS
自然対数の底eを
e = Σ [ k = 0 , ∞ ] ( 1 / k ! )
とする
( 1 )
e < 2.721
( 2 )
log ( 1 + x ) ≦ x / √ ( 1 + x )
省5
265(4): 2009/07/26(日)06:31 AAS
拾い
10 ^ 197 < 99 ^ 99 < 10 ^ 198
ただし,対数の値は与えられていない
303(3): 2009/07/29(水)12:25 AAS
x>>0n≧0の時、(1+x)^n>>1+nx
をテーラー展開、二項展開を使わずに示せるか論じよ
309(4): 2009/07/30(木)03:48 AAS
三角形の辺の和は,中線の和の4/3より大きくはない
組(a,b,c),(1/a,1/b,1/c)はそれぞれ三角形の三辺をなす
それぞれの三角形の面積ををS,S'とすれば
SS'≦48
315(3): 2009/08/02(日)22:43 AAS
p,q,r≧0
A,B,C＞0,A+B+C=π
mは自然数
|pqsinmA+qrsinmB+rpsinmC|≦(p^2+q^2+r^2)(√3/2)
331(4): 2009/08/07(金)03:23 AAS
>>326
(負)^(1/3) は定義されてない，というかできない．
(-8)^(1/3) = -2 としたいところだが
(-8)^(1/3) = (-8)^(2/6) = ((-8)^2)^(1/6) = 64^(1/6) = 2
と矛盾を起こしかねないから。
332(4): 2009/08/07(金)03:26 AAS
>>331
ネタ？
指数法則はどこいったの
369(5): 2009/08/07(金)23:06 AAS
>>366
指数定理
(a^m)^n=a^(mn)
が成り立つのは、
「a＞0である」か「m,nがともに整数である」かの
どちらかの条件を満たす場合である。
だから
省3
394(3): 2009/08/14(金)20:49 AAS
>>316
〔問題38〕
三角形の辺の長さの和をa,b,c,
頂角A,B,Cの二等分線と対辺の交点をA",B",C" とおくとき、
(1/2)(a+b+c) < AA" + BB" + CC" ≦ {(√3)/2}(a+b+c),
等号成立は a=b=c (正三角形) のとき。 (大塚氏による)
省3
400(5): 2009/08/15(土)18:16 AAS
x,y,x∈R、x+y+z=1, xy+yz+zx=-8 のとき x^3+y^3+z^3 の最大最小。
2文字消去して定義域出して微分して解析、
という吐き気を催す解法しか思いつかなかった。
誰かかっこよく頼む。
438(3): 2009/09/01(火)08:36 AAS
x,y,z＞0のとき
x^3+y^3+z^3+3xyz≧xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)
の成立をx,y,zについての不等式による場合分けをせず示せ．
472(4): 2009/09/21(月)06:25 AAS
同一直線上にn個の点A[k](1≦k≦n)がある
点Pが以下の位置にあるとき
ΣPA[k]が最小となるには点Pをどのようにとればよいか
(1)点Pが点A[k]と同一直線上にあるとき
(2)点Pが点A[k]と同一平面上にあるとき
(3)点Pが点A[k]と同一空間上にあるとき
473(4): 2009/09/21(月)15:16 AAS
正の実数 a ，b ，c に対し，不等式
3/2 < { ( 4a + b ) / ( a + 4b ) } + { ( 4b + c ) / ( b + 4c ) } + { ( 4c + a ) / ( c + 4a ) } < 9
が成り立つことを示せ．
凸六角形 ABCDEF の3本の対角線 AD ，BE ，CF はいずれの2本のなす角も60ﾟである．
このとき不等式
AB + BC + CD + DE + EF + FA ≧ AD + BE + CF
省1
475(3): 2009/09/21(月)21:28 AAS
AA省
478(6): 2009/09/22(火)02:57 AAS
区間 [ 0 , 1 ] 上の任意の連続関数 f ( x ) に対して , さらに f ( x ) > 0 を満たすとき
∫ [ 0 , 1 ] log f(x) dx と log ∫ [ 0 , 1 ] f ( x ) dx
の大小を比較せよ
実数上で定義され , 実数に値をとる , 2次までの連続な導関数をもつ関数 f ( x ) が条件
f ' ' ( x ) ≧ f ( x ) ( - ∞ < x < + ∞ )
