[過去ﾛｸﾞ] スレタイ 箱入り無数目を語る部屋4 (1002ﾚｽ)
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902: 2022/11/07(月)00:40 ID:e0OEzaz4(1/15) AAS
>>901
その文章を書いたのは自分だが、「 s_1∈R^N を任意に選ぶ権利が与えられている」
と書いたように、>>883で想定しているのは
∀s_1∈R^N s.t. ・・・
という意味での権利である。もちろん、時枝記事での実数列の選び方もこれ。
一方で君は、「任意に選ぶ権利が与えられている」という記述を見て、なぜか
「確率変数による記述によってランダムに選ぶ」
省1
903: 2022/11/07(月)00:41 ID:e0OEzaz4(2/15) AAS
もしそういう設定にしたいなら、予め確率空間を設定しておいて、
その確率空間のもとで出題すると明言するよ。たとえば、
確率空間([0,1]^N,F_N,μ_N) ([0,1]^N 上の一様分布が実現される)を
直前に明記しておいて、
「 s_1∈[0,1]^N を、一様分布に従ってランダムに選ぶ権利が与えられている」
と書くよ。そういう設定にしたいならね。
でも、>>883は違うんだ。そういう設定のつもりで書いたわけではない。
省4
904: 2022/11/07(月)00:46 ID:e0OEzaz4(3/15) AAS
で、>>883とは独立した設定として、
「 s_1∈[0,1]^N を、一様分布に従ってランダムに選ぶ権利が与えられている 」
のような設定を個別に考えることはもちろん可能。
ただし、それは君のオリジナル設定にすぎなくて、
>>883で意図した設定(＝時枝記事での設定)とは異なる。
特に、君のオリジナル設定のもとで何が言えても、時枝記事とは無関係。
そんだけ。
905(1): 2022/11/07(月)00:49 ID:e0OEzaz4(4/15) AAS
というか、君、毎回現れては最終的に論破されて黙り込んで逃げ出して、
日を改めて別のIDになったら しれっと再登場して、
懲りずに前回と似たような主張を繰り返すよね。いい加減にしろよ。
「著者が意図していた設問(時枝記事の設問)」には勝つ戦略があり、
「読者オリジナル設問」には勝つ戦略も負ける戦略もない(非可測なので)。
君は「読者オリジナル設問の方が気分がいい」と主張したが、
それはただの負け惜しみ(>>605)。
省1
906: 2022/11/07(月)01:14 ID:e0OEzaz4(5/15) AAS
そもそも、>>883の設定ではずっと同じ s_1 を使うのだから、
「∀s_1∈R^N s.t.・・・」
という設定と
「s_1∈[0,1]^Nを一様分布に従ってランダムに選ぶ」
という設定とで結論は変わらないはず。
省4
907(1): 2022/11/07(月)01:19 ID:e0OEzaz4(6/15) AAS
すると、>>297の(☆)により、そもそも
∀s_1∈[0,1]^N s.t. η(A_{s_1}) ≧ 99/100
という強い性質が最初から成り立っているので、
s_1∈[0,1]^Nを一様分布に従ってランダムに選ぶ場合にも、
当然ながら η(A_{s_1}) ≧ 99/100 が成り立っている。
というわけで、>>883はどちらの解釈でも結論は変わらない。
910(1): 2022/11/07(月)02:25 ID:e0OEzaz4(7/15) AAS
>>908
この観点から記述すると、1回目だけの試行は非可測だろうな。ただし、
「 "lim[n→∞] (n回目までの勝利回数) / n ≧ 99/100" が確率 1 で発生する 」
のであって、時枝記事はこれを主張していることになるので、
どのみち時枝記事は正しい。
911: 2022/11/07(月)02:57 ID:e0OEzaz4(8/15) AAS
>>910
これ、「1回目だけの試行は非可測」と書いたが、それも事象の捉え方によって
可測・非可測が変わってしまうな。ちゃんと確率空間を設定しないと説明しきれん。
912: 2022/11/07(月)03:01 ID:e0OEzaz4(9/15) AAS
出題者が s∈[0,1]^N を出題するごとに、
回答者はこの s に対して時枝戦術を可算無限回テストすることにする。
