[過去ﾛｸﾞ] スレタイ 箱入り無数目を語る部屋4 (1002ﾚｽ)
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917: 2022/11/07(月)03:10 ID:e0OEzaz4(14/15) AAS
一方で、A_1 そのものは非可測である。実際、g：([0,1]^N×I)×I^N → [0,1]^N×I^N (＝Ω) を
g( (s,i_1), (i_2,i_3,…) )：＝ ( s, (i_1,i_2,i_3,…) ) と定義し、さらに
B：＝{(s,i_1)∈[0,1]^N×I｜f(s,i_1)＝1}
と置く。すると、A_1 ＝ g(B×I^N) と表せる。
B は確率空間 ([0,1]^N×I, F_N×G, μ_N×η)の完備化の中で非可測(スレの中盤で証明したとおり)
なので、A_1 ＝ g(B×I^N) は確率空間 (Ω,F_w,P_w) の中で非可測であることが示せる。
証明の概略だけ書くと、もし A_1 が可測なら、g^{-1}(A_1) も可測、すなわち B×I^N は可測。
よって、η_N.a.e.i∈I^N に対して、B×I^N の i での断面 (B×I^N)_i は可測。
(B×I^N)_i＝B なので、B は可測となって矛盾。よって、A_1 は非可測。
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