省7
480(3): 2009/09/22(火)07:42 AAS
>>478
下
f(x)＝x^4−x^3＋x^2−x＋21/64 とおく
f'(x)＝4x^3 - 3x^2 + 2x - 1，f''(x)＝12x^2−6x＋2＞0
より f(x) の極値は 極小値 1個のみ
x＝a で極小値をとるとすると
f'(0.6)＜0＜f'(0.61) より 0.6＜a＜0.61
省3
502(6): 未解決？ 2009/09/30(水)07:08 AAS
I＝[0，1]，f(x) ∈ C^2 (I) とするとき，次の不等式が成り立つことを示せ．
( max [I] | f’(x) | )^2 ≦ M ( max [I] | f(x) | ) ( max [I] | f(x) | ＋ max [I] | f”(x) | )
ただし，M は f に無関係な定数とする．
四面体の六辺の積を L , 体積を V とおくとき L / V ^ 2 の最小値を求めよ
同一直線上にn個の点A[k](1≦k≦n)がある
点Pが以下の位置にあるとき
ΣPA[k]が最小となるには点Pをどのようにとればよいか
省16
511(3): 2009/10/02(金)21:59 AAS
質問です
任意の実数ｘ、ｙ、ｚに対してつねに ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２−２ｐｘｙ−２ｑｙｚ−２ｒｚｘ≧０
となるための、ｐ、ｑ、ｒについての条件を求める
ｐ、ｑ、ｒは与えられた正数とする。任意の実数ｘ、ｙ、ｚに対してつねに
ｐ√（ｘ＾２＋ｙ＾２）＋ｑ√（ｙ＾２＋ｚ＾２）＋ｒ√（ｚ＾２＋ｘ＾２）≦Ｋ√（ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２）
が成立する定数Ｋの最小値を求める（コ−シー・シュワルツの不等式を使わずに）
ｐ、ｑ、ｒは与えられた実数で、ｐｑ＋ｑｒ＋ｒｐ＞０かつ（ｐ＋ｑ）（ｑ＋ｒ）（ｒ＋ｐ）≠０とする
省4
519(4): 2009/10/04(日)20:34 AAS
x,y≧0,x+y=1のとき
(x^5+y^5)/(x^3+y^3)の最大値最小値を求めよ。
523(3): 2009/10/08(木)03:20 AAS
鋭角三角形ABCについて次の不等式を示せ
2(sinA+sinB+sinC)＞3(cosA+cosB+cosC)
sinA+sinB+sinC＞2+min{A/4,B/4,C/4}
外部ﾘﾝｸ:www.casphy.com
より
539(5): 2009/10/16(金)03:13 AAS
△ ABC の周の長さを L とし , 角 A , B , C の二等分線の長さを x , y , z とすると
不等式
x + y + z ≦ { ( √ 3 ) / 2 } L
が成立する . さらに , 外接円と内接円の半径をそれぞれ R , r とすると
9 r ≦ x + y + z ≦ ( 9 / 2 ) R
が成立する
省4
609(3): 2010/01/17(日)18:45 AAS
△ OAB の辺 AB の三等分点を P , Q とすれば
OA + OB > OP + OQ
614(4): 2010/01/31(日)07:18 AAS
Π [ k = 2 → n ] cos ( 1 / k ) > 2 / 3
622(3): 2010/02/09(火)15:36 AAS
正の実数a,b,cに対し、
3/2 < (4a+b)/(a+4b) + (4b+c)/(b+4c) + (4c+a)/(c+4a) < 9
がなりたつことを示せ。
（日本ジュニア数学オリンピック本選）
637(3): 2010/03/17(水)13:04 AAS
今年の滋賀医大の難問。
実数全体を定義域とする，2回微分可能な関数 f(x) が，任意の実数 x に対して
・f′(x) > f′′(x)
・f(x)>>0
を満たすとき，
f(x) > f′(x) > 0
が成り立つことを示せ。
689(3): 2010/08/06(金)17:27 AAS
t＞0 において，ある正の定数 C が存在して，次の不等式が成り立つ事を示せ．
|∫[0，∞] exp( i t x^2-x^4 ) dx | ≦ C/√t
ただし i は虚数単位
695(3): 2010/08/26(木)22:47 AAS
a+b+c+abc=4でa,b,cがすべて正の実数であるときa+b+c≧ab+bc+caであることを示せ。
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