純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）21

純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）21 (277ﾚｽ)
上下前次1-新
抽出解除ﾚｽ栞

ﾘﾛｰﾄﾞ規制です｡10分ほどで解除するので､他のﾌﾞﾗｳｻﾞへ避難してください｡

1(3): １３２人目の素数さん [] 2025/07/20(日) 18:06:57.08 ID:JxJPBISF(1/9) AAS
クレレ誌：
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AC%E3%83%AC%E8%AA%8C
クレレ誌はアカデミーの紀要ではない最初の主要な数学学術誌の一つである（Neuenschwander 1994, p. 1533）。ニールス・アーベル、ゲオルク・カントール、ゴットホルト・アイゼンシュタインらの研究を含む著名な論文を掲載してきた。
(引用終り)

そこで
現代の純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）スレとして
新スレを立てる（＾＾；

＜前スレ＞
純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）20
2chｽﾚ:math
＜関連姉妹スレ＞
ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ11
2chｽﾚ:math
スレタイ箱入り無数目を語る部屋22
2chｽﾚ:math
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 71
2chｽﾚ:math
IUTを読むための用語集資料スレ2
2chｽﾚ:math
現代数学の系譜カントル超限集合論他 3 (過去スレ落ち)
2chｽﾚ:math

＜過去スレの関連（含むガロア理論）＞
・現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む84
2chｽﾚ:math
・現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む83
2chｽﾚ:math

つづく

5(5): １３２人目の素数さん [] 2025/07/20(日) 18:09:56.84 ID:JxJPBISF(5/9) AAS
つづき

なお、
おサル＝サイコパス＊のピエロ（不遇な「一石」https://textream.yahoo.co.jp/personal/history/comment?user=_SrJKWB8rTGHnA91umexH77XaNbpRq00WqwI62dl 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets＊＊）（Yahoo!でのあだ名が、「一石」）
＜＊）サイコパスの特徴＞
（参考）http://blog.goo.ne.jp/grzt9u2b/e/c1f41fcec7cbc02fea03e12cf3f6a00e サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日
（＊＊）注；https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperboloid Hyperboloid
Hyperboloid of two sheets ：https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f2/Hyperboloid2.png/150px-Hyperboloid2.png

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E9%9D%A2 双曲面
二葉双曲面：https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b5/HyperboloidOfTwoSheets.svg/180px-HyperboloidOfTwoSheets.svg.png

おサルさんの正体判明！（＾＾）
スレ12 2chｽﾚ:math より
”「ガロア理論昭和で分からず令和でわかる
　＃平成どうしたｗ」
昭和の末期に、どこかの大学の数学科
多分、代数学の講義もあったんだ
でも、さっぱりで、落ちこぼれ卒業して
平成の間だけでも30年、前後を加えて35年か”
”(修士の)ボクの専攻は情報科学ですね”とも

可哀想に、数学科のオチコボレで、鳥無き里のコウモリ***）そのもので、威張り散らし、誰彼無く噛みつくアホ
本来お断り対象だが、他のスレでの迷惑が減るように、このスレで放し飼いとするｗ（＾＾

注***）鳥無き里のコウモリ：自分より優れた数学DRやプロ数学者が居ないところで、たかが数学科のオチコボレが、威張り散らす姿は、哀れなり～！（＾＾；

つづく

18(4): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/07/21(月) 14:22:04.50 ID:60RWf/A5(1/9) AAS
>>16-17
ありがとうございます

さて、補足すれば
ことの起こりは、下記

前スレより
2chｽﾚ:math 2025/06/15 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP
Inter-universal geometry とABC 予想57
2chｽﾚ:math
(引用開始)
>無限公理が存在を主張する集合全体
無限公理が存在を主張する集合全体？
(引用終り)

1）ペアノ公理の自然数の集合論的構成で、ノイマンによるものの説明が下記です
　ここで、”N:=∩{x⊂A∣∅∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”、”Aは無限公理により存在する集合を任意に選んだもの”
　とあるので、集合の積∩は任意A つまり全てのA と読めます
　ノイマンの最初の論文がこうだったという都市伝説がある（私は原論文は未確認）
2）で、wikipediaの記載はこうだとしても・・
　任意Aあるいは全てのAの集合の積∩を考えるというのは当然突っ込みどころであります
3）下記の筑波大 Akito Tsuboi 先生は、下記数理論理学IIでは
　ここは、少し技巧的な記述をしています
（ここの式を手で写すのは面倒なので（どうせ原文見る方がいいしｗ）、各人原文をご覧あれ）
以上

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
ペアノの公理
自然数の集合論的構成
現代数学において標準的な数学の対象はすべて集合として実現されている。集合論における自然数の標準的な構成法としては、
・N:=∩{x⊂A∣∅∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}
・0:=∅
・S(x):=x∪{x}
がある。ただしここでAは無限公理により存在する集合を任意に選んだものである。
これらの集合は存在して、ペアノの公理を満たすことが確かめられる。
この構成法はジョン・フォン・ノイマンによる[7]。

https://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/
Akito Tsuboi 筑波大
学部（数学類）関連
https://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/und/14logic3.pdf
数理論理学II

