[過去ﾛｸﾞ] (･ω･)俺が日々の数学的発見を書くスレ (139ﾚｽ)
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30: ◆uxQt4Y4ywU 2019/06/23(日)07:55 ID:SQl9GoQP(2/3) AAS
[証明]
実数a_1,a_2,…,a_2019のことを{a}と書く。
また、行列Xの転置行列をX^Tと書く。
題意より、{a}からa_iを取り除いて、和が等しくなるように
1009個ずつのグループP,Qに二分する事ができる。
行列Aの(i,j)成分A(i,j)を次のように定める。
A(i,i)=0 , A(i,j)=1(if a_j∈P) , A(i,j)=-1(if a_j∈Q)
列ベクトルxを、x=(a_1,…,a_2019)^Tとすると、
Ax=0 (0は2019×1の零行列)である。
ここで、Aから1列目と2019行目を取り除いた
2018×2018の正方行列をBとし、列ベクトルx'を
x'=(a_2,…,a_2019)^Tとする。
また、Aの1列目より成る列ベクトルから最終行を除いた
2018×1の列ベクトルをuとし、Bのn列目をuに置き換えた
正方行列をB_nとする。見やすさのためk=-a_1とする。
このとき、Ax=0はBx'=kuと書ける。
クラメルの公式より、x'の(1,n)成分 : x'(1,n)は
x'(1,n)=k(det B_n)/(det B)となる。
det B=±1、det B_n=±1であるので、x'(1,n)=±k
したがって、x'の各成分の絶対値は|k|に等しい事が分かった。
すなわち、{a}の各々の絶対値は等しい。
以下、{a}の各々の符号が等しい事を示そう。
{a}の中にa_1と符号の異なる数a_n=-kが含まれていると仮定する。
{a}からa_nを取り除いたものを、和が等しくなるように
1009個ずつに二分できる事より、a_1と符号が異なる数は
a_nを除いて偶数個、すなわち全体で奇数個ある。
同様に、{a}からa_1を取り除いたものを和が等しくなるように
二分できる事より、a_1と符号が異なる数は
全体で偶数個あると言えるが、これは上述の事に矛盾する。
以上から、{a}の各々の符号は全て等しい。
したがって題意は示された。//
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