IUTを読むための用語集資料集スレ

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127: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/07/14(火) 07:43:33.11 ID:vq8RyVMN

>>125
下記は、本一冊で、図も多く丁寧な解説ですね
http://tunnel-knot.略.jp/3-manifolds.pdf (URLが通らないので略)
20130503 電子版3 次元多様体入門 森元勘治

電子版 あとがき（ポアンカレ予想の解決）
21 世紀になったばかりの，2002 年頃，ポアンカレ予想が解かれたらしい，という噂が数学者の間を駆け巡りました。
私がポアンカレ予想を身近に感じたのは，大学院博士課程の学生であった 1986 年頃，イ
ギリスの二人の数学者がポアンカレ予想を解いたと言っているらしい，という知らせが入
り，そのプレプリント（正式論文になる前の原稿）が出回ったころでした。そこで，その当
時大阪大学におられた小林毅さんが中心となって，プレプリントの読み合わせが行われま
した。議論は，本書でも紹介したヒーガード分解を用いた証明であり，与えられた多様体の
ヒーガード分解を考え，基本群が自明な群であることを用いて，種数を落とし，最後に種数
0 の S3 になることを示すという手法でした。しかし，細かい議論において，どうしても追
求できないところがあり，どうしたものかと悩んでいる内に，世界の各所で（特にアメリカ
で），議論に不備があるということになり，そのまま立ち消えになってしまいました。また，
1989 年頃，フランスの数学会に出席した折，フランスの数学者が，ポアンカレ予想の解決に
ついて長時間の講演を行っていましたが，聴衆はあまり信憑性を感じていないようでした。
歴史をひもとくと，プリンストン大学において，パパキリヤコプーロスとその後を追いかけ
るハーケンが熾烈な競争を続け，その “証明” を巡って，厳しいやりとりがあったことは，あまりに有名な伝説となっています。
2006 年 8 月 22 日，スペイン・マドリッドの国際会議場で 4 年に 1 度の国際数学者会議が
開催され，開会式において，フィールズ賞の受賞者が紹介されました。私は，その会議場の
2 階奥の席でじっとその時を待っていました。司会者が，ペレルマンにフィールズ賞を授与
することを会場全体に告げました。しかし，ペレルマンは一向に現れません。そして，しば
らくした後，司会者から，「ペレルマンは受賞を辞退し，この会場には現れません」と告げら
れると，会場全体にどよめきともため息とも言えぬ空気が流れました。
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/127

602: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/10/25(日) 17:08:18.11 ID:eIdDsFH8

>>601
>q-parameters

モジュラー形式のq-展開 q = exp(2πiz) と同様か
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E5%BD%A2%E5%BC%8F
モジュラー形式
(抜粋)
モジュラー形式論は、もっと一般の場合である保型形式論の特別な場合であり、従って現在では、離散群の豊かな理論のもっとも具体的な部分であると見ることもできる。

例
格子上の函数としての扱い
重さ k のモジュラー形式は複素数全体の成す集合 C における格子 Λ の集合上の函数 F で条件
1.格子 ?α, z? が定数 α と変数 z で生成されるならば、F(Λ) は z の解析函数である。
2.α が 0 でない複素数で、αΛ を Λ の各元に α を掛けることによって得られる格子とするとき、F(αΛ) = α?kF(Λ) を満たす。
3.F(Λ) の絶対値は、 Λ の 0 でない最小の元の 0 からの距離が有界である限りにおいて、有界である。
をみたすものとして考えることができる。k = 0 のとき、条件 2 は F が格子の相似類にしか依らないことを言っている。条件 3 をみたす重さ 0 のモジュラー形式は定数関数のみである。条件 3 を外して、函数が極を持つことを許せば、荷重 0 の場合の例としてモジュラー函数と呼ばれるものを考 えることができる。

このように定めたモジュラー形式 F を複素一変数の函数に変換するのは簡単で、z = x + iy で y > 0 かつ f(z) = F(?1, z?) とすればよい（y = 0 とすると 1 と z が格子を生成できないので、y が正である場合にのみに限って考える）。前節の条件 2 はここでは、（モジュラー群の作用として）整数 a, b, c, d で ad ? bc = 1 を満たすものに対する函数等式
f(az+b / cz+d)=(cz+d)^kf(z)
となる。たとえば
f(-1/z)=F(1,-1/z)=z^kF( z,-1)=z^kF( 1,z )=z^kf(z)
などである。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/602

744: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/11/04(水) 15:06:33.11 ID:lTaOluRt

（>>718より、さらに補足）
１．0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............
２．ここに、 S(α) は、後者関数である
３．0, 1, 2, 3, ............の部分は、有限順序数（自然数）が通常の順序で並んでいて、後者関数で表現できるのだ
　 つまり S(n) ：＝S(n-1) だ。ωのみは、後者関数で表現できない
４．じゃ、ωとは何者よ？ 一つの理解は、S(n)のｎ→∞の極限として理解すること。もう一つは、ωをある種の”コンパクト化”として理解すること
　いずれも、可能な限り後者関数の性質を受け継ぐものとしてね。それは、コーシ列とか、リーマン球面の北極点に同じだよ
　このとき、ノイマンの後者関数なら、集合としてのω＝N（自然数全体からなる可算無限集合）であり
　Zermeloによるシングルトンの後者関数なら、シングルトンでの 0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω)の、ωの位置を占めるものになるよね
　それ即ち、順序数ωを意味するシングルトンなり！
５．こう解釈して何が悪い？ 抽象化された現代数学での 有理数以上における 数学的概念の対象って、みんなそんなものでしょ？
　これ、（有理）コーシー列による超越数の抽象的な定義に、同じだよね

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
順序数
順序数の大小関係
順序数の並び方を次のように図示することができる：
0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............,
まず、0 が最小の順序数である。その後に S(0) = 1, S(S(0)) = 2, S(S(S(0))) = 3, ... と有限順序数（自然数）が通常の順序で並んでいる。そして、すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 ω である。ω の後にはまたその後続者たちが S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ... と無限に続いていく
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/744

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