P8
1.1.9 無限公理
無限公理：
(引用終り)
以上

38(5): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/07/22(火) 10:31:01.03 ID:wkDrXwO+(1/4) AAS
>>37
>聞いてるのは、１．なぜ積集合はそれができるのか、２．なぜ和集合はそれができないのか

多分、どちらか一方を公理にすれば、他方はそれから導かれるだろう
しかし、和集合を公理にする方が、きっと公理系としては美しいのだろう

いま、公理系から離れて素朴集合論で話をしよう
素朴な集合演算を定義する

二つの空でない集合 A,B で、和集合(英union) U：=A∪B として
積集合（共通部分英: intersection）I：=A∩B とする

UからBを除いた部分は As：=UーB
（Asは、和集合からBを除いたAの部分集合で As⊂A）
同様に、 Bs：=UーA

これから、簡単な演算で直ちに
U−(As+Bs)＝I
が導かれる

つまり、和集合Iから簡単な演算で積集合Iは出る
これを、正式に集合の公理系でやればいいだけ（面倒だからやらないが　；ｐ）

さて、空でない集合 A,B に対し和集合Uは常に空集合ではないが
しかし、積集合Iは、空集合の場合がある

だから、和集合を公理にする方が
公理系としては美しいと思うよ

42(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/07/22(火) 12:11:15.69 ID:wkDrXwO+(3/4) AAS
>>40-41
上記>>38の記号で
U−(As+Bs)＝I ・・(1)
を導いたよね

ここに
和集合(英union) U：=A∪B
積集合（共通部分英: intersection）I：=A∩B
だね

(1)式から直ちに（移項して）
U＝I+(As+Bs) ・・(2)
が出る

なお（>>38と同様に）
As：=A−I
Bs：=B−I
(積集合A∩B＝Iが与えられている前提だから、これは可能）■

62(5): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/07/23(水) 23:59:24.90 ID:jUNIihmc(2/3) AAS
>>60-61
まだ、ぶつぶつ言っているよ、この人ｗ；ｐ）

１）>>18のペアノ公理の自然数の集合論的構成で
　”N:=∩{x⊂A∣∅∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}” https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
　”Aは無限公理により存在する集合を任意に選んだもの”
　問題は、これが公理的集合論として自然数の集合Nになっているか
　それについてどの公理を使ったかを明示しながらの証明が必要だよね公理的集合論としては
２）さて、下記独仏英wikipedia と Akito Tsuboi 筑波大と渕野昌の５者は、∩を使わない。∩を使わないで済ましているよ
　i)独wikipedia https://de.wikipedia.org/wiki/Unendlichkeitsaxiom
　　Natural numbers N :={x ∈ I ｜∀z(z inductive → x∈ z)}}
　ii)仏wikipedia https://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_de_l%27infini
　　The set of natural numbers
　　that's to say :
　　The class of natural numbers is a set .
　　Indeed :
　let A be a set verifying Cl( A ) whose existence is ensured by the axiom of infinity. Then, the existence of the set ω is ensured by the axiom scheme of comprehension and its uniqueness by the axiom of extensionality , by defining ω as the intersection (therefore the smallest in the sense of inclusion) of all sets containing 0 and closed by successor ( A only intervenes to be able to define ω as a set, but ω does not depend on A ):
ω = { x ∈ A | Ent( x ) } ;
　iii)英wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_infinity
　　Extracting the natural numbers from the infinite set
　　In formal language, the definition says:
　　∀n(n∈N⟺([n=∅∨∃k(n=k∪{k})]∧∀m∈n[m=∅∨∃k∈n(m=k∪{k})])).
　iv)Akito Tsuboi 筑波大数理論理学II https://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/und/14logic3.pdf
　　P8 無限公理
　　無限公理によって保証される無限集合 X を一つ選び，
　　ω = {y ∈ X : ∀x(φ(x) → y ∈ x)}
　　とする．ここで φ(x) は ∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x) である．このようにすれば，ω は集合であり，φ(x) を満たす最小のものになる（もちろん X の取り方に依存しない）

つづく

72(5): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/07/24(木) 11:16:01.44 ID:4LVoLOK4(4/4) AAS
さて本題に戻る

>>64
(引用開始)
>>63
>分出公理により，N = {n ∈ On : n は自然数 }は集合になる．
それだめｗ
自然数を構成するのに自然数を使ったらダメでしょｗ　君、いつも循環論法やらかすね　頭悪いね
Onとは？
(引用終り)

