[過去ﾛｸﾞ] 高校数学の質問スレ Part437 (1002ﾚｽ)
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328(3): 2024/07/26(金)10:06 ID:TRdfhHWY(1) AAS
lim[n→∞] |1+(i/n)|^n
を求めよ。ただしiは虚数単位である。

（早稲田　教育）

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338: 2024/07/26(金)13:45 ID:rQOYlfHF(4/5) AAS
>>328
　1 < |1 + i/n|^2 = (1+i/n)*(1-i/n) = 1 + 1/nn < 1/(1−1/nn),

そこで {1,1,…,1, (1-1/nn)^n} で AM-GMして
　(n-1) + (1-1/nn)^n > n*(1-1/nn),
　(1-1/nn)^n > 1−1/n,

よって
　1 < |1+i/n|^{2n}
省3

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359: 2024/07/27(土)17:25 ID:XS64Cd4g(1/2) AAS
>>328
　lim[n→∞] (1+z/n)^n = e^z　　　(z∈C)
を使ってよければ
　lim[n→∞] (1+i/n)^n = e^i,
　lim[n→∞] (1-i/n)^n = e^{-i},
辺々掛けて
　lim[n→∞] |1+i/n|^{2n} = lim[n→∞] (1+i/n)^n・(1-i/n)^n
省3

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367: 2024/07/28(日)06:19 ID:IsVJ9/rg(4/16) AAS
>>328
本来、統計用ソフトなのに虚数対応しているのでRで作図して１に収束を体感。
画像ﾘﾝｸ[png]:i.imgur.com

応用問題
lim[n→∞] （1+(i/n)）^n
を求めよ。ただしiは虚数単位である。
作図して答を推測せよ。

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