ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ17

[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ17 (1002ﾚｽ)
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442: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/17(土) 23:28:55.87 ID:y2zepp9J

>>436
>「RからRへの連続函数f(x)があるとき、f(x)はQでの値だけで一意的に定まるか？」
>「QからRへの連続函数f(x)があるとき、f(x)をRからRへの連続函数に（一意的に）拡張できるか？」
>前者と後者は雰囲気は似ていても、異なる命題だね。

なるほど
後者をも考えていた

>>435
>𝑓(𝑥) と 𝑔(𝑥) は連続関数なので、有理数点 𝑞𝑛 で 𝑓(𝑞𝑛)=𝑔(𝑞𝑛) ならば、
>極限を取ることで
>lim 𝑛→∞ 𝑓(𝑞𝑛)=lim⁡ 𝑛→∞ 𝑔(𝑞𝑛).
>しかし、連続性より、右辺はそれぞれ

うむ
そこは、下記 stackexchange に落ちていたが
𝑓(𝑥) - 𝑔(𝑥)と 差を作るのが 常用の手スジで エレガントだね （Copilotも たまには 正しいみたい ；ｐ）
なので、「RからRへの連続函数f(x)があるとき、f(x)はQでの値だけで一意的に定まるか？」では 一様収束は 不要
「QからRへの連続函数f(x)があるとき、f(x)をRからRへの連続函数に（一意的に）拡張できるか？」では 一様収束は 必要
ってことね

(参考)
https://math.stackexchange.com/questions/379899/why-is-every-continuous-function-on-the-reals-determined-by-its-value-on-rationa
Why is every continuous function on the reals determined by its value on rationals? [closed]
Asked 12 years ago
asked May 3, 2013
Timothy Chang

answered May 3, 2013
Gyu Eun Lee

Suppose I have two continuous functions f,g:R→R
that agree at every rational number. You want to conclude that f(x)=g(x)
for every real number x.
Alternatively, you can show that f(x)−g(x)=0
for every real number x.
f−g  is a continuous function on R, and (f−g)(q)=0
for every rational number q.
Let x  be an arbitrary real number. Since the rationals are dense in the reals, we choose a sequence of rational numbers converging to x.
On this sequence f−g  is identically zero, and passing to the limit by continuity, we conclude that (f−g)(x)=0.
Since x  was arbitrary f−g is identically zero on R.
So a continuous function on R is uniquely determined by its values on Q.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/442

521: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/21(水) 11:08:34.87 ID:byug+qYO

>>520 補足

数学史家の高瀬正仁氏は、下記のように
ガロアの理論に対する ガウスの影響を論じていて
結構 独自説っぽいけど、否定もできないだろう
（実際、第一論文でもガウスに言及しているし、遺書で「ガウスに意見を聞いてくれ」と言っているくらいだから）

だが、”自分は、１のｐ条根を、べき根でどう解くか、書いてあるＨＰ読んで
　可解性ってそういうことだったんだぁと、理解しましたね
　まあ、たぶん教科書にもどっかに書いてあるんだろうけど"（>>495より）
が、滑っているも また 確かだろうｗ ；ｐ）

(参考) 順不同
http://reuler.blog108.エフシー2.com/blog-entry-1316.html?sp
日々のつれづれ オイラー研究所所長 高瀬正仁
リーマンを語る131.　ラグランジュの「省察」とガウスの円周等分方程式論 2011/02/28
代数方程式論の通常の歴史叙述では、なぜかガウスの影は非常に薄く、せいぜいのところ円周等分方程式を代数的に解いたことが紹介される程度に留まります。基幹線はあくまでもラグランジュからガロアにいたる道筋であり、その途中に、ガウスの円周等分方程式とアーベルの「不可能の証明」とアーベル方程式の話題がはさまります。ガロア理論から出発すれば円周等分方程式の代数的可解性などはたちどころに明らかになってしまいますし、アーベル方程式についても同様です。ラグランジュの「省察」の確信が「置換」の考察にあるというので、置換の一般論を展開したコーシーにも言及されたりするのですが、ガウスとアーベルは、何と言うか、おもしろいエピソードというくらいの位置を占めるという程度でしょうか。
　そこでこの通説に対して異論を提出したいと思います。ラグランジュのように根の置換を考察しても、それだけでは「不可能の証明」はできませんし、ルフィニが試みてついに失敗に終ったのもそのためでした。それに、そもそもラグランジュには「不可能の証明」が成立するという考えはありませんでした。ここはやはり、代数的可解性の成立を左右する根本の要因は何か、という問いを問わなければならないところですし、それは「根の相互関係」であることをはっきりと認識したのはガウスです。
　ガウスはこの認識に基づいて円周等分方程式を代数的に解いて見せましたが、その解き方はガロア理論による解法とそっくり同じです。これをガロア理論のやさし適用例と見るのは間違いで、ガウスの解き方を見たガロアがガウスからガロア理論を抽出したと見るのが正解です。ガロア理論の源泉はラグランジュではなくガウスであることを、ここでもう一度強調しておきたいと思います。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/521

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