そこは、渕野先生からの引用部分だ。再録すると
”　v)「ゲーデルと20世紀の論理学第４巻」（東京大学出版会，2007）の，渕野昌の執筆した第I部 https://fuchino.ddo.jp/books/intro-to-set-theory-and-constructibility.pdf
　　P10（無限公理）集合 x で空集合を元として含み，すべての y ∈ x に対し，y ∪ {y} ∈ x となるようなものが存在する．
　　無限公理で存在の保証された集合 x は 0, 1, 2,. . . のすべてを含むものとなっている．そこで，このような x と分出公理を用いると，自然数の全体からなる集合N = {0, 1, 2, . . . }の存在が証明できる3)．3) 詳細については，p.48 を参照．
　　P48 補題 2.22 (1) 自然数の要素は自然数である．(2) 集合 X を ∅ ∈ X ですべての y ∈ X に対し y ∪ {y} ∈ X となるよ
うなものとすると，X はすべての自然数を含む．
　　補題 2.22, (2) でのような X は無限公理により存在するから，分出公理により，N = {n ∈ On : n は自然数 }は集合になる．”

渕野先生が、間違っている？まあ、あるかもよｗｗｗ
渕野先生にお手紙書いてね。その返事を公開してたもれｗ　；ｐ）

>>56
(引用開始)
>まず記号∩を他の公理から導かないといけないだろう
分出公理から導けますけど？　知らなかった？
∩X:={x∈A|∃A∈X∧∀Y∈X:(x∈Y)}
>その上で ”N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”についての説明が必要だよね
不要。
(引用終り)

ふっふ、ほっほ
・分出公理で記号∩が導けるかまあそうかな
　だとして、上記渕野先生は、上記で『無限公理で存在の保証された集合 x は 0, 1, 2,. . . のすべてを含むものとなっている．そこで，このような x と分出公理を用いると，自然数の全体からなる集合N = {0, 1, 2, . . . }の存在が証明できる3)．3) 詳細については，p.48 を参照』とされています
　p.48 も引用しておいた
　で、渕野先生の言われる通り無限公理で存在の保証された集合 x から 0, 1, 2,. . .
　を ”分出公理を用いると，自然数の全体からなる集合N = {0, 1, 2, . . . }の存在が証明できる”ならば、それで終わりだ■

詰んだな

103(5): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/07/25(金) 10:45:22.61 ID:ddlXMCUI(1/2) AAS
>>102
>∩恐怖症は治ったかい？

ふっふ、ほっほ
踏みつけたゴキブリがまだ動いている
ガハハハッ

　>>72に戻る
(引用開始)
>まず記号∩を他の公理から導かないといけないだろう
分出公理から導けますけど？　知らなかった？
∩X:={x∈A|∃A∈X∧∀Y∈X:(x∈Y)}
>その上で ”N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”についての説明が必要だよね
不要。
(引用終り)

全部 >>72　v)「ゲーデルと20世紀の論理学第４巻」（東京大学出版会，2007）の，渕野昌の執筆した第I部 https://fuchino.ddo.jp/books/intro-to-set-theory-and-constructibility.pdf
に書いて有る
(引用開始)
　P10（無限公理）集合 x で空集合を元として含み，すべての y ∈ x に対し，y ∪ {y} ∈ x となるようなものが存在する．
　無限公理で存在の保証された集合 x は 0, 1, 2,. . . のすべてを含むものとなっている．そこで，このような x と分出公理を用いると，自然数の全体からなる集合N = {0, 1, 2, . . . }の存在が証明できる3)．3) 詳細については，p.48 を参照．
(引用終り)

分出公理については、上記渕野先生のpdfにもあるが、下記ja.wikipediaが分かり易いだろう
平たくいえば、分出公理＝部分集合を作る公理
で、ZFC公理系では自然数の全体からなる集合N = {0, 1, 2, . . . }を作るのに
一旦無限公理で Nを部分集合として含む無限集合の存在A(とする)を認めて
Aから、分出公理で部分集合として Nを取り出すという（by 渕野他）

さて、上記 N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]} なる式が自然数の集合N を表すと宣う
問題は、記号∩を導くのに分出公理を必要とするならばそれは冗長だろう！■

補足
なお単純に集合N = {0, 1, 2, . . . }のような無限集合を構築することは ZFC公理系では許されない
下記の通りラッセルのパラドックスなどを防ぐために無限集合の構築に制限を設けている

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%84%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%A1%E3%83%AD%EF%BC%9D%E3%83%95%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%82%B1%E3%83%AB%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
ツェルメロ＝フレンケル集合論
3. 分出公理図式（内包公理図式）
→詳細は「分出公理」および「en:Axiom schema of specification」を参照
部分集合は通常、集合の内包的記法（英語版）を用いて表される
分出公理は部分集合のみを構築でき、次のように一般的な集合を構築することはできないことに注意せよ：
{x:ϕ(x)}.
この制限は、ラッセルのパラドックス略や、ラッセルのパラドックスの変種（無制限の内包公理を含む素朴集合論に関連するもの）を防ぐするために必要である。

111(6): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/07/26(土) 09:17:50.75 ID:w9PY0JQs(1/16) AAS
>>104
>自分で引用したOnが何かも答えられなかったゴキブリが何か言っとる

