純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）20

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288: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/14(水) 11:12:13.59 ID:euuH4tqB

これ面白そう

https://thedebrief.org/a-centuries-old-impossible-equation-once-considered-unsolvable-finally-has-a-solution/
thedebrief
A Centuries-Old “Impossible” Equation, Once Considered Unsolvable, Finally Has a Solution
クリストファー・プレイン·2025年5月13日
google訳

高階多項式の「近似」解がいくつか発見されてきました。しかし、ワイルドバーガーによれば、これらの解は純粋代数学には属さないとのことです。

ワイルドバーガー教授は、この斬新な解決策を概説した論文の中で、従来の方程式に限界が存在するのは、根号である3乗根と4乗根を用いているからだと説明しています。根号は一般的に、円周率のように無限に繰り返される無理数を表すため、単純な分数では表すことができません。

数学界にとって幸いなことに、ヴィルトバーガー教授は無理数を信じていないと述べている。ヴィルトバーガー教授の数学への最も成功した貢献である有理三角法と普遍双曲幾何学は、根号を使わずに機能する。その代わりに、不可能方程式の新しい解を含む彼の研究は、「冪級数」と呼ばれる多項式の特別な拡張を利用しており、これは根号を使わずに変数xについて無限個の項を持つことができる。

組み合わせ論が救世主となる
この問題を解くための代数方程式としては初めてのものですが、この新しい手法は、数列を表す組合せ論と呼ばれる数学の分野に基づいています。最も有名な数列は「カタラン数」と呼ばれ、任意の多角形、つまり3辺以上の任意の図形を分割する方法の数を表すために使用されます。

「カタラン数は二次方程式と密接に関係していると理解されています」とヴィルトバーガー氏は説明した。「私たちの革新性は、より高次の方程式を解きたいのであれば、カタラン数の高次の類似物を探すべきだという考え方にあります。」

数学者はこれらの数値を 1 次元から多次元配列に拡張し、これまで不可能だった方程式の解を解明しました。

「私たちはこれらの拡張を発見し、それが論理的に多項式方程式の一般解にどのようにつながるかを示しました」と彼は説明した。「これは代数学の基礎となる章の劇的な改訂です。」

幅広い用途への期待

コンピューター科学者のディーン・ルビン博士が共同執筆したこの新たな研究では、新たに発見された数値配列を「ジオード」と名付けています。共著者らは、この配列にはさらなる研究のための「大きな可能性」が秘められていると述べています。

「この新しいジオードアレイの研究は、多くの新たな疑問を提起し、組み合わせ研究者を何年も忙しくさせるだろうと予想しています」とワイルドバーガー氏は述べた。「実に、他にも多くの可能性があります。これはほんの始まりに過ぎません。」

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745503590/288

665: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/06/21(土) 10:42:35.59 ID:sEkgudR9

>>649 戻る
>無限の存在が集合論の他の公理から独立である

これ  >>629の "P173 3 無限の存在証明" RIMS講究録
Dedekind の数学の基礎付けと集合論の公理化 渕野昌 2011 https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1739-16.pdf

さて、アリストテレスの昔から 「無限」は、いろいろ論じられてきた
上記 Dedekind の数学の基礎付けと集合論の公理化 によれば、Dedekindが 無限集合で 無限公理は必要ないと考えていたらしい
一方で、カントールや Dedekind以前では、「無限」は集合論の外で 論じられていた
”ポンスレの射影幾何無限遠点や、リーマンの複素平面を球面としたときの北極点など”>>649

カントールは、フーリエ級数の収束を考察する必要から
無限集合論を構築したという。現代数学の視点では
”ポンスレの射影幾何無限遠点や、リーマンの複素平面を球面としたときの北極点など”
すべてを、無限集合論で論じることができるようになったのです

なので、そういう大きな枠組みとして、渕野"3 無限の存在証明"は これで 十分分るのです（＾＾

(参考)
https://www.medieviste.org/2016/08/23/%E3%82%A2%E3%83%AA%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%86%E3%83%AC%E3%82%B9%E3%81%A8%E3%80%8C%E7%84%A1%E9%99%90%E3%80%8D/
アリストテレスと「無限」20160823 sxolastikos
(抜粋)
A.W.ムーア『無限 その哲学と数学 (講談社学術文庫)』（石村多門訳、講談社、2012）
原著は1990刊。古代ギリシアから現代にいたるまでの「無限」にまつわる思想の展開を追ったもので、哲学史と数学史が交差する興味深い一冊
前半は思想的な通史のまとめ、後半は現代数学での無限の解釈についての概観になっている
前半部分の前半、つまり全体の4分の1で主役となっているのは、なんといってもアリストテレス。プラトンとそれ以前の古代ギリシアの無限論では、無限はつまるところ事物の構造の基礎をなしているという考え方がある程度「共有」されていたというが、それらに対して、そもそも現象と実在の区別を否定するアリストテレスの場合、もしその共有された考え方を保持するなら、無限を時空間の場面において理解する必要に迫られることになる。つまり自然の中に無限なものが存在するかどうかが重要な問題となった、という
では自然界にそのような無限なものは存在するのか。アリストテレスは自然界には「何も無限なものは存在しない」との立場を取るのだが、そこにはジレンマもあって、時間の無限の分割可能性、物質の無限の分割可能性、自然数の連続や空間が無限であるという数学的真理などが立ちふさがった。で、それらへのアリストテレスの対応策として出てきたのが、有名な「無限は可能的には存在するが現実的には存在しない」という考え方だという。これは、「すべてが同時にそこに存在できはしないという意味での無限」の言い換えでもある。この可能的／現実的の区別はなかなか秀逸で、時間や空間が分割において無限であることはこれで一応認めることができ、数学で仮定される空間は、現実の空間がどんなものかとはおよそ関係がないとすることもできる

https://www.jstage.jst.go.jp/article/philosophy1952/1968/18/1968_18_36/_article/-char/ja/
哲学/1968巻(1968)
アリストテレスの無限 和泉良久

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745503590/665

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