純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）20

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24: １３２人目の素数さん [] 2025/04/29(火) 12:43:32.61 ID:R0QaAHkm

ガロア理論は役に立っている by 若山　正人

https://journal.ntt.co.jp/article/19154
NTT技術ジャーナル記事
2022年8月号
特集
変化する現在（いま）、持続する未来（あす）
対称性に基づく解析学と幾何学による数論と量子相互作用
数学と物理学とのつながりは古くから多くの成功を生みました。宇宙論などでは現代数学が駆使されています。一方、量子コンピュータづくりにも必要な量子光学の理論研究と現代数学のつながりは必ずしも深くありません。本稿では、量子光学におけるもっとも基本的な理論モデルとされる量子ラビ模型などを取り上げ、それらと現代数学、特に整数論とのかかわりを、対称性の観点からの研究経緯、今後の進め方について、数学の予想を交えながら紹介します。
若山　正人（わかやま　まさと）
NTT基礎数学研究センタ

数学の研究は、多くの科学と同様に多様な動機や関心から生まれます。良い研究はゆっくりと重要性が認識されていき、大変息の長いものです。抽象性が高く応用から遠くみえることも、広く科学・技術の足場となり得ることとのトレードオフです。しかし、これは同時に数学の役割をよく表すものです。

ガロア以前は、2次方程式の根の公式、さらに3次、4次方程式の公式と続き、5次以上の方程式のそれを求めることへの努力が続いていました。しかし、ガロアが行ったのは、方程式の根の置換の全体（置換群）を考え、その構造から、方程式が5次以上の場合、一般には（四則演算とべき根をとる有限回の操作で根を表示する）根の公式は存在しないというものでした＊2。これは大きなパラダイムシフトです。ところで、構造とは何か、ということですが、それは群の非可換度の強さが関連します。シャツを着てからスーツを羽織るのと、スーツを着てからシャツを着るのとでは大違いです。このようなことから、非可換な操作（作用）のイメージを掴んでいただければと思います。

＊1　小平邦彦は日本で最初のフィールズ賞受賞者です。代数曲面として重要なK3曲面はヴェイユが代数幾何学者（クンマー、ケーラー、小平）と当時未踏峰だったK2に因み名付けたものです。夏目漱石の短編集『夢十夜』の第六夜に、運慶が護国寺の山門で仁王像を彫る描写があります。見ていた一人が、運慶の様子をとらえ、“彫っているのではなく、もともと木の中に埋まっている仁王を掘り出しているだけだ”というわけです。これは小平が説明に使っていたものです。数学は、科学に必須の再現性を、厳密証明という手立てで担保していますが、自然が相手というよりは、数学的自然の解明に向かう科学です。

＊2　ガロア理論の始まりです。ガロア理論に接したことで数学者をめざした数学者も多くいます。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745503590/24

420: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/30(金) 23:34:43.61 ID:cD0jbwjL

つづき

伝統の継承
この学びの期間は、生まれてからおよそ3カ月。最初は筋肉のコントロールがやや不正確だが、やがて高度に洗練された歌になる。

通常、1羽の個体は1曲しかレパートリーを持たないが、なかには2曲や3曲持っている個体もいる。メロディーの長さはわずか2秒で、夜明けから太陽が最も高い位置に来るまで繰り返し歌う。

「彼らの歌は指紋のように特徴的ですが、学んで習得するものです。メスを引き寄せたり、自分の縄張りを守ったりするために歌います。『僕だよ。ここにいるよ』と周囲に伝えようとしているのです」とアマドール氏は言う。

失われたメロディーをどう復活させたのか
アルゼンチン生まれの鳥類学者で、米ロックフェラー大学名誉教授のフェルナンド・ノッテボーム氏は、1960年代にペレイラ・イラオラ公園で聴いたアカエリシトドの歌を、楽譜のようにして書き留めていた。そのおかげで、現代の科学者たちは当時の鳥たちの間でどんな歌が流行していたかを知ることができた。

「歌を記録するためにノッテボーム氏は、周波数が上昇したら上向きの印、下降して低い音になったら下向きの印、最後のふるえ音は何本か組になった小さな線で表していました」とミンドリン氏は説明する。

60年代の"ヒット曲"のうち、鳥たちの間で今でも歌われているものはあるのだろうか。そんな疑問を抱いた研究チームは、ペレイラ・イラオラ公園に行って鳥の歌を録音した。そして、ニューラルネットワークを訓練して、古い歌のうちどれが今でも人気で、どれが消滅してしまったのかを検証した。

すると、今でもこの地域で歌われている"クラシック曲"は3曲だけだったことがわかった。理由としては、公園を取り巻く地域の都市化が進んだことや、ほかの種の鳥に生息地を奪われたことで、アカエリシトドの数が減った可能性が考えられる。

そこで、消滅した歌を復活させようと決めた科学者たちは、本物の歌の一つひとつについて、音の始まりと終わりの周波数や長さなどを分析し、鳴き声の物理特性に基づいて鳥の歌を合成できる数学モデルを構築した。そのために、鳥の発声器官である鳴管筋の動きまで観察して、アカエリシトドの声道をシミュレートした。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745503590/420

496: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/06/09(月) 15:14:42.61 ID:n21sjwUN

>>494
>Brascamp-Lieb inequality.

Liebさん
In 2022 the Carl Friedrich Gauss Prize at the International Congress of Mathematicians
In 2023 Lieb received Kyoto Prize in Basic Sciences for his achievements in many-body physics.[23]

https://en.wikipedia.org/wiki/Brascamp%E2%80%93Lieb_inequality
Brascamp–Lieb inequality

https://en.wikipedia.org/wiki/Elliott_H._Lieb
Elliott Hershel Lieb (born July 31, 1932) is an American mathematical physicist. He is a professor of mathematics and physics at Princeton University. Lieb's works pertain to quantum and classical many-body problem,[1][2][3] atomic structure,[3] the stability of matter,[3] functional inequalities,[4] the theory of magnetism,[2] and the Hubbard model.[2]
Awards
In 2022
the Carl Friedrich Gauss Prize at the International Congress of Mathematicians ″for deep mathematical contributions of exceptional breadth which have shaped the fields of quantum mechanics, statistical mechanics, computational chemistry, and quantum information theory.″[16]
In 2023 Lieb received Kyoto Prize in Basic Sciences for his achievements in many-body physics.[23]

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745503590/496

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