ふっふ、ほっほ
引用ねｗ
おれは、基本文字選択→コピーコマンド→貼付けコマンドなので
ハンドタイプの”引用”はしないんだ

”Onが何か”？か　（＾＾
　>>72「ゲーデルと20世紀の論理学第４巻」（東京大学出版会，2007）の，渕野昌の執筆した第I部 https://fuchino.ddo.jp/books/intro-to-set-theory-and-constructibility.pdf
を見ると P44 2.3 順序数順序数 (ordinals) のクラス On を導入する．次の性質を On が持つことがポイントとなる．
と記されているよ
百回音読してねｗ　；ｐ）

>>106-110
>いや、自然数が存在しないから構成しようとしてるのに、自然数0, 1, 2, . . .の存在を前提にしたら循環論法って教えてあげたのに言葉が通じないの？

ふっふ、ほっほ
上記渕野のPDF冒頭
”2009 年の後期以降に神戸大学で大学院の講義でテキストとして用いた際に見つけた typos などの訂正などの update が書きこまれている”
とある。そもそも東京大学出版会，2007 成書となるときに、十分な校正がされているはず
そのうえ、”2009 年の後期以降に神戸大学で大学院の講義でテキストとして用いた”とあるので、
君の指摘は、たぶん誤解・無理解・上滑りじゃないの？
疑問があったら渕野先生にお手紙書いてね
おっと、その前に渕野テキストを百回音読してね
きみのご指摘の点は、きっと君の勘違いだよ　；ｐ）

113(4): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/07/26(土) 10:06:12.07 ID:w9PY0JQs(2/16) AAS
>>111 追加

ZFCが urelement（下記）
を持たない集合論であることは、しばしば看過される
日常の集合論は、urelementを常用するのでその感覚で ZFCの公理系を見るとイミフになる

上記渕野(>>111)にも同様の注意書きがある
P8
"公理的集合論では，考察の対象はすべて集合である，と考える．したがっ
て，以下で「ある x について ...」と言ったときには，「ある集合 x につい
て ...」という意味である．"

"集合論の公理系の一番最初の公理は，すべての集合はその要素の全体から
一意に決まることを主張する次のものである：
（外延性公理）略．
ZFC の他の公理は，すべて，「集合 x1, x2, . . . が与えられたとき，これらか
ら ... という性質を持つ集合を作ることができる」というタイプの主張（存在公理）となっている．”

これらをあたまに叩き込んでおきましょう！　（＾＾

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8E%9F%E5%A7%8B%E5%85%83_(%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96)
原始元 (集合論)
原始元(英語: urelement ドイツ語の接頭辞 ur- は「原始的な」を意味する)とはオブジェクトであってそれ自身は集合でないが、集合の要素には成り得るもののことである。原始元は原子、アトムとも呼ばれることがある。また、日本語文献でも翻訳せずにurelementのまま用いられることも多い。原始元は空集合とは異なるものである
集合論における原始元
1908年のツェルメロ集合論の論文では原始元が含まれており、これが今日ZFAやZFCA (すなわちZFAに選択公理を加えたもの)と呼ばれるものの一種である。[1] 公理的集合論と密接に関連する文脈では、集合論は原始元を持たない理論で簡単にモデル化できるので、原始元は必要ないことがすぐにわかった。[2]したがって、公理的集合論ZFとZFCの標準的な説明では、原始元については触れていない（例外については、Suppes[3]を参照）。
集合論の公理化であって原始元を呼び出すものには、原始元付きクリプキ＝プラテック集合論や、メンデルソンによって記述されたフォン・ノイマン＝ベルナイス＝ゲーデル集合論の変形がある。[4]
型理論では、型0のオブジェクトを原始元、アトムと呼ぶことができる。
新基礎集合論(NF)に原始元を追加してNFUを生成する試みは、驚くべき結果をもたらす。
略

115(4): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/07/26(土) 10:35:11.64 ID:w9PY0JQs(3/16) AAS
>>113 追加

さて、その上で

日本語
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%92%8C%E9%9B%86%E5%90%88%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
和集合の公理
　↓
仏語
https://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_de_la_r%C3%A9union
Axiome de la réunion
和集合の公理
（google訳）
和公理（または「和公理」）は、ツェルメロ＝フランケル集合論（ZF）の公理の一つである。これは、任意の集合Aに対して、集合Aの要素集合のすべての要素のみを含む集合が存在することを述べている（文脈は、すべての対象が集合であり、特にA が集合の集合である場合の理論の文脈であり、そうでない場合は明示的に指定する必要がある）。
この公理は、部分集合の公理と置換公理スキーム（ツェルメロ理論Zのペアの公理を証明するもので、したがって ZF では冗長）の助けを借りて、2 つの集合の和集合（両方の集合の要素を正確に含む）が集合であることを証明することを可能にします。
　↓
英語
https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_union
Axiom of union
Relation to Pairing
The axiom of union allows one to unpack a set of sets and thus create a flatter set. Together with the axiom of pairing, this implies that for any two sets, there is a set (called their union) that contains exactly the elements of the two sets.

