純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）21 (392ﾚｽ)

純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）21 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/

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115: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/07/26(土) 10:35:11.64 ID:w9PY0JQs >>113 追加 さて、その上で 日本語 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%92%8C%E9%9B%86%E5%90%88%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86 和集合の公理 　↓ 仏語 https://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_de_la_r%C3%A9union Axiome de la réunion 和集合の公理 （google訳） 和公理（または「和公理」）は、ツェルメロ＝フランケル集合論（ZF）の公理の一つである。これは、任意の集合Aに対して、集合Aの要素集合のすべての要素のみを含む集合が存在することを述べている（文脈は、すべての対象が集合であり、特にA が集合の集合である場合の理論の文脈であり、そうでない場合は明示的に指定する必要がある）。 この公理は、部分集合の公理と置換公理スキーム（ツェルメロ理論Zのペアの公理を証明するもので、したがって ZF では冗長）の助けを借りて、2 つの集合の和集合（両方の集合の要素を正確に含む）が集合であることを証明することを可能にします。 　↓ 英語 https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_union Axiom of union Relation to Pairing The axiom of union allows one to unpack a set of sets and thus create a flatter set. Together with the axiom of pairing, this implies that for any two sets, there is a set (called their union) that contains exactly the elements of the two sets. Relation to Intersection There is no corresponding axiom of intersection. If A is a nonempty set containing E, it is possible to form the intersection ∩A using the axiom schema of specification as ∩A={c∈E:∀D(D∈A⇒c∈D)}, so no separate axiom of intersection is necessary. (引用終り) ＜補足＞ １）和集合の公理においても、 　仏語 fr.wikipedia にあるように 　”集合Aの要素集合のすべての要素のみを含む集合が存在することを述べている（文脈は、すべての対象が集合であり、特にA が集合の集合である場合の理論の文脈であり、そうでない場合は明示的に指定する必要がある）” 　ということ 　つまり、和集合の公理は 基本は集合Aが含む集合族（集合Aが無限の要素集合の族からなるとして*)）の 　要素集合の族の全ての要素を集めて、集合を作って良いということを主張する ２）また英語 en.wikipediaにあるように 　Relation to Pairing で、対の公理で 集合AとBとで ペア{A,B}を作って 和集合公理を使うと 　A∩B が出来ます ３）さらに、Relation to Intersection つまり 集合積との関係についても 　上記の通りですが、 　ひらたく言えば 集合Aが 集合族D1,D2,・・Di・・から成るとして 　つまり A={D1,D2,・・Di・・} として 　集合族D1,D2,・・Di・・ の 集合積が、和集合の部分集合として 定義できるのです 　だから、”so no separate axiom of intersection is necessary”なのです 注*)もちろん、集合Aが有限の要素集合の族からなるとしても 同様です http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/115

149: １３２人目の素数さん [] 2025/07/27(日) 00:01:53.64 ID:BtC8baTp >>146 >そっから、勘違いのオチコボレさんか？ 何をどう勘違いしてると思ったのか具体的に言ってみて >『「クラス」の正確な定義は、議論の基礎となる文脈に依存する』 順序数全体の集まりが集合でない理由とまったく関係無くて草 そんな必死にごまかそうとしなくてもｗ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/149

164: １３２人目の素数さん [] 2025/07/27(日) 09:16:26.64 ID:BtC8baTp 数学のあらゆる対象を集合で論じましょう、あらゆる定理の前提となる公理系を整備しましょう ってのが集合論のコンセプトやからねえ　当然関数も集合だわな 実際 f:X→Y＝{<x,y>∈X×Y|∀x∈X:(∃y∈Y:(y=f(x)))} やな ちなみに置換公理では関数クラスという考えが用いられていて、関数クラスは 「論理式 ∀x∀y∀z((φ(x,y)∧φ(x,z))→y=z) を満たす開論理式φ(x,y)の集まり」 と定式化されている。 置換公理はこのφをパラメータとする公理図式（つまり無限のバリエーションを持つパラメータ値と公理が1対1対応）。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/164

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