[過去ﾛｸﾞ] (･ω･)俺が日々の数学的発見を書くスレ (139ﾚｽ)
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28: ◆uxQt4Y4ywU 2019/06/22(土)09:05 ID:ViY+4mff(3/3) AAS
[証明]
有理数a_1,a_2,…,a_2019のことを{a}と書く。
2019個の数が
「どの1つを除いても残りの2018個の数を総和が等しくなるように1009個ずつに二分出来る」
という性質を持つとき、これを性質Pと呼ぶ事にする。
{a}が性質Pを持つとき、各々の有理数に等しい整数をかけて出来る有理数列も性質Pを持つ。
よって、以下では{a}は全て整数として良い。
{a}の総和をSとすると、{a}が性質Pを持つとき、S-a_i=(偶数) (for∀i)である。
よってa_iとSの偶奇は一致し(for∀i)、したがって{a}の各々の偶奇は一致する。…(＊)
ここで次の操作を考える。
(A){a}の全ての整数を2で割る
(B){a}の全ての整数に1を足して2で割る
(C){a}の全ての整数から1を引いて2で割る
{a}の各々が偶数のときは(A)を行い、奇数のときは(B)または(C)を行う事にすると、
新たにできる{a}は全て整数であり、かつ性質Pを持つ。
よって、(＊)により新たな{a}の各々の偶奇は一致する。
さて、{a}に適切に(A)~(C)の操作を有限回行うと(または行わないと)、ある段階(☆)で初めて{a}の中に0があらわれる。
段階(☆)で{a}の中に0でないものa_mがあったと仮定すると、
段階(☆)以後の{a}に対する操作は(A)のみ許されるので、
a_mは有限回の操作(A)の後で必ず奇数になる。
このとき{a}の中に偶数0と奇数a_mが同時に含まれる事になり矛盾する。
以上から、段階(☆)で{a}は全て0でなければならない事が分かった。
これは、操作を行う前の{a}が全て等しかった事を表している。//
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