Relation to Intersection
There is no corresponding axiom of intersection. If
A is a nonempty set containing E, it is possible to form the intersection
∩A using the axiom schema of specification as
∩A={c∈E:∀D(D∈A⇒c∈D)},
so no separate axiom of intersection is necessary.
(引用終り)

＜補足＞
１）和集合の公理においても、
　仏語 fr.wikipedia にあるように
　”集合Aの要素集合のすべての要素のみを含む集合が存在することを述べている（文脈は、すべての対象が集合であり、特にA が集合の集合である場合の理論の文脈であり、そうでない場合は明示的に指定する必要がある）”
　ということ
　つまり、和集合の公理は基本は集合Aが含む集合族（集合Aが無限の要素集合の族からなるとして*)）の
　要素集合の族の全ての要素を集めて、集合を作って良いということを主張する
２）また英語 en.wikipediaにあるように
　Relation to Pairing で、対の公理で集合AとBとでペア{A,B}を作って和集合公理を使うと
　A∩B が出来ます
３）さらに、Relation to Intersection つまり集合積との関係についても
　上記の通りですが、
　ひらたく言えば集合Aが集合族D1,D2,・・Di・・から成るとして
　つまり A={D1,D2,・・Di・・} として
　集合族D1,D2,・・Di・・の集合積が、和集合の部分集合として定義できるのです
　だから、”so no separate axiom of intersection is necessary”なのです

注*)もちろん、集合Aが有限の要素集合の族からなるとしても同様です

123(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/07/26(土) 11:33:07.54 ID:w9PY0JQs(6/16) AAS
>>80 戻る
>”失敗は成功のもと”！
>「間違えるのが悪いわけではない」

・ガウスも間違えた（下記）
　代数学の基本定理の証明の学位論文で
　後世から見てギャップがあったという。が、歴史的重要性は色あせない
・リーマンディリクレの原理
　証明なしにつかってワイエルシュトラスによって批判されたが、後ヒルベルトにより正当化された
　が、歴史的重要性は色あせない
・新しいところでは、ワイルズフェルマー最終定理。途中間違いを指摘されたが、修正され論文は出版された
・望月IUTも同様

数学の歴史は、間違いの歴史でもあるのです
「間違えるのが悪いわけではない」
至言です　；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%81%AE%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%AE%9A%E7%90%86
代数学の基本定理
注釈 1^ ガウスの最初の証明は幾何学的な前提としてジョルダン曲線定理が暗黙で使われており、後年の観点からは不備がある

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%AA%E3%82%AF%E3%83%AC%E3%81%AE%E5%8E%9F%E7%90%86
ディリクレの原理
歴史
純粋数学への応用はリーマンによってはじめて行われた。彼は複素解析の基礎づけのためにこの原理を証明もなしに使用して、リーマン面上の関数の存在定理を証明したが、後にカール・ワイエルシュトラスによってギャップが指摘された。その後、ダフィット・ヒルベルトが再定式化したことで、ディリクレの原理は正当化され

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AF%E3%82%A4%E3%83%AB%E3%82%BA%E3%81%AB%E3%82%88%E3%82%8B%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%BC%E3%81%AE%E6%9C%80%E7%B5%82%E5%AE%9A%E7%90%86%E3%81%AE%E8%A8%BC%E6%98%8E
ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明
しかし同(1993)年9月、証明に1ヶ所誤りが含まれていることが判明した。1年後の1994年9月19日、ワイルズは彼自身が「今までの職務においてもっとも重要な瞬間」と呼ぶアイデアを得た

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99%E9%9A%9B%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%92%E3%83%9F%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96
宇宙際タイヒミュラー理論 IUT
2012年10月、ヴェッセリン・ディミトロフとアクシェイ・ヴェンカテシュにより「エタール・テータ関数が素数"2"で分割する悪い場所においては正しく機能しなくなる」障害に基づく数値的な有効性の指摘があった

関連研究
2022年7月
ヴォイチェフ・ポロウスキ、南出新、星裕一郎、イヴァン・フェセンコ、望月新一らの査読論文が、東京工業大学が編集する数学論文誌Kodai Mathematical Journalに掲載された。この結果により、宇宙際タイヒミュラー理論によるフェルマーの最終定理の新たな証明を得たとしている

131(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/07/26(土) 20:36:04.37 ID:w9PY0JQs(8/16) AAS
>>127
(引用開始)
ID:gZ1LykHx
>>111
>上記渕野のPDF冒頭
>”2009 年の後期以降に神戸大学で大学院の講義でテキストとして用いた際に見つけた typos などの訂正などの update が書きこまれている”
>とある。そもそも東京大学出版会，2007 成書となるときに、十分な校正がされているはず
>そのうえ、”2009 年の後期以降に神戸大学で大学院の講義でテキストとして用いた”とあるので、
>君の指摘は、たぶん誤解・無理解・上滑りじゃないの？
反例：
>「n∈Onが自然数であるとは，nは0または後続順序数でnのすべての要素も後続順序数であること」
は間違い。実際、0以外の任意の自然数は後続順序数ではない要素0を持つ。
(引用終り)