具体的には、回答者は i＝(i_1,i_2,…)∈{1,2,…,100}^N をランダムに選び、
n回目のテストでは番号 i_n に対する時枝戦術を実行することにする。
よって、この i＝(i_1,i_2,…) には回答者の可算無限回分の行動が
全て記述されていることになり、回答者は i＝(i_1,i_2,…)に沿った
時枝戦術を機械的に実行することになる。
省2
913: 2022/11/07(月)03:01 ID:e0OEzaz4(10/15) AAS
この状況を記述する確率空間を以下で定義する。>>293の確率空間 (I,G,η) を取り、
これを可算無限個用意して直積確率空間を作る。それを (I^N,G_N,η_N) と置く。
この確率空間は、i＝(i_1,i_2,…)∈I^N＝{1,2,…,100}^N を一様分布に従って
ランダムに選ぶ操作を実現する確率空間である。
>>291の確率空間([0,1]^N, F_N, μ_N)と上記の(I^N, G_N, η_N)の積空間を、
ここでは (Ω,F,P) と書くことにする。この確率空間の完備化を(Ω,F_w,P_w)と書く。
914: 2022/11/07(月)03:03 ID:e0OEzaz4(11/15) AAS
出題者が実数列 s∈[0,1]^N を選び、回答者が行動予定表 i∈I^N を選んだとき、
n回目までの時枝テストが終わった時点での回答者の勝利回数を S_n(s,i) と置く。そして、
A ＝ { (s,i)∈Ω｜liminf[n→∞] S_n(s,i) / n ≧ 99/100 }
と置く。実は、A∈F_w かつ P_w(A) ＝ 1 が成り立つことが言える。すなわち、
P_w.a.e.(s,i)∈Ω s.t. liminf[n→∞] S_n(s,i) / n ≧ 99/100
が成り立つ。これは、
省4
915(2): 2022/11/07(月)03:04 ID:e0OEzaz4(12/15) AAS
次に、s∈[0,1]^N と 1≦k≦100 に対して、
出題 s のもとで回答者が番号 k での時枝戦術を実行して
回答者が勝つときに f(s,k)：＝1 と置き、回答者が負けるときに f(s,k)：＝0 と置く。
このとき、i∈I^N に対して S_n(s,i)＝Σ[k＝1〜n] f(s,i_k) が成り立つことに注意せよ。
A_1：＝{ (s,i)∈Ω｜f(s,i_1)＝1 }
と置くと、この A_1 は「回答者が1回目の時枝テストで勝利する」という事象になっている。
916: 2022/11/07(月)03:05 ID:e0OEzaz4(13/15) AAS
任意の s∈[0,1]^N に対して、A_1 の s における断面 (A_1)_s は (I^N,G_N,η_N)において可測である。
実際、(A_1)_s ＝ { i∈I^N｜f(s,i_1)＝1 } ＝ { i_1∈I｜f(s,i_1)＝1 } × I^N
である。C_1：＝ { i_1∈I｜f(s,i_1)＝1 } と置くと、C_1∈pow(I)＝G である。
特に C_1×I^N ∈ G_N である。よって、(A_1)_s は可測である。
917: 2022/11/07(月)03:10 ID:e0OEzaz4(14/15) AAS
一方で、A_1 そのものは非可測である。実際、g：([0,1]^N×I)×I^N → [0,1]^N×I^N (＝Ω) を
g( (s,i_1), (i_2,i_3,…) )：＝ ( s, (i_1,i_2,i_3,…) ) と定義し、さらに
B：＝{(s,i_1)∈[0,1]^N×I｜f(s,i_1)＝1}
と置く。すると、A_1 ＝ g(B×I^N) と表せる。
B は確率空間 ([0,1]^N×I, F_N×G, μ_N×η)の完備化の中で非可測(スレの中盤で証明したとおり)
なので、A_1 ＝ g(B×I^N) は確率空間 (Ω,F_w,P_w) の中で非可測であることが示せる。
証明の概略だけ書くと、もし A_1 が可測なら、g^{-1}(A_1) も可測、すなわち B×I^N は可測。
省2
918: 2022/11/07(月)03:13 ID:e0OEzaz4(15/15) AAS
よって、A_1 は非可測だが、s∈[0,1]^N ごとに、A_1 の s における断面 (A_1)_s は可測である。
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