[過去ﾛｸﾞ] (･ω･)俺が日々の数学的発見を書くスレ (139ﾚｽ)
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1(1): 2019/06/17(月)18:53 ID:O1RoUxa/(1/3) AAS
真面目に数学トークがしたいが行き場が無い
2: 2019/06/17(月)19:01 ID:O1RoUxa/(2/3) AAS
とりあえず自己紹介だけする
度々VIPにいる数学好きの1人
投下するレスは高校数レベル
3(2): ◆uxQt4Y4ywU 2019/06/17(月)19:01 ID:O1RoUxa/(3/3) AAS
固定ハンドルはコレにする
4(1): ◆uxQt4Y4ywU 2019/06/17(月)20:28 ID:ejIHhnsR(1) AAS
[定理]
P(x)、Q(x)はdeg(P)>deg(Q)を満たすモニック多項式であり、P(x)=0は重解を持たないとする。
F:={ω∈C|P(ω)=0}とすれば、
∫(Q(x)/P(x))dx=Σ[ω∈F]Q(ω)log(x-ω)/P'(ω)
が成り立つ。
5(1): 2019/06/17(月)20:42 ID:+Vy13uM4(1) AAS
多項式の係数は何の元？
6(1): 2019/06/17(月)21:04 ID:gEUn5lMn(1) AAS
主張の式の左辺から察するに、モニックがすごく効いてくるんだろうな
7: ◆uxQt4Y4ywU 2019/06/17(月)21:16 ID:oxdTrNS+(1/2) AAS
>>5
複素数です
>>6
積分したい分数関数の分母と分子がモニックでなくても、
最高次係数を括り出せば上の定理が使えます
その事を書くのが面倒であるためモニックとしました
8: ◆uxQt4Y4ywU 2019/06/17(月)21:16 ID:oxdTrNS+(2/2) AAS
>>4
(証明)
P(x)=Σ[ω∈F](x-ω)であるから、
P'(x)=Σ[ω∈F]Π[ω≠φ∈F](x-φ)
よって、各ω∈Fに対して
P'(ω)=Π[ω≠φ∈F](ω-φ)…(＊)
ここで、deg(P)>deg(Q)より、
各ω∈Fに対して定数A(ω)∈Cが存在して
Q(x)/P(x)=Q(x)/Π[ω∈F](x-ω)=Σ[ω∈F]A(ω)/(x-ω) (for∀x∈¬F)
となる。したがって、
省10
9(1): ◆uxQt4Y4ywU 2019/06/17(月)22:04 ID:0GAdCUpi(1) AAS
[定理]
n枚の並行金属板からなるコンデンサーの向かい合う極板表面には、大きさが等しく符号が逆の電荷が溜まる
10: ◆uxQt4Y4ywU 2019/06/17(月)22:42 ID:ZeIRzCOt(1/2) AAS
>>9
(証明)
電場は一様であるとし、電荷は極板表面のみに溜まるとする。
どの極板も同じ形状であり、面積はSであるとする。
極板は上下に並ぶとして、上からi番目の極板をP_iとする。
P_iの極板上部の電荷をA_i、下部の電荷をB_iとする。
S_i=Σ[k=1→i]A_i , T_i=Σ[k=1→i]B_iとし、
S=S_n , T=T_nとする。
Σ[k=m→n]という記号に関して、
m>nの場合はΣ[k=m→n]f(k)=0とする。
省16
11: ◆uxQt4Y4ywU 2019/06/17(月)22:45 ID:ZeIRzCOt(2/2) AAS
↑訂正
(＊＊)で、for∀i≧2 ではなく for∀i≧0
A_[i+1]+B_i=0 (for∀i≧2)の箇所はfor∀i≧1
12: ◆uxQt4Y4ywU 2019/06/20(木)07:18 ID:lPOXpfNK(1/3) AAS
[定理]
円周率πは無理数である。
13: ◆uxQt4Y4ywU 2019/06/20(木)07:36 ID:lPOXpfNK(2/3) AAS
[概説]
π∈Qのとき0に収束する自然数列を取ることができ、矛盾する。
これはニーベンによる証明である。
0に収束する自然数列を構成する際に、nを含む定積分I_nを考え、
I_nの極限と漸化式の双方を得るという手順を踏む。
このように積分を経由することで、極限が非自明な数列の漸化式と
その極限を同時に得ることができる。
14: ◆uxQt4Y4ywU 2019/06/20(木)08:08 ID:lPOXpfNK(3/3) AAS
[証明](前半)
b_n=t^n*(1-t)^nとおき、b_nのtでの微分をb_n'のように表す。
b_[n+1]'
=(n+1)t^n*(1-t)^n*(1-2t)
=(n+1)(1-2t)b_n
b_[n+1]''
=-2(n+1)b_n+(n+1)(1-2t)b_n'
=-2(n+1)b_n+n(n+1)(1-2t)^2*b_[n-1]
=-2(n+1)b_n+n(n+1)b_[n-1]-4n(n+1)t(1-t)b_[n-1]
=-2(n+1)b_n+n(n+1)b_[n-1]-4n(n+1)b_n
省15
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