それ、下記だね
　>>72「ゲーデルと20世紀の論理学第４巻」（東京大学出版会，2007）の，渕野昌の執筆した第I部 https://fuchino.ddo.jp/books/intro-to-set-theory-and-constructibility.pdf

ここに、目次
第 2 章公理的集合論の展開 .... 29
2.1 整列順序 ... 30
で
(引用開始)
Ｐ44
2.3 順序数
順序数 (ordinals) のクラス On を導入する．次の性質を On が持つこと
がポイントとなる．
(2.13) On は真のクラスで，推移的で14)，∈ に関し整列順序となってい
る15)．
(2.14) 各順序数 α は，（推移的な）集合で，（∈ により）整列されている．
(2.15) 任意の整列順序集合 ⟨X, <⟩ は，一意に決まる順序数 ⟨α, ∈⟩ と順序
同型となる．
これらの性質，特に最後の (2.15) により，順序数の全体のクラスは，すべて
の整列順序集合のクラスの（順序同型に関する同値類の）自然な代表元を集
めたクラスとみなせる．

P48
順序数 α が極限順序数でないとき，後続順序数であるという．
極限順序数の概念を使って自然数の全体の集合 N を定義することができ
る： n ∈ On が自然数であるとは，n は 0 または後続順序数で n のすべて
の要素も後続順序数であること，とできるからである．
補題 2.22 (1) 自然数の要素は自然数である．
(2) 集合 X を ∅ ∈ X ですべての y ∈ X に対し y ∪ {y} ∈ X となるよ
うなものとすると，X はすべての自然数を含む．

補題 2.22, (2) でのような X は無限公理により存在するから，分出公理により，
N = {n ∈ On : n は自然数 }
は集合になる．また，補題 2.22, (2) により，p.10 で導入した 0, 1, 2,. . . は N
の最初の方の要素になっていることがわかる．
(引用終り)

さて、上記”反例：
>「n∈Onが自然数であるとは，nは0または後続順序数でnのすべての要素も後続順序数であること」
は間違い。実際、0以外の任意の自然数は後続順序数ではない要素0を持つ。”

において
0以外の任意の自然数n（n≠0）の後続順序数はn+1であって、上記 y ∪ {y} の記号を借用すると
n+1：＝n ∪ {n} と略記できるよね
そして、n（n≠0）の前後続順序数は n-1であって、
n：＝n-1 ∪ {n-1} と略記できる
なので
『実際、0以外の任意の自然数は後続順序数ではない要素0を持つ』は、イミフ言葉のサラダだね

134(4): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/07/26(土) 21:52:23.96 ID:w9PY0JQs(11/16) AAS
>>133 補足

順序数を考えたのはカントールで
カントールは、上記のように順序型 (order type) をベースに
順序数の理論を構築したのです

ところが、ラッセルのパラドックスとかが出て
集合概念を抑制的にしてパラドックスを割け
公理的に組み立てられるものだけを
集合としようという公理的集合論が出た

公理的集合論では、素朴集合論で扱われていた大きすぎる対象（つまり集合公理からはみ出す対象）
は、クラスとして扱うことになったのです
（つまり、素朴集合論で扱っていた大きすぎる集合は、公理的集合論ではクラスと呼ばれる）

渕野先生の本では、紙数の制限でカントールによる順序数をベースにここを軽く流すために
『順序数はクラス』としたのでしょうね；ｐ）

141(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/07/26(土) 23:24:32.82 ID:w9PY0JQs(13/16) AAS
>>134 追加
下記渕野昌
”ハウスドルフの集合論と位相空間論の誕生”
「数理科学」2022年6月号拡張版が、面白くまた参考になるだろう

https://fuchino.ddo.jp/index-j.html
渕野昌
[22.07.14]『数理科学』2022年6月号特集に掲載された論説「ハウスドルフの集合論と位相空間論の誕生」のpdfファイルをupdateしました．出版社との約束で，本文が白紙になったものをしばらく置いてあったのですが，ほとぼりがさめたので，可読なヴァージョンで置き換えてあります

https://fuchino.ddo.jp/misc/hausdorff-x.pdf
特集／集合・位相の考え方—数学の基礎をなす概念—
ハウスドルフの集合論と位相空間論の誕生
—現代，ないし(仮想的) 近未来の視点からの考察
本稿は「数理科学」2022年6月号特集に寄稿した論考の2024年12月17日の時点での拡張版
本稿の最新版は，https://fuchino.ddo.jp/misc/hausdorff.html から download できます．この拡張版には，寄稿記事では，ページ数の制限のために割愛した引用文の原文が含まれています．また，最新版には，寄稿後の修正/拡張も，含まれてい (る可能性があり) ます
目次
1. 今，なぜ，ハウスドルフなのか . . . . . 1
略
P8
ハウスドルフは，フォン・ノイマ
ンの 1920 年代の順序数の基礎付けの研究に気がつい
ていなかったようである．その結果として，順序型の
同値クラス (これは真のクラスになってしまう) のカ
ノニカルな代表元を順序数や基数と定義する，とい
うフォン・ノイマンの発見したトリックを
[Hausdorff 192716)] で採用できず，関連する箇所の記述がもたつい
たものになっている ∗18）．しかも，現代の集合論に翻
訳して考えると，ここでは，同値類が真のクラスにな
るような同値関係での同値類の代表元をとる，という，
もうひとひねり加えないとうまく実現できない ∗19）こ
とを，あたかも実行できているかのように扱って議論
しているので，基礎付けが完全でないものになってしまっている．

