[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 (1002ﾚｽ)
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146(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/12(日)08:34 ID:gsEji7DN(1/21) AAS
>>142-144
>整列可能定理と選択公理の関係から、両者に「可算」を付けても同じだろうと
>連想したのだろうが、証明を読めば事情はまったく異なる。
やれやれ
証明が読めてない人は、だれでしょか？ ；ｐ）
下記に、整列可能定理→選択公理 の証明を、貼ります！
英語版が分りにくいので、中国版とイタリア版 を追加した
百回音読してね
(参考)
en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem
省12
147(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/12(日)08:34 ID:gsEji7DN(2/21) AAS
つづき
中国版（上記証明の補足として）
zh.wikipedia.org/wiki/%E8%89%AF%E5%BA%8F%E5%AE%9A%E7%90%86
良序定理
（google訳）
整序定理からの選択公理の証明：
空ではない集合族E上の上記の選択関数を構築するには
集合族の和集合を ×=∪A∈E A として
×に整列関係Rがある。
それぞれEの元Sで、S中の関係Rで配置される最小元で 選択関数ができる。
省18
148(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/12(日)08:59 ID:gsEji7DN(3/21) AAS
>>145 追加
下記は、選択公理→整列可能定理 の証明です
見てのとおり、可算だ非可算だのの制限は、一切なし
証明のポイントは、
”For every ordinal α, define an element aα that is in A by setting aα=f(A∖{aξ∣ξ<α}) ”
の部分です。aα=f(A∖{aξ∣ξ<α})の部分が、選択公理における選択関数を成す
A∖{aξ∣ξ<α}が集合族で、選択関数の定義域ですね
フルパワー選択公理は、集合族が非可算あっても良い
しかし、可算選択公理は、集合族が可算であるので、出来あがる選択された元たちは可算で
可算の整列可能定理になります
省17
154(5): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/12(日)09:38 ID:gsEji7DN(4/21) AAS
>>143
>可算選択公理は可算個の集合族についての言明で、それら集合族の和集合が
>可算集合とは限らないから、可算集合の整列可能性（これは自明）から
>可算選択公理は従わない。
さて、もどると
そもそも、選択公理は、整列可能定理を導くために考えられた
即ち、例えば 非可算の実数Rを 整列可能とするための公理であった
その類で、可算選択公理は、可算集合に対し 整列可能定理を導くとして
可算集合に対して 整列可能定理を考えると、可算集合の可算和は可算であるから
可算集合の族に対しては、いえるかも・・、おっと、壱大整域さん 可算和定理
省15
155(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/12(日)09:49 ID:gsEji7DN(5/21) AAS
>>143
>可算選択公理は可算個の集合族についての言明で、それら集合族の和集合が
>可算集合とは限らないから、可算集合の整列可能性（これは自明）から
>可算選択公理は従わない。
さて、”可算集合の整列可能性（これは自明）”について
これ、下記 整列集合→ Well-order → Well-ordering principle と辿ると
”the set of natural numbers”の ” Well-ordering principle ”と混同してない？
確かに、下記に 整列原理の英文証明があるけど、あくまで 自然数N のことでしょ？ ；ｐ）
『可算集合の整列可能性（これは自明）』は、見つからないよ
(参考)
省16
156: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/12(日)09:54 ID:gsEji7DN(6/21) AAS
>>154 訂正
証明 M を ZFC+GCH の可算推移的モデルとする．以下を満たす関数 p 全体がなす集合を P とする．
以下略
↓
命題 選択公理 ⇒ 可算和定理
証明 { Xn }n=0∞ を可算集合の族とする
略す
定理 「 R=∪n=0∞Xn ， |Xn|=アレフ0 とは書けない」は ZF で証明できない．
証明 M を ZFC+GCH の可算推移的モデルとする．以下を満たす関数 p 全体がなす集合を P とする．
以下略
省1
160(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/12(日)10:14 ID:gsEji7DN(7/21) AAS
>>154 追加
見つけてしまった ；ｐ）
下記
”The union of any countable family of countable sets is countable (this requires countable choice but not the full axiom of choice).”
だってさｗ
そうすると
命題「可算個の可算集合の和集合は可算集合」を可算和定理という．可算和定理は選択公理が無ければ証明できない．
↓
命題「可算個の可算集合の和集合は可算集合」を可算和定理という．可算和定理は可算選択公理が無ければ証明できない．
かもしれない（en.wikipediaが絶対正しい保証はないから）
省10
162: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/12(日)10:22 ID:gsEji7DN(8/21) AAS
>>160 補足
>”The union of any countable family of countable sets is countable (this requires countable choice but not the full axiom of choice).”
