ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ17

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8: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/07(水) 15:19:20.69 ID:w6tWvnRz

つづき

下記の謎の数学者 の ”数学に向かない人”の話でも 「絵」に例えています
これ“big picture”ですね。 “big picture”が分らないおサルさん>>7ｗ これでしょうね ；ｐ）
(参考)
https://youtu.be/q-3IWEyfFQg?t=11https://youtu.be/q-3IWEyfFQg?t=1
数学に向かない人の数学書の読み方。数学者はこうやって読む
謎の数学者 2022/06/07
コメント
@gary8593
2 年前
「絵を描くように」という例えが、めちゃくちゃ腑に落ちました。
特に英語の文献を読む時に精読を心がけすぎて、全体像が掴めなくなることがよくあって困ってたので、参考にします。

＜文字起こし＞
3:19
この読む際にですねまあ先ほど言いました
ようにやってはいけない読み方というのは
これですねあの一語一句読んでしまうと
いう人がですねいるんですね一語一句
3:31
とりあえず1文1文ですね完璧に
読み進めようとしてしまう人それそういう
人はですね実はなかなか
あの数学とりわけ純粋数学には向かないん
ですね本当にですね
3:45
1文1文をですね完璧に理解して 次に進ん
でそれを完璧に理解しようとしてさらに次
に進むみたいなそういう形そういう読み方
をしているとあの絶対にですね数学書と
いうのは読み終わらないしそうやって読む
ものではないんです
4:42
各節の全体の構造を把握するというのがですね
まず最初に行うべきことであって枝葉部分
はですね思い切ってええまあなんですから
はしょるというかあまり気にしないで
分からないことがあってもですね
とりあえずどんどん進むぐらいのですね
そういう気持ちで数学書というのを読んて
いくそれがですね実はですね正しい数学書
の読み方なんですね
9:51
まあこれたとえですけれど　例えば
ですねこう 絵 を書くことを思い出して
ほしい
例えばこうどっかの風景
を見てですねなんか絵を描くそういう
ところですね
(引用終り)

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/8

21: １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/08(木) 08:08:07.69 ID:3INPaqvb

これいいね
https://www.sciencealert.com/breakthrough-gravity-explanation-is-a-step-closer-to-theory-of-everything
画期的な重力の説明は「万物の理論」に一歩近づく
2025年5月7日
ミシェル・スター

重力を説明する新しい方法は、これまで解決できなかった量子力学との相違点を解決することに一歩近づく可能性がある。

フィンランドのアアルト大学の物理学者ミッコ・パルタネンとユッカ・トゥルッキは、重力についての新たな考え方を考案した。それは、宇宙の他の3つの基本的な力、強い力、弱い力、電磁力を説明する理論である粒子物理学の標準モデルと互換性があるという。

標準 模型は、強い力、弱い力、そして電磁力を記述するゲージ理論であり、特定の対称性を持っています。重力理論を標準模型に近づけるため、パルタネンとトゥルッキはこれらの対称性を重力ゲージ理論に適用しようとしました。

彼らが発表した結果は有望であるように思われます。

「我々の理論は、従来の重力ゲージ理論と比較して、重力ゲージ理論を標準モデルのゲージ理論に近づける」と彼らは論文に書いている。

この研究は量子重力理論からは非常にかけ離れていることに留意することが重要です。しかしながら、物理学におけるこの喫緊の課題の解決に向けた探求を大きく前進させる可能性のある、重要な研究の道筋を示すものであることは間違いありません。

そのため、パルタネンとトゥルッキは他の科学者にも研究の進展に参加するよう呼びかけています。論文はある程度まで進んでおり、理論はその範囲内でうまく機能しますが、今後はさらに多くの物理学的検証とストレステストが必要になるでしょう。

「統一重力が場の理論に及ぼす影響についての完全な理解は、さらに広範囲にわたる研究を行った後でのみ得られるだろう」と研究者らは書いている。

この論文は「Reports on Progress in Physics」に掲載されました。
https://doi.org/10.1088/1361-6633/adc82e

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/21

453: １３２人目の素数さん [] 2025/05/18(日) 08:33:05.69 ID:dHKV9stj

>>447
１，日本語だけじゃなく英語も読めない？

Since the real line R is complete, continuous functions on R are Cauchy-continuous.
On the subspace Q of rational numbers, however, matters are different.
For example, define a two-valued function so that f(x) is
0 when x^2 is less than 2 but
1 when x^2 is greater than 2.
(Note that x^2 is never equal to 2 for any rational number x.)
This function is continuous on Q but not Cauchy-continuous,
since it cannot be extended continuously to R.