Ｐ11
以上，スッペスの [Suppes 195731)] を除くと，どの
教科書も，論理体系への言及は全くなく，順序数や
基数については，[Suppes 196032)] を除くと，どれも，
それを読んだだけでは，整合的な導入ができるのか
どうかは，不明な書き方になっている ∗23）．筆者は，
2007年に行なった学部学生向けの講演で，順序数と
超限帰納法に関連する話題に触れたときに，同席さ
れていた上野健爾先生から，「それはきちんと定式化
できるものなのですか」と質問されて面喰った記憶
がある．しかし，彼が，ここで挙げたような教科書
で「集合論」を習っていたのだとすると，そのよう
な感想が出てきたとしても，何の不思議もないと言
えるかもしれない．順序数や基数については，[彌永
200218)] の 38 ページに「濃度や順序数の一般論はそ
の後それほど利用されることもなく，進展もなかった」
と書かれるなど，(日本では?) 今だに，無理解と継子
扱いに曝されているようである．

参考文献
18) 彌永昌吉: ガロアの時代ガロアの数学，第二部数学篇，
シュプリンガー・フェアラーク東京 (2002)

143(4): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/07/26(土) 23:41:52.78 ID:w9PY0JQs(14/16) AAS
>>137
(引用開始)
>『実際、0以外の任意の自然数は後続順序数ではない要素0を持つ』は、イミフ言葉のサラダだね
馬鹿ですか？
順序数nはnより小さい順序数全体の集合だから0以外の任意の順序数は要素として0を持つ。
例　1={0},2={0,1},3={0,1,2},・・・
よって
>「n∈Onが自然数であるとは，nは0または後続順序数でnのすべての要素も後続順序数であること」
は間違い。
こんな簡単な間違いに気づかないだけならまだしも教えても分からないようじゃ数学なんて到底無理だからあきらめな
(引用終り)

・ブーメランですよ
　その「n∈Onが自然数であるとは，nは0または後続順序数でnのすべての要素も後続順序数であること」
　は、>>131より「ゲーデルと20世紀の論理学第４巻」（東京大学出版会，2007）の，渕野昌の執筆した第I部 https://fuchino.ddo.jp/books/intro-to-set-theory-and-constructibility.pdf
　より『P48
　順序数 α が極限順序数でないとき，後続順序数であるという．
　極限順序数の概念を使って自然数の全体の集合 N を定義することができ
　る： n ∈ On が自然数であるとは，n は 0 または後続順序数で n のすべて
　の要素も後続順序数であること，とできるからである．』
　の通りで、渕野昌先生の東京大学出版会の記述でしかもこれを神戸大の講義で使ったという
・別に、権威に盲従しろとは言わないが
　もっと、慎重になるべきと思う
　百回音読してなお渕野昌先生の間違いと思うならば
　渕野昌先生にお手紙書いてね
（だけど、私は君の方の勘違いに、100ペソ賭けるよｗ　；ｐ）
・なお、関連で >>141 渕野昌数理科学』2022年6月号特集の拡張版PDFをアップしておいた
　これも読んで勉強してくれたまえｗ　；ｐ）

153(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/07/27(日) 00:13:15.44 ID:6EVaf5Z4(1/8) AAS
>>147
(引用開始)
>n ∈ On が自然数であるとは，n は 0 または後続順序数で n のすべての要素も後続順序数であること，とできるからである．』の通りで
え？？？？？？？？
君、1={0}を否定するの？　0の前者は存在しない、すなわち0はいかなる順序数の後続順序数でもないことを知らないの？
(引用終り)

ふっふ、ほっほ
　>>143 より再録
「ゲーデルと20世紀の論理学第４巻」（東京大学出版会，2007）の，渕野昌の執筆した第I部 https://fuchino.ddo.jp/books/intro-to-set-theory-and-constructibility.pdf
　より『P48
　順序数 α が極限順序数でないとき，後続順序数であるという．
　極限順序数の概念を使って自然数の全体の集合 N を定義することができ
　る： n ∈ On が自然数であるとは，n は 0 または後続順序数で n のすべて
　の要素も後続順序数であること，とできるからである．』

