[過去ﾛｸﾞ] (･ω･)俺が日々の数学的発見を書くスレ (139ﾚｽ)
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15: ◆uxQt4Y4ywU 2019/06/20(木)10:09 ID:FDNF7aqf(1) AAS
[証明](後半)
いま、任意のa>0に対してa^n*I_n→0(n→∞)となるような
強力な数列の漸化式I_[n+1]=((4n+2)/π)I_n-I_[n-1]が得られた。
(I_0=2 , I_1=4/πである)
この強力な性質が、πの無理性に起因することを示そう。
π∈Qだと仮定する。π=p/q(p,q∈N、pとqは互いに素)とおける。
J_n=p^n*I_nとおくと、上記の事実により
J_[n+1]=q(4n+2)J_n-p^2*J_[n-1]
J_0=2 , J_1=4q , J_n→0(n→∞)
となる。帰納的にJ_n∈Z(for∀n)であるから、
省5
16: ◆uxQt4Y4ywU 2019/06/20(木)10:17 ID:eEntaTO9(1/2) AAS
[定理]
3.141<π<3.143である。
17: ◆uxQt4Y4ywU 2019/06/20(木)10:37 ID:eEntaTO9(2/2) AAS
[証明]
t∈[0,1]のとき1/2≦1/(t^2+1)≦1であるから、
b_n=t^n*(1-t)^nとすれば
(1/2)b_4≦b_4/(t^2+1)≦b_4
である。よって、
(1/2)∫[0→1]b_4dt<∫[0→1]b_4/(t^2+1)dt<∫[0→1]b_4dt
が成り立つ。ここで、
∫[0→1]b_4dt=4!4!/9!=1/630
∫[0→1]b_4/(t^2+1)dt
=∫[0→1]{t^6-4t^5+5t^4-4t^2+4-(4/(t^2+1))}dt
省7
18(1): 2019/06/20(木)11:49 ID:CMEFHFbs(1) AAS
いいスレね
毎日見るわ
19: ◆uxQt4Y4ywU 2019/06/20(木)12:04 ID:OEKcl1so(1/5) AAS
[定理]
2.7182<e<2.7183である。
20(1): ◆uxQt4Y4ywU 2019/06/20(木)12:05 ID:OEKcl1so(2/5) AAS
[証明]
次の事実に注意しておく。(n,k,m∈N,n≧k,n≧2)
nCk(1/n)^k<1/k!
nCk(1/n)^k→1/k!(n→∞)
k≧mのとき、1/k!≦(1/m!)(1/(m+1))^(k-m)
以下、n∈Nは十分大きいとする。
(1+1/n)^n
=Σ[k=0→n]nCk(1/n)^k
=Σ[k=0→5]nCk(1/n)k+Σ[k=6→n]nCk(1/n)^k
<Σ[k=0→5]nCk(1/n)k+Σ[k=6→n]1/k!
省12
21: ◆uxQt4Y4ywU 2019/06/20(木)12:06 ID:OEKcl1so(3/5) AAS
[定理]
eは無理数である。
22: ◆uxQt4Y4ywU 2019/06/20(木)12:06 ID:OEKcl1so(4/5) AAS
[証明]
e∈Qと仮定する。
e∈¬Zより、e=p/q(p,q∈N,q>1)とおける。
S=Σ[k=0→q]q!/k! (∈N)としておく。
以下、n∈Nは十分大きいとする。
(1+1/n)^n
=Σ[k=0→n]nCk(1/n)^k
>Σ[k=0→q]nCk(1/n)^k
→Σ[k=0→q]1/q! (n→∞)
(1+1/n)^n
省11
23: ◆uxQt4Y4ywU 2019/06/20(木)12:08 ID:OEKcl1so(5/5) AAS
>>18
ありがとう
だけど気分によって投稿間隔が大幅に揺れるから
１ヶ月レスしないとかザラにあると思う
それは勘弁
24: ◆uxQt4Y4ywU 2019/06/20(木)12:18 ID:KCWGPWJy(1/2) AAS
>>20訂正
Σ[k=0→5]nCk(1/n)k
となっている箇所は正しくは
Σ[k=0→5]nCk(1/n)^k
25: ◆uxQt4Y4ywU 2019/06/20(木)19:02 ID:KCWGPWJy(2/2) AAS
["πは無理数"の早見表](暗記推奨)
I_n=(π^(n+1)/n!)∫[0→1]t^n*(1-t)^n*sintdtとすると
?I_[n+1]=((4n+2)/π)I_n-I_[n-1] , I_0=2 , I_1=4/π
