IUTを読むための用語集資料集スレ

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81: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/07/04(土) 22:04:48.06 ID:CndtYA/1

転載：圏論をかじっておくと、IUTでも役に立つよ
純粋・応用数学（含むガロア理論）2
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592578498/655
現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 投稿日：2020/07/04(土) ID:CndtYA/1
math jinさんを見て買いました
これいいわ
紙が必要な方は、お早めに
キンドル版もあるみたいだが

なんかね
・圏論と集合論 ／ 渕野昌：これ結構良い
・ソフトウェアの数理モデルと圏論 ／ 檜山正幸：檜山正幸さんて、学者さんでもないのに、すごいね〜

http://www.seidosha.co.jp/book/index.php?id=3438
青土社
現代思想2020年7月号　特集＝圏論の世界
-現代数学の最前線-

【Discussion】
圏論がひらく豊穣なる思考のインタラクション ／ 加藤文元＋西郷甲矢人

【Keynote/Introduction】
圏論の哲学――圏論的構造主義から圏論的統一科学まで ／ 丸山善宏
圏はどういうものであったか ／ 小原まり子

【Mathematics/Logic】
圏論とトポロジー ／ 玉木大
数論幾何と圏論 ／ 伊藤哲史
圏論的論理学への道案内――論理学と数学をつなぐトポス ／ 荒武永史
圏論と集合論 ／ 渕野昌

【Computing/Language】
コンピュータ科学と圏論についての回想と考察 ／ 三好博之
代数的言語理論の圏論的公理化とガロア理論との統一 ／ 浦本武雄
ソフトウェアの数理モデルと圏論 ／ 檜山正幸

【Sciences/Art】
科学の書き言葉としての圏論 ／ 谷村省吾
普遍性とそのゆらぎ――ネットワークの圏論的諸展開 ／ 春名太一
圏論の展開?脱圏論への転回 ／ 郡司ペギオ幸夫
圏の図式からみた芸術の理論――穴・コホモロジー・アブダクション ／ 久保田晃弘

【Philosophy】
圏論による現象学の深化――射の一元論・モナドロジー・自己 ／ 田口茂＋西郷甲矢人
数学の構造概念はフランスの構造主義にいかなる理解をもたらすか――ブルバキ、カヴァイエス、ロトマン、そして圏論を手引きにして ／ 中村大介
アラン・バディウの哲学と数学の関係についての批判的考察――「概念の哲学」のポスト・カヴァイエス的展開の諸相という観点から ／ 近藤和敬

【連載●科学者の散歩道●第六九回】
新たな居場所を求めて――人格教育と科学 ／ 佐藤文隆

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/81

597: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/10/25(日) 09:24:26.06 ID:eIdDsFH8

>>596
つづき

Finally, in passing, we note that this discussion applies, albeit in perhaps a somewhat
trivial way, to the isomorphism of Galois groups ΨηX : GK〜→ GK induced by the
Frobenius morphism ΦηX in Example 2.6.1, (i): That is to say, from the point of view
of classical ring theory, this isomorphism of Galois groups is easily seen to coincide with
the identity automorphism of GK. On the other hand, if one takes the point of view
that elements of various subquotients of GK are equipped with labels that arise from
the isomorphisms ρ or κ of Example 2.6.1, (ii), (iii), i.e., from the reciprocity map of
class field theory or Kummer theory, then one must regard such labelling apparatuses
as being incompatible with the Frobenius morphism ΦηX . Thus, from this point
of view, the isomorphism ΦηX must be regarded as a “mysterious, indeterminate
isomorphism” [cf. the discussion of §2.7, (iii)].
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/597

604: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/10/25(日) 17:08:47.06 ID:eIdDsFH8

つづき

モジュラー函数
複素変数複素数値の函数 f がモジュラーである、あるいはモジュラー函数とは、以下の条件

f は上半平面 H 上で有理型である;
モジュラー群 Γ に属する任意の行列 M に対して f(Mτ) = f(τ) を満たす;
f のフーリエ級数は
f(τ )=Σ_{n=-m}-{∞}a(n)e^{2iπ nτ}
の形に表され、これは下に有界、つまり e2iπτのローラン多項式であり、したがって尖点においても有理型である
を満たすものを言う。任意のモジュラー函数がクラインの絶対不変量 j (τ) の有理函数として表され、また j (τ) の有理函数がモジュラー函数となることが示せる。さらに、任意の解析的モジュラー函数はモジュラー形式となるが、逆は必ずしも成り立たないことも示される。モジュラー函数 f が恒等的に 0 でないならば、基本領域 RΓ の閉包における f の零点の個数と極の個数とは一致する。

一般レベルのモジュラー形式
q-展開
モジュラー形式の q-展開 (q-expansion)[note 2] はカスプにおけるローラン級数、あるいは同じことだが（ノーム(nome)の平方）q = exp(2πiz) のローラン級数として表されるフーリエ級数である。実際、複素函数 "exp" はガウス平面上では消えないので q ≠ 0 だが、実軸の負の部分に沿って w → ?∞ とした極限で exp(w) → 0 なので、2πiz → ?∞ すなわち虚軸の正の部分に沿って z → i?∞ とした極限で q → 0 である。したがって、q-展開はカスプにおけるローラン級数になっている。
「カスプにおいて有理型」というは、負冪の項の係数のうち 0 でないものが有限個しかないという意味であり、したがって q-展開
f(z)=Σ_{n=-m}-{∞} c_{n}exp(2π inz)=Σ_{n=-m}-{∞}c_{n}q^n.
は下に有界かつ q = 0 において有理型である。ここに、係数 cn は f のフーリエ係数であり、整数 m は f の i?∞ における極の位数である。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/604

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