IUTを読むための用語集資料集スレ

[過去ﾛｸﾞ] IUTを読むための用語集資料集スレ (1002ﾚｽ)
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9: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [sage] 2020/06/21(日) 08:07:13.94 ID:W0WIc7wX

>>8

つづき

・エルミート・ミンコフスキーの定理：
https://en.wikipedia.org/wiki/Hermite%E2%80%93Minkowski_theorem
In mathematics, especially in algebraic number theory, the Hermite?Minkowski theorem states that for any integer N there are only finitely many number fields, i.e., finite field extensions K of the rational numbers Q, such that the discriminant of K/Q is at most N. The theorem is named after Charles Hermite and Hermann Minkowski.
This theorem is a consequence of the estimate for the discriminant
√ {|d_{K}| >=  {n^{n}/{n!}(π/4)^{n/2}
where n is the degree of the field extension, together with Stirling's formula for n!. This inequality also shows that the discriminant of any number field strictly bigger than Q is not ±1, which in turn implies that Q has no unramified extensions.
References
Neukirch, Jurgen (1999). Algebraic Number Theory. Springer. Section III.2 （多分訳本あり）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9F%E3%83%B3%E3%82%B3%E3%83%95%E3%82%B9%E3%82%AD%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
ミンコフスキーの定理は凸体の中の格子点の存在に関する定理で、 原点に関して対称な凸集合は体積が十分大きいとき、必ず原点以外の格子点を有することを主張している。 ヘルマン・ミンコフスキーによって証明され、二次形式の研究に用いられた。 凸体と格子点の関係に関する研究は数の幾何学へと発展し、二次形式のほか、代数体の単数やイデアル類群の性質の研究、ディオファントス近似など数論の様々な領域に応用されている。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E5%BD%A2%E5%BC%8F
二次形式

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/9

96: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/07/11(土) 19:45:09.94 ID:PRf3fy9U

楕円曲線、判別式 Δ:=-16(4a2-27b2)
http://www.suri-joshi.jp/enjoy/rational_points_of_elliptic_curve/
数理女子
楕円曲線の有理点

楕円曲線と有理点
Q
上定義された楕円曲線とは、
a1, a2,…,a6∈Q
に対し、
y2+a1xy+a3y=x3+a2x2+a4x+a6
で表される曲線です。ただし2次曲線の場合と同様、退化する場合は除いておきます。 この曲線は
y2=x3+ax+b,(a,b∈Q)
という形の標準形へ持って行くことができることが知られています。このとき、 退化するのは「右辺=0」という方程式が重根を持つ場合、
つまり判別式
Δ:=-16(4a2-27b2)が0
となるときです。上の方程式で表される楕円曲線を
Eと書き、 その有理点全体の集合を
E(Q)
と記します。ただし無限遠点を１つ余分に付け加えておきます。 すなわち、
E(Q):={(x,y)∈Q2?y2=x3+ax+b}∪{∞}
とします。

Mordellの定理とBirchとSwinnerton-Dyer予想
以上の考察から、楕円曲線の有理点は二次曲線の場合とは異なり、有理点の数が有限個だったり無限個だったりと複雑な振る舞いをしていることが分かります。 これに関して、以下の大事な結果が知られています。

Mordellの定理　
E(Q)
は、有限個の有理点
P1,…,Pn
から上記の操作で生成される。

与えられた楕円曲線の有理点の個数の大きさを予想しているのがBirch and Swinnerton-Dyer予想です。
Birch and Swinnerton-Dyer予想（BSD予想）は、楕円曲線の有理点の大きさが、
L関数と呼ばれる関数で記述されると予想しています。 この予想は、幾何学的な対象の数論的な情報と
L関数の関係を調べるという、整数論と呼ばれる数学分野の中心的なテーマの１つであり、今後取り組むべき重要な７つの問題としてクレイ数学研究所により選ばれたミレニアム懸賞問題の１つでもある、とても大切な問題です。

http://www.math.kyoto-u.ac.jp/~tetsushi/files/Galois_fest_ito_200705.pdf
・「楕円曲線の数論幾何」伊藤哲史先生（京都大学）のスライド

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/96

591: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/10/24(土) 22:10:23.94 ID:i6I9Q5ne

純粋・応用数学(含むガロア理論)5
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/162
162 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2020/10/24(土) 20:50:21.67 ID:qKLszrb1 [26/26]
>>156
>The Mathematics of Mutually Alien Copies: from Gaussian Integrals to Inter-universal Teichmuller Theory.

IUTで度々、ガウス積分が出て来て、なんか唐突だな、と感じてたけど
たまたまウィキペディアのガウス和のページを見て
そこに以下の式が書いてあったので「ああ、これか！」と気づいたんだよね
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ガウス和の別の表現は、次のようなものである：
Σr e^(2πir^2/p)
二次ガウス和は、テータ関数の理論と密接に関連している。
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（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%82%A6%E3%82%B9%E5%92%8C
ガウス和

ガウス和（ガウスわ、英: Gauss sum）あるいはガウスの和とは、ある特別な1の冪根の有限和である。

ガウス和はガンマ関数の有限体における類似物である。

このような和は数論において至る所で現れる。例えば、あるディリクレ指標 χ に対して L(s, χ) と L(1 ? s, χ￣) を関連付ける方程式が
G(χ) /|G(χ)|
を含むような、ディリクレのL関数の関数等式に現れる。ただし χ￣ は χ の複素共役である。

歴史
このガウス和の別の表現は、次のようなものである：
Σ{r} e^{2πir^2}/p}
二次ガウス和は、テータ関数の理論と密接に関連している。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/591

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