IUTを読むための用語集資料集スレ

[過去ﾛｸﾞ] IUTを読むための用語集資料集スレ (1002ﾚｽ)
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42: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [sage] 2020/06/26(金) 06:46:07.90 ID:zl2qUDG1

>>41
つづき

In some sense, the most fundamental outstanding problem left unsolved in
[Mzk1] is the following:
How can one get rid of the Gaussian poles (cf. §1)?
For instance, if one could get rid of the Gaussian poles in Theorem A, there
would be substantial hope of applying Theorem A to the ABC (or, equivalently,
Szpiro’s) Conjecture.

Section 2: The Theta Convolution

In fact, returning to the theory of the Gaussian on the real line, one may
recall that one “important number” that arises in this theory is the integral of the
Gaussian (over the real line). This integral is (roughly speaking) √π. On the other
hand, in the theory of [Mzk2], Gaussians correspond to “discrete Gaussians” (cf.
[Mzk2], §2), so integrals of Gaussians correspond to “Gauss sums.” That is to say,
Gauss sums may be thought of as a sort of discrete analogue of √π. Thus, the
appearance of Gauss sums in the theory of [Mzk2] is also natural from the point of
view of the analogy of the theory of [Mzk1] with the classical theory of Gaussians
and their derivatives (cf. §1.2).

(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/42

603: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/10/25(日) 17:08:33.90 ID:eIdDsFH8

つづき

モジュラー曲線上の函数としての扱い
C の格子 Λ は C 上の楕円曲線 C/Λ を決定する。上で格子の集合上の函数とみなせることを説明したが、同じように楕円曲線の集合の上の函数ともみなすことができる。このようにして、モジュラー形式はモジュラー曲線の上の直線束の切断と考えることができる。たとえば、楕円曲線の j-不変量はモジュラー曲線の有理関数体の生成元である。
直線束の切断としての解釈は次のように説明できる。ベクトル空間 V にたいし射影空間 P(V) 上の函数を考える。V 上の函数 F で V の元 v ≠ 0 の成分の多項式であって、等式 F(cv) = F(v) を 0 でない任意のスカラー c についてみたすようなものを考えると、そのようなものは定数函数しか存在しない。条件をゆるめて多項式の代わりに分母をつけて有理函数を考えれば、F として同じ次数のふたつの斉次多項式の比とすることができる。あるいは F は多項式のままにしておいて、定数 c に関する条件を F(cv) = ckF(v) と緩めれば、そのような函数は k 次の斉次多項式である。斉次多項式の全体は実際には P(V) 上の函数ではないのだから、P(V) の函数が記述する幾何学的な内容を、本当に斉次多項式が記述できるのかと考えるのは自然である。これは代数幾何学において層（この場合は直線束）の切断を考える事に相当する。これは、モジュラー形式についての状況とちょうど対応する話になっている。

例
テータ函数
θ_L(z)=Σ_{λ ∈ L} e^πi|λ|^2 z
は、ポアソン和公式により重さ n/2 のモジュラー形式である。
偶ユニモジュラー格子を構成するのは容易ではないが、次のような構成法がある。n を 8 で割れる整数とし、Rn のベクトル v で、 2v の各成分が全て偶数あるいは全て奇数であり、かつ v の成分の和が偶数、となるようなもの全てを考える。このような格子を Ln とする。n = 8 のとき、これは E8 と呼ばれるルート系のルートによって張られる格子である。 格子 L8 × L8 と L16 は相似ではないが、重さ 8 のモジュラー形式はスカラー倍の違いを除いてただひとつしかないため、
θ_L8ｘ L8(z)=θ_L_16(z)
となることがわかる。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/603

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