On the other hand, any uniformly continuous function on Q must be Cauchy-continuous.

For a non-uniform example on Q,let f(x) be 2^x;
this is not uniformly continuous (on all of Q),
but it is Cauchy-continuous. (This example works equally well on R.)

ここに全部書いてあるじゃん

Q上コーシー連続なら、Q上連続
しかし、Q上で連続でも、コーシー連続じゃないと拡張できない
（例：ｘ＾２＜２ならｆ（ｘ）＝０、ｘ＾２＞２ならｆ（ｘ）＝１となる関数は、Ｑ上連続）
Q上コーシー連続なら、R上連続に拡張できる

Q上一様連続なら、コーシー連続
しかし、Q上一様連続でない、コーシー連続関数がある
（ｆ（ｘ）＝２＾ｘ）

だから、ｆ：Ｑ→Ｒを、ｆ：Ｒ→Ｒに一意的に拡張する場合
十分条件　　：Ｑ上一様連続
必要条件　　：Ｑ上連続
必要十分条件：Ｑ上コーシー連続
な

ということで、コーシー連続の定義読めよ

Let X and Y be metric spaces, and let f:X→Y be a function from X to Y.
Then f is Cauchy-continuous if and only if,
given any Cauchy sequence (x1,x2,…) in X,
the sequence (f(x1),f(x2),…) is a Cauchy sequence in Y.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/453

796: １３２人目の素数さん [] 2025/05/25(日) 18:49:24.69 ID:WEnhjuaS

>>794
定理9.3の証明:
σ を G の生成元（の１つ）とすると
仮定より G = ⟨σ⟩ = {idL, σ, . . . , σ^(n−1)} となる．

1 の原始 n 乗根 ζ を１つ固定して，写像 h : L → L を
h(α) = α + ζσ(α) + · · · + ζ^(n−1)σ^(n−1)(α) (∀α ∈ L)
で定義する（h は体準同型とは限らない）．
h(α) はラグランジュの分解式 (Lagrange resolvent) と呼ばれる．

idL, σ, . . . , σ^(n−1) は相異なる L の自己同型だから，
命題 9.1 により hは 0 写像ではない．
すなわち，ある γ ∈ L が存在して h(γ) ≠ 0 となる．

ζ ∈ K, ζ^n = 1,σ^n = idL を用いて
ζσ(h(γ))
= ζσ(γ) + ζ^2σ^2(γ) + · · · + ζ^nσ^n(γ)
= γ + ζσ(γ) + · · · + ζ^(n−1)σ^n−1(γ)
= h(γ)
すなわち σ(h(γ)) = ζ^(−1)h(γ) を得る．

従って，α = h(γ)^(−1) ∈ L とおけば，
σ(α)
= σ(h(γ)^−1) = σ(h(γ))^−1 = (ζ^−1h(γ))^−1 = ζh(γ)^−1
= ζα
が成立する．

従って a = α^n ∈ L とおけば
σ(a)
= σ(α^n) = σ(α)^n = (ζα)^n = ζ^nα^n
= a
を得る．

よって σ^j(a) = a も成立し G = {idL, σ, · · · , σn−1} であるから，
a は G の任意の元で固定される．
定理 7.1 により L ⊃ K の中間体と G の部分群とのガロア対応において
K と G が対応する (G = Gal(L/K) = Φ(K) より）から，
K = LG = Ψ(G) であり，a ∈ LG = K 従って x^n − a ∈ K[x] となる．

σ(α) = ζα と σ(ζ) = ζ （ζ ∈ K だから）より
j = 0, 1, . . . , n − 1 に対して帰納的に
σ^j(α)
= σ^(j−1)(σ(α)) = σ^(j−1)(ζα) = ζσ^(j−1)(α) = ζζ^( j−1)α
= ζ^jα
が成立することがわかるので，
G は x^n − a の根の集合 A = {α, ζα, . . . , ζn−1α} に推移的に作用している．
従って定理 9.2 により x^n − a は K 上既約である．
よって x^n − a の K上の分解体 F := K(α) は [F : K] = n を満たす．
一方，[L : K] = n かつ L ⊃ F だから，L = F = K(α) である．□

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/796

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