[過去ﾛｸﾞ] (･ω･)俺が日々の数学的発見を書くスレ (139ﾚｽ)
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17: ◆uxQt4Y4ywU 2019/06/20(木)10:37 ID:eEntaTO9(2/2) AAS
[証明]
t∈[0,1]のとき1/2≦1/(t^2+1)≦1であるから、
b_n=t^n*(1-t)^nとすれば
(1/2)b_4≦b_4/(t^2+1)≦b_4
である。よって、
(1/2)∫[0→1]b_4dt<∫[0→1]b_4/(t^2+1)dt<∫[0→1]b_4dt
が成り立つ。ここで、
∫[0→1]b_4dt=4!4!/9!=1/630
∫[0→1]b_4/(t^2+1)dt
=∫[0→1]{t^6-4t^5+5t^4-4t^2+4-(4/(t^2+1))}dt
=(t^7/7-(2/3)t^6+t^5-(4/3)t^3+4t)[0→1]-4(Arctan t)[0→1]
=22/7-π
なので、1/1260<22/7-π<1/630を得る。
よって、22/7-1/630<π<22/7-1/1260であり、
22/7-1/630=1979/630=3.1412…>3.141
22/7-1/1260=3959/1260=3.1420…<3.143
であるので、3.141<π<3.143が示された。//

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