ここで、渕野先生
『n ∈ On が自然数であるとは，n は 0 または後続順序数で n のすべての要素も後続順序数であること，とできる』
　この解釈は
　↓
”n は 0 または (0以外の)後続順序数で (0以外の)n のすべての要素も後続順序数であること”
の略記じゃね？
まあ、”0は例外扱い”は常識（＝デフォルト）ですがなｗｗ

きみ、その指摘を渕野先生にお手紙書いてねｗ
そして、その返事をここにアップしてくれたまえｗｗ　；ｐ）

177(4): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/07/27(日) 17:12:08.61 ID:WsIwlYym(4/4) AAS
>>175
(引用開始)
>まず、何でもいいので1つ無限集合 a を選びます。また、「x は無限集合である」という命題を M(x) とし、以下のような集合 a^ を作ります。
>a^ ＝ {x ∈P(a) | M(x)}
>P (a) は a の「冪集合」です。すなわち、a^ は a の部分集合のうち、無限集合になるようなもの全てを集めた集合です。
>そして、a^ の全ての元の共通部分を取ります。
>ωa ＝ ∩a^
これは
>N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}
とまったく同じであることは分かる？
(引用終り)

ふっふ、ほっほ
”まったく同じ”とは、思わない
結果的に、同じ自然数の集合 N=ωa が示せたとしても
手法が違うよね

つまり
１）”a^ ＝ {x ∈P(a) | M(x)}”は、冪集合 P (a) を使っていることが一つの工夫だね
　即ち M(x)無しで冪集合 P (a) が、自然数の集合 Nを含んでいることは言えるからね
　但し、M(x)無しで集合積 ∩a^ とすると、N=ωa よりも集合が小さくなるだろう
　問題は、M(x)をどう定義するか？
　へたをすると、”M(x)が自然数の集合 N を定義する”と言った途端に循環論法だね
　つまり、”M(x)が自然数の集合 N を定義する”のに、それを使って
　N=ωa 主張すると循環しているよね
２）”N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”は
　だれかが、なにかを勘違いして書いた気がするな

>>176
>内容が無い

似た話を、昔誰かのホームページかブログかで
ノイマンが、すべての無限集合の共通部分つまり無限集合の最小のもの
として、自然数 N=ωa を定義したみたいな書き込みを見た記憶がある
そのときは、へーと関心したのだが・・ｗ　；ｐ）

185(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/07/27(日) 19:53:53.23 ID:6EVaf5Z4(5/8) AAS
>>183
>その酷く醜い知能をこちらに見せないで

ふっふ、ほっほ
「ハイ、鏡！」ｗ
おサル＝サイコパス＊のピエロ（>>5）
サイコパスの本領発揮かい？ｗ（”サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む”（>>5）ｗｗ）

さて
１）ωa ＝ ∩a^、a^ ＝ {x ∈P(a) | M(x)}、1つ無限集合 a 、P (a) は a の「冪集合」
　（a^ は a の部分集合のうち、無限集合になるようなもの全てを集めた集合で
　　a^ の全ての元の共通部分を取ります
　　このようにして得られた無限集合 ωa は、元の無限集合 a のとり方によらずただ1つに定まります
　　これを単に ω と書き、自然数全体の集合と呼びます (>>171より https://ufcpp.net/study/math/set/natural/ )）
　　こちらの式の問題点は、>>177に指摘の通りで ”「x は無限集合である」という命題を M(x) とし”の部分であって
　　ここをきちんと集合の言葉で書けるかどうか？そこが問題です

２）N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}（Aは無限公理により存在する集合を任意に選んだもので、下記のペアノ公理 ja.wikipedia に誰かが書いた式）

この二つの式は、明らかに異なりますね
前者１）は、無限集合 a の「冪集合」P (a) を経由して自然数全体の集合 ωを定義しようとするのですが
これは、一理ある
後者２）は、明らかに「冪集合」P (a) は経由していないから本質的に別の式だね
また、自然数の集合Nがきちんと集合論として定義されているかどうか？
特に本来の自然数以外の(以上の)元を含んでしまっていないか？
そこが、すっきりしないからこっちはダメじゃないの？ｗ　；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
ペアノの公理
自然数の集合論的構成
N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}
ここでAは無限公理により存在する集合を任意に選んだものである

232(3): １３２人目の素数さん [] 2025/08/24(日) 09:55:01.03 ID:+A9mxT/6(4/4) AAS
>>230
？
だれかと思えば
数学オチコボレさんか

君は、運営でもなければ
名誉教授でもない

君の指図はうけないｗ

なお、いまどきの大学数学科生で
卒業後コンピュータサイエンス系の仕事に行く人もいるだろう
AIは、要注目

そうでなくとも
数学とAIとの融合は、どんどん進むでしょうね

245(3): １３２人目の素数さん [] 2025/08/28(木) 19:35:07.33 ID:BAWOX92w(1) AAS
整数の体系Aの中では正しいとも正しくないとも決定不能なある命題があったとして、
その命題は元の整数の体系を含み実数も含むある体系Bの中では証明が出来るとする。
そのとき元の整数の体系を含んでいる別の体系Cの中では決して反証されないのだろうか？

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