”any”の意味が、任意有限 countable なのか、あるいは 可算無限までを含むのか？
文全体の趣旨からすると、後者に読めるが（countable choiceにおける ”countable”の意味と解すれば）
まあ、en.wikipediaの書き手が、どこまで意図したのかだが？
出典がないので、なんとも言えない・・ ；ｐ）
163: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/12(日)10:27 ID:gsEji7DN(9/21) AAS
>>161
(引用開始)
>命題「可算個の可算集合の和集合は可算集合」を可算和定理という．
頓珍漢。可算選択公理の「可算」とは、集合族の濃度が可算ということで
集合族に属している各集合が「可算」とは限りませんから〜残念。
(引用終り)
いまのコンテキストは >>154 より
『可算集合に対して 整列可能定理を考えると、可算集合の可算和は可算であるから
可算集合の族に対しては・・』
ってことね （＾＾
164(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/12(日)10:32 ID:gsEji7DN(10/21) AAS
>>100
(引用開始)
なんらかの
例えば、可算選択公理や、従属選択公理がないと
有理コーシー列は出来ても
そこで”詰みます”ってことでいい？
(引用終り)
ここに
戻るよ
いままでの議論は
省5
167(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/12(日)11:51 ID:gsEji7DN(11/21) AAS
>>145
(引用開始)
＞可算集合の整列可能性（これは自明）
そうだね
一般に、順序数と同濃度な集合は当然整列可能である
そして、整列可能定理というのは何をいってるのかといえば
任意の集合は、必ず同濃度の順序数を持つ、ということである
(引用終り)
>>155に述べた通りだが
・”＞可算集合の整列可能性（これは自明）” については、
省8
171: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/12(日)12:38 ID:gsEji7DN(12/21) AAS
>>139
>可算整列定理からはいかなる具体的整列順序も出てきません
戻るよ
１）可算整列定理は、可算選択公理から 直接導かれるものであって
もちろん 抽象的なものだが 具体的であることを妨げない！
２）つまり 抽象 vs 具体 の意味さえ 分かってないのか？
下記の goo ”抽象的”
『１ いくつかの事物に共通なものを抜き出して、それを一般化して考えるさま。「本質を—にとらえる」』
が適合するだろう
３）そうすると、数学の定理や公理で、抽象的に述べられたことは
省14
173(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/12(日)12:49 ID:gsEji7DN(13/21) AAS
>>168
>xが可算であるとは、Nからxへの全単射fが存在するということ。
>x上の二項関係≦を、f(0)≦f(1)≦f(2)≦・・・と定義すれば、≦は整列順序。
だから
それと、下記>>138より
問題は、対角要素を作るための列で
>>133より
s1 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)
s2 = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...)
s3 = (0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, ...)
省14
176(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/12(日)13:37 ID:gsEji7DN(14/21) AAS
>>174
>x上の二項関係≦を f(x)≦f(x-{f(x)})≦f(x-{f(x),f(x-{f(x)})})≦・・・ で定義すれば≦は整列順序。
>ここで写像fは具体的でないので≦も具体的でない。すなわち整列定理からはいかなる具体的整列順序も出てこない。
>雑談くんには理解できないだろうなぁ（遠い目）
いやいやｗｗ ；ｐ）
おっさんな
>>146-147の Well-ordering theorem （整列可能定理）の
”Proof of axiom of choice”などで
（中国版より（英語版でも同様））
『×に整列関係Rがある。
省32
178(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/12(日)13:51 ID:gsEji7DN(15/21) AAS
>>176 タイポ訂正
その勝手な行為はｗ 決して禁止されていなのです！！ｗｗ
↓
その勝手な行為はｗ 決して禁止されていないのです！！ｗｗ
さて
>>175
(引用開始)
>この 対角要素を構成する具体的な列 が、どうか？
>が問題となる
ならない
省12
184(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/12(日)18:43 ID:gsEji7DN(16/21) AAS
>>183
レスありがとうございます
>>179
>>”T値列は任意でよい”は、言えない
>じゃあ Tの元すべてを含む任意のT値列でよい に訂正。
だから、その主張のためには 可算選択公理（それを使う可算整列（可能）定理）が必要です
つまり、可算整列ができれば、自然数Nとの 全単射（一対応）の存在が言えます
繰り返すが、下記 ”可算集合の 定義：
可算集合とは N と濃度が等しい集合のことである[1]。
すなわち、集合 S が可算であるとは、自然数全体の集合 N との間に全単射が存在することをいう[2][3]。”
省20
196(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/12(日)20:11 ID:gsEji7DN(17/21) AAS
>>190
>NからTへの全単射fがあることが対角線論法の仮定。
>仮定によりTの元を余すことなく f(0),f(1),・・・ と並べられる。
ふっふ、ほっほ
その f(0),f(1),・・・ と
>>133より
s1 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)
s2 = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...)
s3 = (0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, ...)
s4 = (1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, ...)
省25
198(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/12(日)20:20 ID:gsEji7DN(18/21) AAS
>>186
>得意の検索で「可算整列可能定理」を検索してみれば？
>日本中でそんなこと言ってるのはあんたしかいないからｗｗ
下記 ”可算選択公理 カントール、ラッセル、ボレル、ルベーグなどは、無意識のうちに可算選択公理を使ってしまっている。”
を注意しておきます
『無意識のうちに可算選択公理を使ってしまっている』ってことですね
>>83より再録
ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
選択公理
可算選択公理
省1
199(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/12(日)20:28 ID:gsEji7DN(19/21) AAS
>>197
>>この s1,s2,s3 ・・・が
>>f(0),f(1),・・・ に該当するか 否かの保証がないでしょ？ｗ
>保証が必要な理由は？
ふっふ、ほっほ
もし、可算選択公理を仮定せず そこから導かれる可算整列（可能）定理を使わないで
s1,s2,s3 ・・・が f(0),f(1),・・・ に該当する保証がなければ
s1,s2,s3 ・・・が 全てのTを尽くしていることが、厳密に言えない
そうすると、対角線論法で s1,s2,s3 ・・・ 以外の s の存在が言えても
それが s not ∈T でなく s ∈Tの可能性の余地が、残ってしまうのです
省3
203(5): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/12(日)22:00 ID:gsEji7DN(20/21) AAS
>>200-202
>>s1,s2,s3 ・・・が 全てのTを尽くしていることが、厳密に言えない
>言えなくて良い
>f(0),f(1),・・・が尽くしてるから
ふっふ、ほっほ
厳密には、『言えなくて良い』が、どこまで許されるのかは
若干の議論の余地があることは認めるけれども・・ｗｗｗ ；ｐ）
>>133から再録
(cf en.wikipedia.org/wiki/Cantor%27s_diagonal_argument)
s1 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)
省19
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