?a^n*I_n→0 (n→∞) (for∀a>0)
π=p/q(p,q∈N)として、J_n=p^n*I_nとおくと
?J_[n+1]=q(4n+2)J_n-p^2*J_[n-1] , J_0=2 , J_1=4q
?J_n→0 (n→∞) , J_n∈N (for∀n)
→矛盾であるのでπ∈¬Q//
26: ◆uxQt4Y4ywU 2019/06/22(土)08:58 ID:ViY+4mff(1/3) AAS
[定理]
2019個の有理数a_1,…,a_2019が
「どの1つを取り除いても残りの2018個を和が
等しくなるように1009個ずつに二分できる」
ならばa_1,…,a_2019は全て等しい。
27: ◆uxQt4Y4ywU 2019/06/22(土)09:03 ID:ViY+4mff(2/3) AAS
[概説]
a_1~a_2019は整数だとしてよく、全ての偶奇は一致する。
これらに対し、2で割るか、±1を足して2で割る操作を繰り返すと
あるタイミングでa_1~a_2019の中に0が生じるが、
このときに0でないものが含まれていると
その後2で割る操作を続けた時に奇数が生じて
a_1~a_2019の偶奇が一致することに矛盾する。
28: ◆uxQt4Y4ywU 2019/06/22(土)09:05 ID:ViY+4mff(3/3) AAS
[証明]
有理数a_1,a_2,…,a_2019のことを{a}と書く。
2019個の数が
「どの1つを除いても残りの2018個の数を総和が等しくなるように1009個ずつに二分出来る」
という性質を持つとき、これを性質Pと呼ぶ事にする。
{a}が性質Pを持つとき、各々の有理数に等しい整数をかけて出来る有理数列も性質Pを持つ。
よって、以下では{a}は全て整数として良い。
{a}の総和をSとすると、{a}が性質Pを持つとき、S-a_i=(偶数) (for∀i)である。
よってa_iとSの偶奇は一致し(for∀i)、したがって{a}の各々の偶奇は一致する。…(＊)
ここで次の操作を考える。
省13
29: ◆uxQt4Y4ywU 2019/06/23(日)07:55 ID:SQl9GoQP(1/3) AAS
[定理]
2019個の実数a_1,…,a_2019が
「どの1つを取り除いても残りの2018個を和が
等しくなるように1009個ずつに二分できる」
ならばa_1,…,a_2019は全て等しい。
30: ◆uxQt4Y4ywU 2019/06/23(日)07:55 ID:SQl9GoQP(2/3) AAS
[証明]
実数a_1,a_2,…,a_2019のことを{a}と書く。
また、行列Xの転置行列をX^Tと書く。
題意より、{a}からa_iを取り除いて、和が等しくなるように
1009個ずつのグループP,Qに二分する事ができる。
行列Aの(i,j)成分A(i,j)を次のように定める。
A(i,i)=0 , A(i,j)=1(if a_j∈P) , A(i,j)=-1(if a_j∈Q)
列ベクトルxを、x=(a_1,…,a_2019)^Tとすると、
Ax=0 (0は2019×1の零行列)である。
ここで、Aから1列目と2019行目を取り除いた
省21
31: ◆uxQt4Y4ywU 2019/06/23(日)07:58 ID:SQl9GoQP(3/3) AAS
↑訂正
(1,n)としてある所は正しくは(n,1)
32: ◆uxQt4Y4ywU 2019/06/23(日)07:59 ID:d+1+ZoF7(1/7) AAS
[定理]
無理数の無理数乗が有理数となる場合が存在する。
33(1): ◆uxQt4Y4ywU 2019/06/23(日)08:04 ID:d+1+ZoF7(2/7) AAS
[証明]
「ある無理数a,bが存在してa^b∈Qとなる」
を命題Pとする。√2は無理数である。
(√2)^(√2)が有理数ならばPは真。
(√2)^(√2)が無理数ならば、これの√2乗は
((√2)^(√2))^(√2)=(√2)^2=2∈Qとなり、
無理数の無理数乗が有理数となるのでPは真。
以上からPが真である事が示された。//
34: ◆uxQt4Y4ywU 2019/06/23(日)08:04 ID:d+1+ZoF7(3/7) AAS
[定理]
√2は無理数である。
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