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(・ω・)俺が日々の数学的発見を書くスレ (139レス)
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◆uxQt4Y4ywU
2019/06/22(土)09:05
ID:ViY+4mff(3/3)
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28: ◆uxQt4Y4ywU [sage] 2019/06/22(土) 09:05:17 ID:ViY+4mff [証明] 有理数a_1,a_2,…,a_2019のことを{a}と書く。 2019個の数が 「どの1つを除いても残りの2018個の数を総和が等しくなるように1009個ずつに二分出来る」 という性質を持つとき、これを性質Pと呼ぶ事にする。 {a}が性質Pを持つとき、各々の有理数に等しい整数をかけて出来る有理数列も性質Pを持つ。 よって、以下では{a}は全て整数として良い。 {a}の総和をSとすると、{a}が性質Pを持つとき、S-a_i=(偶数) (for∀i)である。 よってa_iとSの偶奇は一致し(for∀i)、したがって{a}の各々の偶奇は一致する。…(*) ここで次の操作を考える。 (A){a}の全ての整数を2で割る (B){a}の全ての整数に1を足して2で割る (C){a}の全ての整数から1を引いて2で割る {a}の各々が偶数のときは(A)を行い、奇数のときは(B)または(C)を行う事にすると、 新たにできる{a}は全て整数であり、かつ性質Pを持つ。 よって、(*)により新たな{a}の各々の偶奇は一致する。 さて、{a}に適切に(A)~(C)の操作を有限回行うと(または行わないと)、ある段階(☆)で初めて{a}の中に0があらわれる。 段階(☆)で{a}の中に0でないものa_mがあったと仮定すると、 段階(☆)以後の{a}に対する操作は(A)のみ許されるので、 a_mは有限回の操作(A)の後で必ず奇数になる。 このとき{a}の中に偶数0と奇数a_mが同時に含まれる事になり矛盾する。 以上から、段階(☆)で{a}は全て0でなければならない事が分かった。 これは、操作を行う前の{a}が全て等しかった事を表している。// http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1560765220/28
証明 有理数のことをと書く 個の数が どのつを除いても残りの個の数を総和が等しくなるように個ずつに二分出来る という性質を持つときこれを性質と呼ぶ事にする が性質を持つとき各の有理数に等しい整数をかけて出来る有理数列も性質を持つ よって以下ではは全て整数として良い の総和をとするとが性質を持つとき偶数 である よってとの偶奇は一致ししたがっての各の偶奇は一致する ここで次の操作を考える の全ての整数をで割る の全ての整数にを足してで割る の全ての整数からを引いてで割る の各が偶数のときはを行い奇数のときはまたはを行う事にすると 新たにできるは全て整数でありかつ性質を持つ よってにより新たなの各の偶奇は一致する さてに適切にの操作を有限回行うとまたは行わないとある段階で初めての中にがあらわれる 段階での中にでないものがあったと仮定すると 段階以後のに対する操作はのみ許されるので は有限回の操作の後で必ず奇数になる このときの中に偶数と奇数が同時に含まれる事になり矛盾する 以上から段階では全てでなければならない事が分かった これは操作を行う前のが全て等しかった事を表している
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